第十四章 整式的乘法与因式分解（8类压轴题专练）

第十四章整式的乘法与因式分解（压轴题专练）【类型一已知多项式乘积不含某项求字母的值】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若去括号后不含的一次项，则的值为______．【变式训练】1．（2023春·江西萍乡·七年级统考期末）若代数式的结果中不含字母x的一次项，则a的值是______．2．（2023春·浙江·七年级期末）已知的展开式中不含项和项，那么_____，_____．【类型二多项式乘多项式与图形面积】例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示．(1)请写出图②所表示的代数恒等式．(2)请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式．【变式训练】1．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）

(1)求长方形游泳池的面积；(2)求休息区的面积；(3)休息区比游泳池的面积大多少平方米？2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．

(1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示）(2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）(3)当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【类型三多项式乘法中的规律性问题】例题：（2023春·江西新余·八年级统考期末）观察下列各式．…请根据你发现的规律完成下列各题：(1)根据规律可得______；（其中为正整数）(2)计算：．（结果保留幂的形式）(3)计算：．（结果保留幂的形式）【变式训练】1．（2023春·安徽六安·七年级统考期末）观察下列各式：；；；；(1)根据上面各式的规律可得：________．(2)根据上面各式的规律可得：________．(3)若，求的值．2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）（1）计算观察下列各式填空：第1个：___________；第2个：___________；第3个：___________；这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则___________．（3）利用（2）的猜想结论计算：___________．（4）扩展与应用：___________．【类型四利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式：，对式子作如下变形：，因为，所以，当时，，因此有最小值，即的最小值为．通过阅读，解下列问题：(1)代数式的最小值为___________，此时的值为___________(2)试比较代数式与的大小，并说明理由．【变式训练】1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式的最小值．解：原式．，．当时，的最小值是．(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．(2)代数式的最大值为______．2．（2023春·浙江·七年级统考期末）在学习了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，当时，的值最小，最小值为1．∴的最小值是1，请你根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；(2)求代数式的最小值；(3)若，求的最小值．3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值．根据上述材料，解答下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________；(2)将变形为的形式，并求出的最小值；(3)若代数式，试求N的最大值．【类型五平方差公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·广东揭阳·七年级统考期中）长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）

(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）A．B．C．(2)应用你从（）选出的等式，完成下面习题：①已知，，求的值；②计算【变式训练】1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）乘法公式的探究及应用．

【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式_________；【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：①若，，求的值；②计算：．【拓展】（3）计算：．2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．

(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；(3)请应用公式计算：．3．（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．

(1)通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______；请选择正确的一个A. B.C. D.(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值．②计算：【类型六完全平方公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级校联考期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为________________．(2)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【变式训练】1．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长是_；(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：_；方法2：_；(3)观察图②，请写出代数式，，之间的等量关系：_．(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值；2．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．(1)图2中的阴影部分正方形的边长是_（用含a，b的代数式表示）；(2)观察图1，图2，能验证的等式是：_（请选择正确的一个）；A．B．C．(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，求的面积．3．（2023春·山东烟台·六年级统考期中）如图1是长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？___________．(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．【类型七十字相乘法因式分解】例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：

第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：①的系数为；②的系数为；③的系数为；④的系数为．显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．问题：(1)分解因式：；①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善横线上的数字；

②分解因式：________．【变式训练】1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，基本式子为：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘积相加等于，得到，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．(1)；(2)；(3)．5．（2023春·七年级单元测试）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1)_____；(2)_____；(3)_____；(4)_____．【类型八分组分解法因式分解】例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式．解：添加两项．原式请你结合自己的思考和理解完成下列各题：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【变式训练】1．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．请解决下列问题：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由，2．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：．②拆项法：例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）；②（拆项法）；(2)已知：a、b、c为的三条边，，求的周长．3．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．4．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）

（2）【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲发现该多项式前两项有公因式，后两项有公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式，第一项和第三项含有公因式，把，提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲发现先将看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；（1）分解因式：；（2）分解因式：；【拓展提升】：分解因式：．

