专题01 空间向量与立体几何（专题过关）-2021-2022学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题01空间向量与立体几何(专题过关)

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.(2021•广东•广州奥林匹克中学高二阶段练习)已知空间向量二=(2,4,3))=(4,8,机),a//b，

则实数切=()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】

由空间向量共线的坐标公式即可求得答案.

【详解】

2=42

由题意,设2=4囚=(2,4,3)=2(4,8,in)=><4=8A=>•

3=Amm=6

故选：A.

2.(2021•云南省玉溪第一中学高二期中(理))已知直线/经过点A(2,3,1),且7=(a,0,&)

是/的方向向量，则点尸(4,3,2)至此的距离为()

A.|B.—C.0D.—

222

【答案】B

【分析】

由题设可得而=(2,0,1),根据已知条件求＜而工＞的余弦值，再由P到/的距离为

|AP|sin<AP,n>即可求值.

【详解】

由题设，AP=(2,0,1),又3=(0,0,忘)是/的方向向量,

—-AP-n3^23yli0B,

cos<AP,n>|=|———1=—f=—=-----,易知:sin<AP,n>=

\AP\\n\>/5x210记,

点P(4,3,2)至IJ/的距离为|而|sin〈丽,7＞=行x噜=孝.

故选：B.

3.(2021•江苏滨湖•高二期中)己知X月=前=(0,-1,0),则异面直线4?与CD

所成角的余弦值为()

A.BB.且C.旦D.逅

9336

【答案】B

【分析】

利用空间向量的夹角公式求解异面直线AB与C。所成角的余弦值.

【详解】

4.（2021•全国•模拟预测）如图，在正方体A8CD-ASGA中，菊=£，A^=b,A^=c,

。为底面4BCD的中心，G为ARG。的重心，则而=（）

B.-a+b+^-c

36

-I-5-

D.a-\--h+—c

26

【答案】A

【分析】

结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果.

【详解】

在正方体A3C£）-43|G£＞］中，4A=a,A4=B，AR=C，0为底面ABC。的中心，G为

△AG。的重心，连接OG,

则而=祈+诙=（（而+而）+g（西+反Q

1-1

=-(Z?+c)+-^(BA+BC)+DDt+^(AB+AD)+

23

=—(B+c)+—(1+c)+-a+—(B+c)+—a

26363

2-15-

=—a+—br+—c.

326

故选：A.

5.(2021•全国•高二课时练习)如图，正方形ABC。与矩形AC"所在的平面互相垂直,

AB=e，AF=1，M在E尸上，且40〃平面BDE,则M点的坐标为()

B・俘制、

A.(1,1,1)C.

‘2'

7

【答案】B

【分析】

设M点的坐标为(x,y,l),设ACn8〃=O,连接OE,由线面平行的性质可得出

利用空间向量共线的坐标表示可求得x、y的值，即可得出点M的坐标.

【详解】

如图，设加点的坐标为伍刈，设ACCW=O,连接OE,则。去，今,0,

\7

又E(0,0,l),A(V2,V2,0),则3?=一与泻，］，潴=［一血》-&,1),

•.•AM〃平面AMu平面ACE尸，平面BDEc平面ACEF=OE,Wi］OE//AM,即

OE//AM.

0夜

X

X-=-2=2

解得

所以,所以，M点的坐标为彳，芋1，

夜

V2

y一y

-=-2=2\Z

故选：B.

6.（2021•全国•高二课时练习）如图，在五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1,AE±

平面ABC,CD//AE,S.CD=^AE.设CE与平面ABE所成的角为a,AE=Z（Z>0）,若

TTjr

,则攵的最大值为（）

64

C.0D.6

【答案】C

【分析】

建立空间直角坐标系，设出点E坐标，求出平面A8E的一个法向量，利用空间向量表达出

线面角的正弦，结合a的范围，求出k的最大值.

【详解】

如图，建立空间直角坐标系C-^z,则C（O,O,O）,E（OJA）,B冬;,0,40,1,0）,则

\7

丽=（0,1,幻，取AB的中点M,则M芋,|,0）,连接。1/,则。^_1M，乂4£，平面ABC,

因为CMu平面ABC,所以CW_LA£,乂因为AEIAB=A,所以CM_L平面ABE,则平

面A8E的一个法向量为两=

兀冗—2Wsina=—,结合&>0可得：<k<V2,所以人的最

aw7•，丁，可得:

6422V17F22

大值为五.

