12.3 角的平分线的性质

12.3角的平分线的性质基础过关练1．如图，AB∥CD，∠1=70°，FG平分∠EFD，则∠2的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．70°2．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，，则SΔABD=A．28 B．21 C．14 D．73．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB=20，△ABD的面积为60，则A．12 B．10 C．6 D．44．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，平分∠ABC，交CD于点E，若BC=16，DE=6，则△BCE的面积等于（）A．36 B．48 C．60 D．726．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（

）A．62° B．56° C．52° D．46°7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=A．35° B．40° C．45° D．60°8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABDA．15 B．30 C．45 D．6010．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC边于点D，若BD＝5，则A．7 B．6 C．5 D．411．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将△ABC分成三个三角形，则S△12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC和△ADE的周长分别为30和6，则13．如图所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度数为______．14．如图，在ΔABC中，∠ACB=α，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，则∠AEB的度数为___________.（用含α的式子表示）15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AD=8，AB=6，若△ACD的面积为16，则△ABC的面积为________．16．如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有____处．17．如图，∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线OC，过点C作CD⊥OA于点D．CE//OA交OB于点E，若∠CEB=5018．如图，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，FD的延长线交BE于点E（1）若∠BAC=56°，∠DCA=22°，∠EBD=23°，求∠BEF的度数；（2）若∠BAC=α，∠DCA=β，∠BEF=γ，请直接写出α、β、γ三者之间的关系．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．(1)求证：；(2)若AE=3，BF=4，求AB的长．20．如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．21．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE=CF．能力提升练22．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（

）A．24 B．27 C．32 D．3623．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC、BD交于点M，连接OM，下列结论：①；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC，其中正确的为（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④24．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH=S△ADEA．2 B．3 C．4 D．525．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（

）A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=926．如图，BD平分∠ABC，F，G分别是BA，BC上的点（BF≠BG），EF=EG，则∠BFE与∠BGE的数量关系一定满足的是（

）A．∠BFE+∠BGE=90∘ C．∠BFE=2∠BGE D．∠27．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC28．如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（

）A．边角边，全等三角形对应角相等 B．角边角，全等三角形对应角相等C．边边边，全等三角形对应角相等 D．斜边直角边，全等三角形对应角相等29．如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°−12∠A；③点O到ΔABC各边的距离相等；④设OD=m，，则30．如图，ΔABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为________．31．如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD(OA<OC)，∠AOB=∠COD=α，直线AC,BD交于点M，连接OM．以下结论：①；②∠OAC=∠OBD；③∠CMD=α；④OM平分∠BOC．其中正确的是___________（填序号）．32．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a拓展培优练33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长．34．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．35．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，M、N分别为AB、（1）求证：DE＝DF；（2）若DM＝DN，△ADM和△ADN的面积分别为36和50，求△DME36．小明的学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：(1)【习题回顾】已知：如图1，在ΔABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=(2)【变式思考】如图2，在ΔABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若ΔABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B=40°，求∠CEF和∠CFE(3)【探究延伸】如图3，在ΔABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．ΔABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．若∠M=35°，求∠CFE37．已知，点C在∠MAN的平分线AP上，点B、D分别在AM、AN上，连接CB、CD．(1)如图1，若，请直接写出线段BC与DC的数量关系；(2)如图2，，郑么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．

12.3角的平分线的性质基础过关练1．如图，AB∥CD，∠1=70°，FG平分∠EFD，则∠2的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．70°【答案】B【分析】由AB∥CD，∠1=70°，可得出∠EFD=∠1=70°，再由角平分线的定义即可得出∠2的度数．【详解】解：∵AB∥CD，∠1=70°，∴∠EFD=∠1=70°．又∵FG平分∠EFD，∴∠2=12∠EFD故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，是基础题．2．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，，则SΔABD=（

A．28 B．21 C．14 D．7【答案】C【分析】作DH⊥BA于，由角平分线的性质得到DH=DE=4，结合三角形面积公式解题．【详解】解：作DH⊥BA于∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥∴DH=DE=4∴S故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB=20，△ABD的面积为60，则CD长(A．12 B．10 C．6 D．4【答案】C【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD，再由△ABD的面积为60，可得DE=6，即可求解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C=90∘，AD平分∴DE=CD，∵AB=20，△ABD的面积为60，∴12解得：DE=6，∴CD=6．故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC，∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．综上，正确的个数的3个，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．5．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，平分∠ABC，交CD于点E，若BC=16，DE=6，则△BCE的面积等于（）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】B【分析】作EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到EF=DE，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE【详解】解：作EF⊥BC交BC于点F，∵CD是AB边上的高，∴ED⊥∵平分∠ABC，∴EF=DE∵BC=16，DE=6，∴S△故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线性质．理解和掌握角的平分线的性质定理是解题的关键．6．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（