第十四章整式的乘法与因式分解（压轴题专练）答案全解全析【类型一已知多项式乘积不含某项求字母的值】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若去括号后不含的一次项，则的值为______．【答案】【分析】根据去括号后不含x的一次项，可知去括号、合并同类项后，含x的一次项的系数为0，据此即可求得m的值．【详解】解：，去括号后不含x的一次项，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘法结果中不含某项问题，熟练掌握和运用不含某项求参数的方法是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023春·江西萍乡·七年级统考期末）若代数式的结果中不含字母x的一次项，则a的值是______．【答案】/0.5【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算原式，再根据结果中不含字母x的一次项可得关于m的方程，解方程即得答案．【详解】解：，因为计算结果中不含字母x的一次项，所以，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了多项式的乘法，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题关键．2．（2023春·浙江·七年级期末）已知的展开式中不含项和项，那么_____，_____．【答案】37【分析】利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后令含和的项的系数之和为0，从而列方程求解．【详解】解：原式，原式的展开式中不含和的项，，，解得：，，故答案为：3，7．【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则，理解展开式中不含和的项，即含和的项的系数之和为0是解题关键．【类型二多项式乘多项式与图形面积】例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示．(1)请写出图②所表示的代数恒等式．(2)请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式．【答案】(1)；(2)见解析．【分析】（1）根据数据表示出长方形的长与宽，再根据长方形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的长方形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形．【详解】（1）解：由题意得；（2）解：如图所示，即为所求；【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）

(1)求长方形游泳池的面积；(2)求休息区的面积；(3)休息区比游泳池的面积大多少平方米？【答案】(1)平方米(2)平方米(3)平方米【分析】（1）根据长方形的面积公式和单项式乘以多项式的法则解答即可；（2）用大长方形的面积减去小长方形的面积求解即可；（3）由（2）求得的结果与（1）求得的结果作差求解即可．【详解】（1）长方形游泳池的面积平方米；（2）；即休息区的面积是平方米；（3）；即休息区比游泳池的面积大平方米．【点睛】本题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意、熟练掌握整式的乘法法则是解题的关键．2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．

(1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示）(2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）(3)当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根据长方形的面积列式并计算即可；（2）根据“长为，宽为的长方形空地，两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道”列式计算即可；（3）把，代入（2）中得到结果计算即可．【详解】（1）解：，答：该长方形空地的面积为．（2）．答：这两个长方形喷泉池的总面积为．（3）当，时，这两个长方形喷泉池的总面积为．即这两个长方形喷泉池的总面积为．【点睛】此题考查了列代数式、多项式乘法的应用、代数式的值等知识，根据题意正确列出代数式是解题的关键．【类型三多项式乘法中的规律性问题】例题：（2023春·江西新余·八年级统考期末）观察下列各式．…请根据你发现的规律完成下列各题：(1)根据规律可得______；（其中为正整数）(2)计算：．（结果保留幂的形式）(3)计算：．（结果保留幂的形式）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）观察所给式子的特点，等号右边的指数比等号左边的最高指数大，然后写出即可；（2）根据所给式子的规律，把x换为3即可，（3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果；【详解】（1）解：观察已知可得，故答案为：；（2）解：根据（1）可知，；（3）解：原式变形为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的规律题，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．【变式训练】1．（2023春·安徽六安·七年级统考期末）观察下列各式：；；；；(1)根据上面各式的规律可得：________．(2)根据上面各式的规律可得：________．(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）分析数据的规律直接求解即可．（2）分析数据的规律直接求解即可．（3）分析数据的规律直接求解即可．【详解】（1）解：．故答案为：．（2）解：；故答案为：．（3）解：∵，又∵，∴，∴．【点睛】此题考查多项式乘法中的规律性问题，解题关键是将推论出来的规律用来直接求解．2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）（1）计算观察下列各式填空：第1个：___________；第2个：___________；第3个：___________；这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则___________．（3）利用（2）的猜想结论计算：___________．（4）扩展与应用：___________．【答案】（1）；；；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算即可得；（2）利用（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，即可得；（3）将原式变为，即可得；（4）将原式变形为，在根据所得规律进行计算即可得．【详解】解：（1）第1个：；第2个：；第3个：；故答案为：；；；（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，若n为大于1的正整数，则，故答案为：；（3），故答案为：；（4）故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式，根据等式发现规律．【类型四利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式：，对式子作如下变形：，因为，所以，当时，，因此有最小值，即的最小值为．通过阅读，解下列问题：(1)代数式的最小值为___________，此时的值为___________(2)试比较代数式与的大小，并说明理由．【答案】(1)，(2)，见解析【分析】（1）根据材料提示，运用配方法配成完全平方公式，即可求解；（2）运用作差法化简两个代数式，运用配方法配成完全平方公式，比较结果的正负，即可求解．【详解】（1）解：，∵，∴，∴当时，的最小值为，故答案为：，．（2）解：，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查乘法公式，作差法比较两个多项式的大小的综合，掌握配方法配成完全平方公式判定代数式的最值，运用作差法比较结果的正负判断代数式的大小等知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式的最小值．解：原式．，．当时，的最小值是．(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．(2)代数式的最大值为______．【答案】(1)当时，原式有最小值(2)【分析】（1）直接将代数式化成的形式，然后求解即可；（2）先把负号提出来，再将代数式化成的形式，然后求解即可．【详解】（1）解：，，，当时原式有最小值；（2），，，代数式的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握利用完全平方公式对多项式变形是解答本题的关键．2．（2023春·浙江·七年级统考期末）在学习了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，当时，的值最小，最小值为1．∴的最小值是1，请你根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；(2)求代数式的最小值；(3)若，求的最小值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；（3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可．【详解】（1）解：，，．的最小值是2．（2），，．的最小值是．（3），，，，．的最小值．【点睛】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值．根据上述材料，解答下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________；(2)将变形为的形式，并求出的最小值；(3)若代数式，试求N的最大值．【答案】(1)(2)，2(3)17【分析】（1）根据完全平方公式求解；（2）利用配方法求最小值；（3）先对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可．【详解】（1）解：∵，故答案为：．（2）解：∵，其中，，的最小值是2；故答案为：2．（3）解：，的最大值是17．【点睛】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键.【类型五平方差公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·广东揭阳·七年级统考期中）长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）