故选：C.

7.（2021•全国•高二课时练习）如图，甲站在水库底面上的点。处，乙站在水坝斜面上的点

C处，己知库底与水坝斜面所成的二面角为120。，测得从。，C到库底与水坝斜面的交线的

距离分别为DA=30m,C5=40m,若A8=2（）6m,则甲，乙两人相距（）

A.70mB.70KmC.90mD.906m

【答案】A

【分析】

根据向量的运算得到反=丽+而+元，然后利用平方法即可求出答案.

【详解】

由于反=方+而+肥，

所以|反『=（方+而+就尸=|方『+|而『+\BC\l+2（DAAB+ABBC+DABC）

=302+（20^）2+402+2x（0+0+30x40xcos60"）=4900,

所以|反|=70,故甲，乙两人相距70m.

故选：A.

8.（2021•全国•高二课时练习）如图，在三棱柱4BC-A8cl中，侧棱垂直于底面，ABVBC,

AB=BC'4c=2血,e=0,点E为AG的中点"点F在BC的延长线上且函［品'

则异面直线BE与GF所成角的余弦值为（）

_V3

C.D.

22

【答案】D

【分析】

以B为坐标原点，BC,BA,B片所在直线分别为工轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利

根据H瓯冏=第

用向量法,即可求出答案.

【详解】

在三棱柱A3C-AB£中,因为侧棱垂直于底面，且AB_LBC,

所以以B为坐标原点，BC,BA,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系.

由=AC=2五,例=0,得AB=BC=2,

所以8(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,正)，C,(2,Ox/2),

由汴=，或，得方=9(2,0,0)=(1，0,。］,

4412/

所以异面直线BE与CF所成角的余弦值为

3

2.=1

cos悻中）卜

网印「口口32-

故选：D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9.(2021•浙江•高二期中)下列命题中，正确的有()

A.若向量万，5与空间任意向量都不能构成基底，则切区；

B.若非零向量1,b,C满足万15，blc，则有了〃机

C.在四面体中，若丽m=0，PCAB=0.则方•恁=0;

D.若向量a+6,b+c,e+a是空间一组基底，则2,b，5也是空间的一组基底.

【答案】ACD

【分析】

根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择.

【详解】

解：对于A：若向量2，5与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即

1//5，故A正确；

对于B：若非零向量商,5，^满足则万与-不一定共线，故B错误；

对于C：因为丽.反^o，无.而=0，

所以丽.就=(而+A孙(而+沅)=⑸.而+而2+而.而，

2

PBAC={PC+CB){AB+BC)=PCBC+CBAB-BC.将上述两式相加得

2PBAC=PAAB+AB2+ABBC+PCBC+CBAB-BC2

=4匣(序+A月)+(.月・前+而・/1*)+证•(无—位)

^AB.PB+BCPB=PB(AB+BC)=PBAC，

所以2万•恁=丽・祝，所以丽•/=0，故C正确；

对于D：若向量a+5,b+c,e+a,是空间一组基底，

则空间任意一个向量2,存在唯•实数组(x,y,z),

使2=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+{x+y)b+(y+z)c,

则心5，*也是空间的一组基底.故D正确.

故选：ACD.

10.(2021•海南•海口一中高二期中)正方体ABC。-44GA的棱长为1,E,F,G分别

为BC,CC、,8M的中点.贝lj()

A.直线A。与直线A尸垂直B.直线AG与平面AEF平行

C.平面的截正方体所得的截面面积为5D.点C与点G到平面曲的距离相等

8

【答案】BC

【分析】

对于A,利用线线平行，将2。与AF的位置关系转换为判断c。HA厂的位置关系；

对于B,作出辅助线：取4G的中点N,连接AN、GN,然后利用面面平行判断；

对于C,把截面AEF补形为四边形AEF。,，由等腰梯形计算其面积判断；

对于D,利用反证法判断.

