抛物线及其标准方程

教学设计课题抛物线及其标准方程课型新授课复习课□试卷讲评课□其它课□教学内容分析抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，其中的定点、定直线(不经过定点)是确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征.根据抛物线的概念，类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标法推导抛物线的标准方程.由于焦点的位置不同，抛物线标准方程的形式也不同.此时，要根据抛物线焦点的位置，充分运用坐标法，对方程的形式进行转化，获得焦点分别在x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半轴上的抛物线的标准方程.通过抛物线的标准方程，结合抛物线的概念，为下节课研究抛物线的几何性质及其简单应用，特别是过焦点的直线的有关性质做好铺垫.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般过程.本节内容包含的核心思想方法还是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示.另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法；在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念；在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想；求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法；学情分析学生对抛物线的认知基础是对二次函数图象的直观感知，但是并不知道抛物线的几何特征.确定抛物线的几何要素是一个定点和一条定直线，这与确定椭圆与双曲线的几何要素不同.相比而言，椭圆与双曲线的几何特征在具体情境中较为明显，而抛物线的几何特征在具体情境中较为隐蔽，学生不容易发现.学习目标（1）经历从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义的过程，发展直观想象素养.（2）经历类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.重难点（1）经历从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义的过程，发展直观想象素养.（2）经历类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.教学评活动过程教师活动学生活动环节一：（情景导入，激发兴趣）教师活动教师展示学生所熟悉的抛物线的例子（投篮视频、一元二次函数图像，中国天眼实例）。学生活动学生直观感受抛物线形状设计意图通过生活中的应用实例，初中熟悉的一元二次函数及中国天眼图，让学生直观感知抛物线的形状，也提示学生生活中处处有数学，引发学生的共鸣，激发学习兴趣.环节二：（复习旧知，启发新知）教师活动通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与到定直线l（不过点F）的距离之比为k当0<k<1时，点M的轨迹是椭圆当k>1时，点M的轨迹是双曲线教师提问：回忆到这里，同学们有怎样的启发呢？教师追问：你如何探究你的猜想是否正确呢？学生活动学生猜想：若k=1即满足到定点F的距离和到定直线l（不过点F）的距离相等的点的轨迹有可能是抛物线。学生回答：作点M使其满足到定点F的距离和它到定直线l（不过点F）的距离相等，观察点M的轨迹。设计意图从学生已经学习过的知识出发，激发学生探究问题的兴趣;利用已学的椭圆、双曲线标准方程推导过程的变形，带领学生由已知问题过渡到未知情形，引出本节课内容：抛物线及其标准方程.环节三:（探索新知，构建概念）教师活动问题1：动点M到定点F的距离与它到定直线l（不过点F）的距离相等时轨迹是什么？师生一起用几何画板进行探究探究：利用信息技术作图.如图,F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MHl,线段FH的垂直平分线m交MH于点M.教师追问（1）：M是否满足到定点F的距离和到定直线l的距离相等呢？为什么？教师追问（2）：拖动点H，让M动起来，动点M运动的过程中始终满足的几何条件是什么？教师追问（3）：观察点M的轨迹，我们发现，动点M的轨迹和二次函数相似,是一条抛物线。思考：你能说出形成抛物线的几何要素吗?教师追问（4）：当直线l经过点F时，满足到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹是什么？在上述基础上，给出抛物线的概念.抛物线定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.学生活动学生通过几何画板观察动点M的形成过程，能说出动点M运动的过程中始终满足的几何条件：（M满足到定点F的距离和它到定直线l的距离相等）.学生观察动点M的轨迹，并思考形成抛物线的几何要素（一个定点，一条定直线l，直线l不过定点F）.学生思考后回答:如果定直线l经过点F时，满足到定点F的距离和它到定直线l的距离相等的点的轨迹是:过点M且与直线l垂直的一条直线。学生用集合概括抛物线定义:{M||MF|=d}dMF设计意图通过对问题1的探究及其四个追问，引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特征，抽象得出抛物线的概念，发展学生的数学抽象素养.环节四：（师生共研，建立方程）教师活动问题2：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为我们如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式更简单？教师引导学生回顾椭圆和双曲线标准方程的建立过程，以及椭圆和双曲线的建系过程，并引导学生根据抛物线图形的几何特征，建立抛物线的平面直角坐标系。教师分析选取方案二的原因，其余两种方案课下尝试，并比较三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？三种不同形式的抛物线方程是否有联系？设点F到直线l的距离为p(p>0)，教师引导学生自主推导物线方程：教师展示学生所推导的抛物线方程，并从方程的推导过程分析出抛物线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系从而给出抛物线标准方程的概念。追问：类比建立椭圆和双曲线标准方程时，选择不同的坐标系得到不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？教师引导学生观察不同开口方向的标准方程，并分组完成其余三种形式方程的推导学生活动 学生观察抛物线形状，自主提出三种建系方案方案一方案二方案三设点F到直线l的距离为p(p>0)，学生根据方案二推导抛物线的方程：在已获得抛物线的方程y2=2px(p>0)的基础上，让学生类比椭圆、双曲线标准方程的不同形式，再分别获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和准线方程，并将结论填写在下面的表中.图形标准方程焦点坐标准线方程 设计意图通过问题2及追问，注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，提升数学运算素养.环节五：（理解概念、初步应用）例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.师生活动：学生根据抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，根据焦点坐标、准线方程、焦点到准线距离求其标准方程.设计意图通过例1让学生体会无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线焦点坐标或准线方程求其标准方程，正确认识抛物线的标准方程以及方程中p的意义都非常关键.p是抛物线的唯一特征量，决定抛物线的焦点坐标和准线方程.环节六：（理解概念、应用升华）应用1：一种卫星接收天线如下图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.师生活动：教师让学生自主解决实际问题，并引领学生总结解决与抛物线有关的实际问题时的解题方法步骤（待定系数法求解.）设计意图通过例2让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的过程.环节七：（总结提高、形成结构）知识目标层面：抛物线的几何特征是什么？抛物线标准方程的获得过程？抛物线的四种形式的标准方程？思想素养层面：（1）类比、分类讨论，转化化归及数形结合思想方法.（2）直观想象及数学运算的核心素养.师生活动：引导学生回顾本节课所学知识和学习过程.设计意图让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法环节八：（达标检测、应用迁移）1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是(3,0)(2)准线方程是x=1(3)焦点到准线的距离是22求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)x2==y2(2)2y2师生活动：学生自主完成，教师个别辅导.设计意图检测学生对抛物线定义和标准方程理解掌握情况.板书设计抛物线及其标准方程抛物线的定义抛物线的标准方程多媒体投影区例1（1）（2）例2作业与拓展学习设计1.基础巩固: 教科书习题3.3第1、2、3题2.素养提升: 抛物线形拱桥，当水面在l时，拱离水面2m，水面宽4m.试建立适当坐标系，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.3.拓广探索 :探究1.说明二次函数y=ax2(a≠0）的图象为什么是抛物线？指出它的焦点坐标、准线方程.探究2.说明二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象为什么是抛物线？请同学查阅资料了解抛物线在生产生活中的应用.特色学习资源分析、技术手段应用说明粉笔、三角板、几何画板.教学反思与改进数学教学是数学思维活动的教学，而思维又是从问题开始的，始终贯彻“教师要带着学生走向知识，而不是带着知识走向学生”的原则，将教学目标安排在一个个的自主学习中.所以本节课在总体上采用“问题驱动”策略，通过精心设计一个个问题，激发学生的求知欲，并通过观察、分析、自主探究、合作交流