）A．62° B．56° C．52° D．46°【答案】B【分析】根据题意，两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线OA，OB的距离相等，进而可得OP是∠AOB的角平分线，进而可得∠AOP=∠BOP，根据平行线的性质可得∠MPO=∠POB，根据三角形的外角性质可得∠AMP=∠AOP+∠MPO，即可求解．【详解】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，点P到射线OA，OB的距离相等，∴OP是∠AOB的角平分线，∵∠BOP=28°，∴∠AOP=∠BOP=28°，∵MP∥OB∴∠MPO=∠POB=28°∴∠AMP=∠AOP+∠MPO=56°故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的判定，三角形的外角性质，找到隐含条件P到射线OA，OB的距离相等是解题的关键．7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（

A．35° B．40° C．45° D．60°【答案】A【分析】由已知条件和平行线的性质可得∠DAB=70°，过点M作MN⊥AD于点N，根据角平分线的性质可得MN=MC，根据M是BC的中点，可得MB=MN，根据角平分线的判定定理可得AM是∠DAB的角平分线，进而可得∠【详解】如图，过点M作MN⊥AD于点N，∵∠B=∠C=90°,DM平分∠ADC∴CD∥AB，MN=MC∵∴∵M是BC的中点，∴∴平分∠DAB∴故选A【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD=ED，AC=AE=BC，继而可得△DBE的周长=AB．【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周长是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．故选B．【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（