【详解】

对于A,因为DQ〃GC,若。£>_LAF,则C；C_LAF,从图中可以看出，G。与A尸相交,

但不垂直，所以A错误；

对于-B,如图所示，取4G的中点N,连接AN、GN,则有GN〃砂，A.N//AE,

,:CNCAN=N,EFC\AE=E,，平面4GN〃平面AE尸.

又「AGU平面A。。，AG〃平面AEF，故选项B正确；

对于C,如图所示，连接RA,延长。尸，AE交于点S,

,:E，F分别为BC,C。的中点，E尸〃

，A、E、F、R四点共面，.•.截面即为梯形AEF£)1.

CF=CE,：.CF2+CS2=CE2+CS2,即FS2=ES2,FS=ES

又RF=AE,AD.F+FS=AE+ESDtS=AS=y/5,AD、=血,

；•等腰△ARS的高力=逑,梯形AEFR的高为空逑，

224

梯形AEFR的面积为:(EF+AA)xg=；x(g+及)故选项C正确；

对于D,假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG

的中点，

连接CG交EF于H,而H不是CG中点，则假设不成立，故D错.

故选：BC.

11.(2021•辽宁沈阳•高二阶段练习)如图，正方体ABC。-ABC0的棱长为1,E是。。的

中点，则下列说法正确的是()

A.直线与。〃平面A8O

B.

C.三棱锥G-BCE的体积为:

D.直线々E与面CDRG所成的角为60'

【答案】AB

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；

【详解】

如图建立空间直角坐标系,A(o,o,o),3(1,(),0),c(l,l,o),0(0,1,0),A(0,0,l),B,(1,0,1),

q(1,1,1),0,(0,1,1),,西=(-1,1,1),=(-1,1,0),BA=(-1,0,1),

则有，

对于A,设平面ABO的法向量为〃=(x,y,z),则’:靠即取〃=(1,1,1)，

则信麻=0xl+lxl+lx(-l)=0,即［_L麻，

又直线gc<z平面AB。，所以直线4c〃平面AB。，故A正确，

对于B,因为鸵•西=-lxO+lxl+(—l)xl=O,即麻，两，所以,故B正确,

对于C,%-SCE=5-GCE=§|4G|,SAGCE=§*1乂5*以1=彳，故C错误，

对于D,由题意易知，AD=(O,l,O)为平面CDDG的一个法向量，且与E=

则设直线瓦E与平面8DC所成的角为。，

.cRE-AD12

所以's】ne=网.画=、=§,所以6、60°'故D错误.

故选：AB.

12.(2021•全国•高二课时练习)如图，在三棱柱中，侧棱441d•底面人田6，

ZBAC=90,AB=AC=A4,=1,。是棱CC,的中点，P是直线A。与AG的交点.若点Q

A.当点。为线段用尸的中点时，。。，平面48。

B.当点。为线段的三等分点(靠近点P)时，OQL平面A3。

C.在线段4P的延长线上，存在一点Q,使得OQ_L平面4也。

D.在直线用尸上不存在点Q,使得Q。，平面A田。

【答案】ABC

【分析】

分别以A耳,福，不的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz,算出平面

A3。的法向量，假设DQJ•平面AB。，且丽=/1即=〃—1,2,0)=(—4240),然后可判

断出答案.

【详解】

如图，分别以4方,南,平的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系4-啰z,

则由已知得A(0,0,0),4(1,0,0),B(1,0,1),。(0』,g),尸(0,2,0),

则丽=(1,0,1),而=((),1,；),即=(-1,2,0),

〃•AB=x+z=0

设平面A8Q的法向量为G=(x,y,z),则］_____1

n-A1D—y+—z=0

取z=-2，则x=2,y=l,所以平面A?。的一个法向量为3=(2,1,-2).

假设DQ1平面\BD,且可。=4解=2(-1,2,0)=(-A,2A,0),

则而=西+而=(1—彳,-1+24-3,因为而也是平面的法向量，

所以♦与双共线，于是有1-2-1+2/1一万1成立,此时2无解.

21--2-4

故在直线4P上不存在点Q,使得。Q_L平面AB。，A,B,C不正确，D正确.

故选：ABC.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.(2021•湖南•嘉禾县第一中学高二阶段练习)已知点M(l,(),2),N(-l,l,0),MN=2MP,

则点尸的坐标为.

