专题练习：零点差问题（原卷版）

【典型例题】例1．已知函数f(x)=3x—x3，若关于x的方程f(x)=a有两个正实数根x1，x2且x1<x2.（1）求实数a的取值范围；(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)≤g(x)；(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2—x1|<例3．已知函数f(x)=(x2—x)ex（1）求曲线y=f(x)在原点处的切线方程；（2）若f(x)—ax+e≥0恒成立，求实数a的取值范围；（1）当m=0时，求f(x)的最值；（2）当m>0时，若f(x)的两个零点分别为x1，x2，证明x2—x1<e—例5．已知函数f(x)=lnx一ax+a(a为常数）的最大值为0.（1）求实数a的值；（2）设函数lnx一f，当m>0时，求证：函数F有两个不同的零点x1，x2(x1例6．已知函数f(x)=xlnx.（1）求f(x)的单调区间；（2）若a≤2，证明：f(x)≥axe3在(0,+∞)上恒成立；例7．已知函数f(x)=(x+1)(ex一1).（1）求f(x)在点(一1，f(一1))处的切线方程；（3）若方程f(x)=b有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2一x1≤1+【同步练习】1．已知函数f(x)=xlnx，e为自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=e一3处的切线方程；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≥λ(x一1)在(0,+∞)恒成立，求实数λ的取值范围.(Ⅲ)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1，x2，求证：|x1一x2|<a+1+2．已知函数f(x)=xlnx.（1）求曲线处的切线方程；（2）若方程f(x)=m有两个实根x1，x2，且x2>x13．已知函数a的两个零点记为x1，x2.（1）求a的取值范围；4．已知函数f(x)=(x2一x)ex（1）求y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程y=g(x)，并证明f(x)≥g(x)（1）讨论f(x)的单调性；（2）若x1，x2(x1<x2)是f(x)的两个零点，求证：2aln+1<0.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；（1）求f(x)在点(—1，f(—1))处的切线方程；（2）已知f(x)≥ax在R上恒成立，求a的值.（3）若方程f(x)=b有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2—x1≤b+1+9．已知函数为自然对数的底数）.（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程；（1）当m=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；（2）当x∈[1，e]时恒有f(x)≤0成立，求满足条件的m的范围；（3）当m=e时，令方程f(x)=t有两个不同的根x111．已知函数f(x)=ax—ex+1，ln3是f(x)的极值点.(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l．求证：曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方；(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=m(m>0)有两个不等实根x1，x2，求证：x2—x1<2—12．已知函数f(x)=ax—ex+1，曲线y=f(x)在原点处的切线为y=2x.（1）证明：曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点；（2）设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l，求证：曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方；（3）若关于x的方程f(x)=m(m为正实数）有不等实根x1，x2（1）当a≥0，c=1时，讨论函数f(x)的单调性；（2）已知a>0，b=一2，c=2，且函数f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，求证：对任意的正实数M，都存在满足条件的实数a，使得x2一x1>M成立.14．已知函数+lnx一x，其中e=2.71828…是自然对数的底数.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与直线y=a有交点，求a的最小值；是否存在最大整数k，使得对任意正数x都有f一f（1）)成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；15．已知函数f(x)=(e一x)lnx(e为自然对数的底数）.（1）求函数f(x)的零点，以及曲线y=f(x)在其零点处的切线方程；16．已知函数f(x)=(x2