A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=12×AB×DE故选：B．【点睛】本题考查的是作图——基本作图，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC边于点D，若BD＝5，则CD的长可能是（A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可得CD=DE，根据点到直线的距离垂线段最短可得DE<DB即可求解．【详解】由作图可知，AP是∠CAB过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可得CD=DE，根据点到直线的距离垂线段最短可得DE<DB∴故选D【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，理解题意，AP是∠CAB11．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将△ABC分成三个三角形，则S△【答案】2：3：4【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点．∵CO、BO、AO分别平分∠∴∵，S△BCO=12∴S故答案为：2：3：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC和△ADE的周长分别为30和6，则【答案】12【分析】由BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠CBD，可证Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），可得BE=BC，ED=CD，可求AC+AE=6，可求2BC+AE+AC=30即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∠ACB=9∴∠BED=∠BCD=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，在Rt△EBD和Rt△CBD中，∠EBD=Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），∴BE=BC，ED=CD，∵△ADE的周长为6，∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，∵△ABC的周长为30，∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，∴BC=12．故答案为12．【点睛】本题考查角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长，掌握角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长是解题关键．13．如图所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度数为______．【答案】80°【分析】根据平行线的性质可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，再根据角平分线的性质可得∠ABE+∠CDE的度数，从而求得结果．【详解】∵AB∥CD∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，∠BFD=∠ABF+∠CDF=140°∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE∴∠ABE+∠CDE=280°∴∠BED=80°．【点睛】平行线的判定与性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握．14．如图，在ΔABC中，∠ACB=α，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，则∠AEB的度数为___________.（用含α的式子表示）【答案】90°−【分析】如图，过点E作ΔABC三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得∠FAE=∠EAD，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=【详解】解：过点E作ED⊥AB于点D，EF⊥AC于点F，EG⊥BC于点∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，∴EF=FG=ED，∴AE也是∠BAC外角的平分线，∴∠ABG=2∵∠∴∠EBA=，∠BAE=，∴∠EBA+∠BAE==180°+α2，∴∠AEB=180°−α2=90°−故答案为：90°−α【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键．15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AD=8，AB=6，若△ACD的面积为16，则△ABC的面积为________．【答案】12【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD于F，由角平分线的性质可得CE=CF，由△ACD的面积和底求得高CF的值，便可解答；【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵AD=8，△ACD面积=16，∴CF=4，∵AB=6，CE=CF=4，∴△ACB面积=12，故答案为：12；【点睛】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）；掌握角平分线的性质是解题关键．16．如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有____处．【答案】4．【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断．【详解】解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．故答案是：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．17．如图，∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线OC，过点C作CD⊥OA于点D．CE//OA交OB于点E，若∠CEB=50【答案】65°##65度【分析】根据作图先得出OC平分∠AOB，根据CE∥OA，得出∠OCE=∠BOC，根据∠BEC为ΔOCE的外角，得出∠CEB=∠BOC+∠OCE，即可求出∠AOC=25°，根据CD⊥OA，得出【详解】解：根据作图可知，OC平分∠AOB，∴，∵CE∥∴∠∴∠∵∠BEC为ΔOCE的外角，∴∠∴∠∵CD∴∠∴∠故答案为：65°．【点睛】本题主要考查了角平分线的基本作图，平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，根据题意求出∠AOC=25°18．如图，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，FD的延长线交BE于点E（1）若∠BAC=56°，∠DCA=22°，∠EBD=23°，求∠BEF的度数；（2）若∠BAC=α，∠DCA=β，∠BEF=γ，请直接写出α、β、γ三者之间的关系．【答案】（1）39°；（2）γ=【分析】（1）连接BC，根据∠EBD=23°，BE平分∠ABD，求出∠ABD的度数，然后根据∠BAC=56°，∠DCA=22°，求出∠DBC的度数，然后根据DF是∠BDC的平分线，求出∠BDF的度数，最后根据外角的性质即可求出∠BEF（2）连接BC，首先根据三角形内角和定理和BE平分∠ABD，表示出∠BDC的度数，然后根据DF平分∠BDC，表示出∠BDF的度数，利用∠BDF=【详解】解：（1）如图所示，连接BC，∵∠EBD=23°,BE，，∴∠DBC+∴∠∵DF是∠BDC，∴∠BEF=（2）如图所示，连接BC，∵BE是∠ABD∴∠EBD=，=180°−180°∵DF平分∠BDC∴∠∵∠，，∴α,β,γ三者之间的关系是γ≡1【点睛】此题考查了角平分线的运用，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意表示出∠BDF．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．(1)求证：；(2)若AE=3，BF=4，求AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）由角平分线的性质可得DE=DC，证明Rt△（2）证明△BED≌△BCDAAS，可得BE=BC，根据AB=BE+AE（1）证明：（1）∵∠C=90°，∴DC⊥BC，又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC，∠AED=90°，在Rt△AED和Rt△FCD中，∵AD=DFDE=DC，∴（2）解：由（1）可得CF=AE=3，∴BC=BF+CF=4+3=7，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠DEB=∠C，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△BED和△BCD中，∵∠DEB=∠C∠EBD=∠CBDBD=BD，∴△BED≌△BCDAAS，∴BE=BC=7，∴AB=BE+AE=7+3=10，【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质并证明三角形全等．20．如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．【答案】小聪的做法可行，理由见解析【分析】通过已知条件证明△COF≅△DOE，得到∠OFC=∠OED，OE=OF，再根据已知条件证明△PCE【详解】小聪的做法可行，理由如下：∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF=在△COF和△DOE中，∠∴△COF∴∠OFC=∠OED，OE=OF，又∵OC=OD，∴OE−OC=OF−OD，即，在△PCE和△PDF中，∠∴△PCE∴，又∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴OP平分∠AOB；【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定，准确证明是解题的关键．21．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE=CF．【答案】见解析【分析】首先证明△ADC≌△ABC可得∠DAC＝∠BAC，再根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得结论．【详解】证明：在△ADC和△ABC中，AD=AB∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE＝CF．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．能力提升练22．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（

）A．24 B．27 C．32 D．36【答案】C【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分线的性质得到△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可．【详解】解：∵AD=DE，S△BDE=96，∴S△ABD=S△BDE=96，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AB于点F，∵AD平分∠BAC，∴DG=DF，∴△ACD与△ABD的高相等，又∵AB=3AC，∴S△ACD=13S△ABD=1故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC、BD交于点M，连接OM，下列结论：①；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC，其中正确的为（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】由SAS证明得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AOB=∠COD=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90∘，由AAS证明△OCG≅△ODH（AAS），得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BOC，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≅△BOM，得出OB=OC，OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．【详解】∵∠AOB=∴∠即∠在△AOC和△BOD中，∴（SAS）∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；∴∠OAC=由三角形的外角性质得：∠AMB+∴∠AOB=∠COD=40°作OG⊥MC于G，OH⊥则∠OGC=在△OCG和△ODH中，∴△OCG∴OG=OH∴MO平分∠BOC，④∴∠∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC假设∠∵∴∠COM=∵MO平分∠∴∠CMO=在△COM和△BOM中，∴△COM∴OB=OC，∵OA=OB，∴OA=OC，与OA>OC矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．24．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC∴∠BAD+∠ABE=12（∠A+∠B∴∠APB=135°，故①正确∴∠BPD=45°又∵PF⊥AD∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF在△APH和△FPD中，∠∴△APH≌△FPD（ASA）∴PH=PD∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD∵∠HPD=90°∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP∴S△EPH=S△EPD∴S△APH=S△AED，故⑤正确∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正确若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH∵DH∥BE∴∠CDH=∠CBE=∠ABE∴∠CDE=∠ABC∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误故选B．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（