【答案】

【分析】

先求出向量丽的坐标，设点P(x,y,z),得出面A的坐标，根据条件得出方程组可得答案.

【详解】

/UUU

点”(1,0,2),N(T,l,0),则MN=(-2,l,-2)

UIM

设点P(x,y,z),则MP=(x—l,y,z-2)

2x-2=-2

由丽=2标，则＜2y=l,即'丫=],

2z-4=-21

Iz=l

所以点尸的坐标为

故答案为：(0，；』)

14.(2021•北京•北大附中高二期中)若向量2=(4,-1,2),\=(x,8,-6)且小则

x=.

【答案】5

【分析】

空间向量垂直，则空间向量的数量积为0,进而列出方程，求得结果

【详解】

因为7上人所以73=0，即4工一8-12=(),解得：x=5

故答案为：5

15.(2021•全国•高二专题练习)正方体A88-48CQ的棱上到直线4夕与CG的距离相等

的点有4个，其中3个点分别为E,F,如图所示，则直线AG与平面EFR所成角的

正切值为一.

【答案】亚

7

【分析】

正方体ABCO-ABGQ的棱上到直线AB与CC,的距离相等的点分别为R,8c的中点，

4G的靠近用的四等分点，假设8C的中点为E，4G的靠近用的四等分点为尸，以。为

原点，DA,DC,。口所在直线分别为x,>,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出直线4G与平面EFD,所成角的正切值.

【详解】

解：正方体的棱上到直线A8与CG的距离相等的点分别为：

A，BC的中点，B|G的靠近4的四等分点，

假设BC的中点为E,qG的靠近B,的四等分点为F,

以。为原点，DA,DC，QQ所在直线分别为x,V,z轴，建立空间直角坐标系，

设钻=2,则E(l,2,()),F(-,2,2),0,(0,0,2),0,()),C,(0,2,2),

£F=(p0,2),即=g,2,0),Aq=(-2,2,2),

设平面EF"的法向量万=(x,y,z),

——1

nEF=—x+2z=0

2

则〈令x=4,则y=-3,z=-l,得”=(4,-3,-1),

一3

n-GF=—x+2y=0

设直线AG与平面EFR所成角为0,

FFLLL.A|n-Aqi164x/78

则sin6=----=r=-/=-j==----,

|"HACJV26-V1239

直线AC；与平面所成角的正切值tan。=就=温=号.

故答案为：华

16.（2021•全国•高二课时练习）如图所示，在三棱柱A8C-A&G中，的，平面A8C,

AA,=AC=BC=4,ZACB=90°,E是CR的中点.则直线AB与平面ABE所成角的正弦

值为.

A

【答案】g

3

【分析】

结合已知条件建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量，然后利用线面夹角的向量公

式求解即可.

【详解】

由题意，建立如下图所示的空间直角坐标系c-xyz,

则A（4,0,0）,8（0,4,0）,E（0,0,2）,A（4,0,4）,

所以e=（-4,4,0），H=（4,0,2），EB=（O,4,-2）«

设平面ABE的法向量为：=(x,y,z)，

EAH=04x+2z=0

则_,即

EBn=04y-2z=0'

令x=l,则y=-l,z=-2,

从而：=(1,_1「2)为平面ABE的一个法向量,

不妨设直线AB与平面A,BE所成角为。,

从而3

树〃1

故直线的与平面3所成角的正弦值为今

故答案为：走.

3

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2021•广东•广州奥林匹克中学高二阶段练习)如图所示，在四棱锥尸-A3C。中，四边

形ABCO是平行四边形，48=26,"=2,乙43。=30。,抬_1平面488,2/1=2夜，点"

在线段AO上，H.AM=a,tanZPMA=2>/2.

(2)求平面MPC与平面4PC夹角的余弦值；

(3)若点N是直线CD上的动点，求△NPB面积的最小值，并说明此时点N的位置.

【答案】

(1)1；

力5VH8

59

(3)石，N在OC的延长线上且NC=C。.

【分析】

(1)根据0和边长的值即可求出«的值；

(2)选CO中点7,以A8,AT,AP为x,y,z轴建立直角坐标系A-xyz,求出平面MPC与

平面APC的法向量，利用法向量即可求出两平面夹角的余弦值；

(3)设N(r,l,0),用具心8=曰丽|・|网sin/BPN计算出面积，利用二次函数求最值即可.

(1)

陷=2&

平面ABC。，AOu平面A8cO,.'.MlAD,tanZPMA==2>/2

\AM\a

(2)

,,BC-AC-

在△ABC中，cos/ABC=।JJL-L,v/ABC=30,

2-\AB\-\BC\

M=2®BC|=2,：¥=；；熄|AC『=4，

:.\AC\^2,.•.照=阳=2,

•..四边形ABC。是平行四边形，

:.\AC\—\AD\=2,

选CO中点T,则ATI.CD,AB//CD.

：.ATLAB,：.AB,AT,AP两两垂直，

...以A5,AT,AP为x,y,z轴建立直角坐标系A-M，Z,

则网26,0,0),'：AT为CD边上的高,

\CT\^^\CD\=y/3,\AT\=^C|2-|Cr|2=>/4^3=l,

.•.c（扃,0）,味肉,0）

|AM|=1,何为AO中点，.->0,P（0,0,2>^）

PC=^A,~2y/2）,AP^（0,0,2y/2）,MC^

设平面APC的法向量为海=(4,%,zj.•.而•而=0,m-AP=0,

取用=（6，—3,0卜

2>/^Z[=0

设平面MPC的法向量为为=（々，%，Z2），

+%-2A/^Z2=0

.*.n-PC=0,n-MC=0,<取k=6,-9,-

g上X[+g>2=0

..cos而n==——>...平面we与平面APC夹角余弦值为题S；

阿为59

（3）

设N(t,1,0),丽-20卜陪06,0,-2a),

PN-PB=2^t+8,:.cosNBPN=25+8=由丁，.

7r+9x720V5V^2+9

(67+4)2

sinNBPN=1-

5-(r2+9)

S»=J丽HsinNBPNsinNBPN,

Z.5兀=；(〃+9)一•(而f-sin2^BP7V=^x(r+9)x20x(△+4)2

5(r+9)

=5（』+9）_（打+4）2=2/一8后+29=2«-2>^）2+5..5

当f=2x/J时，△NP8面积取最小值为不，此时，N在OC的延长线上且NC=CD,即C

为NQ的中点.

18.（2021•云南省玉溪第一中学高二期中（理））在如图所示的几何体中，四边形ABC。为

矩形，平面ABEF_L平面A8CQ,E尸〃45,/R4尸=90°,|仞|=4,|他|=|A尸|=2但尸|=2,点P

在线段。尸上.

F

(l)若户是OF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

(2)是否存在点P,使得平面AD尸与平面APC的夹角的余弦值为包？若存在，求P尸的

3

长度；若不存在，请说明理由.

【答案】

(1)还;

15

(2)存在，也.

3

【分析】

(1)证明A8,4。,4斤两两垂直，建立空间直角坐标系4-xyz,利用直线的方向向量求异面直

线的夹角余弦值；

(2)利用(1)中的空间直角坐标系求两个平面的法向量，据此求其面面角的余弦值.

(1)

VZBAF=90°,AAF±AB,

;平面4BEFJ_平面ABC。，且平面ABEF0平面ABCD=AB.AEu平面

•*.AFmABCD,

•..四边形A8C£＞为矩形，

...以A为坐标原点，43,4£)〃尸分别为％%2轴，建立如图所示空间直角坐标系A-qz,

D

.•.8(2,0,0),E(l,0,2),尸(0,2,1),C(2,4,0),F(0,0,2),

：.BF=(-2,0,2)屏=(-1,0,2),CP=(-2,-2,1),

BECP4石

COS<BECP\=

\BE\-\CP\IF

即异面直线BE与CP所成角的余弦值为撞:

15

(2)

A8JL平面仞F,

平面AD尸的法向量为加=(1,0,0),

设尸(0,y,z),

•.,点P在线段£)尸上，，而=f而，(04Y1),尸(0,0,2),0(0,4,0),

：.FP=(0,y,z-2),FD=(0,4,-2),

由丽负而可得：y=4r,z=2-2t,

：.P(0,4/,2-2/),

在平面"C中，AP=(0,4t,2-2t),AC=(2,4,0),设平面APC的法向量后=(x,y,z),

n-AP=4(y+(2—2f)z=02t

则《2令y=1,则x=-2,z=--

n2AC=2x+4y=0

得平面APC的法向量为e=(-2,1,三)，

t-\

I/--\|_|或句_2_V6

假设存在满足条件的点P,贝4悭何动卜丽=J(_2)2+；+3)2=W

•••3/+2/-1=0解得/=；，或f=-l(舍去).