）A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【答案】A【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，

∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．26．如图，BD平分∠ABC，F，G分别是BA，BC上的点（BF≠BG），EF=EG，则∠BFE与∠BGE的数量关系一定满足的是（

）A．∠BFE+∠BGE=90∘ C．∠BFE=2∠BGE D．∠【答案】B【分析】分别作EM⊥AB,EN⊥BC于点M、N，BD为∠ABC的角平分线有EM=EN，易证△EMF≅△ENG，进而有∠MFE=【详解】解：分别作EM⊥AB,EN⊥BC∵BD为∠ABC∴EM=EN∵EF=EG∴△EMF∴∠MFE=∴∠BFE+故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作垂线构造全等三角形是解题的关键．27．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC【答案】B【分析】过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．【详解】解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，∴PD=PF，PE=PF，∴PD=PE，∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．故选：B【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．28．如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（

）A．边角边，全等三角形对应角相等B．角边角，全等三角形对应角相等C．边边边，全等三角形对应角相等D．斜边直角边，全等三角形对应角相等【答案】C【分析】结合题意，根据角平分线尺规作图、全等三角形的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得：OD=OC，DP=CP在△ODP和△OCPOD=OCDP=CP∴△ODP∴∠DOP=∠COP，即∠∴画出OP的依据是：边边边，全等三角形对应角相等故选：C．【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线尺规作图、全等三角形的性质，从而完成求解．29．如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°−12∠A；③点O到ΔABC各边的距离相等；④设OD=m，，则【答案】①③④【分析】由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．【详解】解：在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=，；故②错误；在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，，∠OCB=∠∵EF//BC，∠OCB=∠，∠FOC=∠∴BE=OE，CF=OF，，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，，；故④正确；在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到ΔABC各边的距离相等，故③正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．30．如图，ΔABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为________．【答案】4c【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．【详解】解：延长AP交BC于E，如图所示：∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，在△APB和△EPB中&∠∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB=S△EPB，AP=PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=12S△ABC=4cm2故答案为4cm2．【点睛】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC=S△PBE+S△PCE=12S△ABC31．如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD(OA<OC)，∠AOB=∠COD=α，直线AC,BD交于点M，连接OM．以下结论：①；②∠OAC=∠OBD；③∠CMD=α；④OM平分∠BOC．其中正确的是___________（填序号）．【答案】①②③【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAC=∠OBD，AC=BD，①②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，可得③正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形的对应高相等得出OG=OH，由角平分线的判定方法得∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，&OA=OB&∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC=∠OBD，AC=BD，故①②正确；由三角形的内角和定理得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，∵∠OAC=∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=α，∴∠CMD=α，故③作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，∵△AOC≌△BOD，∴结合全等三角形的对应高可得：OG=OH，∴MO平分∠AMD，∴∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则∠BOM=∠COM，∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM，即∠AOM=∠DOM，在△AMO与△DMO中，&∠∴△AMO≌△DMO（ASA），∴OA=OD，∵OC=OD，∴OA=OC，而OA＜OC，故④错误；正确的个数有3个；故答案为：①②③．【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．32．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a【答案】2【分析】根据尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．【详解】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，∵点C在第一象限，∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即3a=-a+8，得a=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键．拓展培优练33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长．【答案】(1)证明见解析(2)2cm【分析】（1）由角平分线的性质可知，证明Rt△ABE（2）由△ABE≌△ADF，可得BE=DF，证明Rt△ACE≌Rt△ACFHL，则CE=CF，根据CD=CF−DF(1)证明：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴，在Rt△ABE和Rt△∵AB=ADAE=AF∴Rt△∴△ABE(2)解：∵△ABE∴BE=DF，在Rt△ACE和Rt△∵AC=ACAE=AF∴Rt△∴CE=CF，∴CD=CF−DF=BC−DF−DF=2∴CD的长为2cm．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于找出三角形全等的条件．34．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SAS证明结论即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠∴△BAD≌△CAE（SAS）；(2)证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，∵12∴AM＝AN，∴点A在∠BFE平分线上，∴FA平分∠B