存在点P使得平面AD厂与平面”C的夹角的余弦值为四，且PF的长度为2叵.

33

19.(2021•河南•温县第一高级中学高二开学考试(理))如图，在直三棱柱中,

|C4|=|C四=l,/BCA=90,|AA|=2,M,N分别是4稣AA的中点.

(1)求cos<8(,CB；>的值;

(2)求证：AtB±C,M.

【答案】

(I)国

10

(2)见解析.

【分析】

⑴以C为原点，以CA、CB、CG为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-“z,分别求出两,

UUU____________

CB,,利用向量法能求出cos<B*CB,>；

ULU1UUUUI

(2)由AB£M=0,即能证明

(1)

如图，根据题意可知C4、CB、CG两两垂直，故以C为原点，以CA、CB、CG为》、),、

z轴建立空间直角坐标系C-Ayz,

Z八

则B(0,1,0),A,(l,o,2),C(0,o,o),4(0,1,2),

二百=(-l,-1,2),西=(0,],2),

BA,•CBI=3,|BA]|=^6,|CB1|=石，

瓯.西_闻

瓯，函＞=

<网.|西一而；

（2）

依题意，得G（0,0,2）,“（；，；,2）,

_______11

...48=(-1,1,2),C,M=0),

4瓦CM=_g+；+o=o,

踵_1,丽,

20.（2021•云南师大附中高三阶段练习（理））如图，。是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截

面Q4B为直角三角形，C是底面圆周上异于A,8的任一点，。是线段AC的中点，

AC=2瓜BC=2.

p

(1)证明：平面尸,平面PAC；

(2)在母线R4上是否存在一点E,使二面角尸-OD-E的余弦值为班，若存在，请说

7

明点E的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】

(1)证明见解析；

(2)存在，E为母线R4的中点.

【分析】

(1)由圆锥的性质易得ACLPO,圆的性质有ACJ>3C,进而可得ODLAC,再由线面

垂直的判定及面面垂直的判定即可证结论.

(2)构建空间直角坐标系，设E(x,y,z)、而=又而并根据已知条件求相关点的坐标，再

求向。£应、面尸8的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示，结合已知建立方程求参数小

即知E的位置.

(1)

由圆锥的性质知，POJ_底面圆，又AC在底面圆。上，

AACLPO,又C在圆。上，43为直径，

AAC1BC,又0,。分别为AS,AC的中点，

AOD//BC,则O£>J_AC,又ODDPO=O,且O£>,尸Ou面尸O£),

ACJjfffPO。，又ACu面PAC,

...面POOL面PAC.

(2)

存在，E为母线B4的中点.

由题意，尸O_L面ABC,C4±CB.

故以C为原点，CB,CA及平行于0P所在的直线分别为x»，z轴建立空间直角坐标系C-种

(如图所示).

又AC=2瓜BC=2,则ABujAd+BC?=4,又4PAB为直角三角形,

PO=-AB=2,

2

，4(0,2若,0),。(0,百,0),。(1,若,0),尸(1,石,2),设E(x,%z),

DO=(l,0,0),PE=(x-l,y-5/3,z-2),PA=(-l,>/3,-2).

乂尸,E,A二点共线，设PE=2PA'即(x—l,y—百,z—2)=为(―1,G,—2),

E(1-人6+同2-2团，则诙=(1-4&,2-2/1).

设面ODE的法向量为汨=(X“％,Z|),则｛-----,即｛r-八，取

m-DE=0[(l-2)xl+V3Ay14-(2-22)zl=0

设面POD的法向量为百=（%,%,私），XAC1SPOD,可取3=（0,1,0）.

—m-n2"

c