(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）A．B．C．(2)应用你从（）选出的等式，完成下面习题：①已知，，求的值；②计算【答案】(1)B(2)①；②【分析】（1）根据图形可知，图中阴影部分的面积为：，图的面积为长方形的长乘以长方形的宽，即可；（2）由（1）得，，则，再根据，即可；根据，则变形为，根据第二项的分子和第三项的分母约分，第二项的分母与第三项的分子约分，最后得，进行计算，即可．【详解】（1）∵大正方形的边长为：，小正方形的边长为：，∴阴影部分的面积为：；由图可知，长方形的长为：，长方形的宽为：，∴组成的长方形的面积为：，∴，故选：B．（2）由（1）得，，∴，∵，，∴，∴；∵，∴．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景与应用，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活运用．【变式训练】1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）乘法公式的探究及应用．

【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式_________；【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：①若，，求的值；②计算：．【拓展】（3）计算：．【答案】（1）；（2）①3；②9996；（3）【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；（2）①由（1）可知，进而代入相对于的值即可求解；②将变形为，再应用平方差公式进行计算即可；（3）根据平方差公式将每个括号变形，即可求出答案．【详解】解：（1）大的正方形边长为，面积为，小正方形边长为，面积为，∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，∴图1阴影部分面积，图2阴影部分面积，∵图1的阴影部分与图2面积相等，∴，故答案为：；（2）①∵，，即：，∴；②；（3）．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，灵活运用平方差公式是解题的关键．2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．

(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；(3)请应用公式计算：．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；（2）易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子；（3）各项都应用公式计算即可抵消，得到结果．【详解】（1）在图①中，∵大正方形的面积为，小正方形的面积为，∴阴影部分的面积为，在图②中，∵阴影部分为长方形，长为，宽为，∴阴影部分的面积为；故答案为：,；（2）∵两图的阴影部分面积相等，∴可以得到乘法公式；（3）应用乘法公式得：．【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式．3．（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．

(1)通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______；请选择正确的一个A.B.C.D.(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值．②计算：【答案】(1)B(2)①3；②【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；（2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得；通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律把原式变为：，再运用平方差公式，解决问题．【详解】（1）解：左图中，阴影部分为正方形，面积为：，右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：，所以右图阴影部分面积为：，由于左右两图面积相等，所以有：，故答案为：B．（2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得：，，，．故答案为：．通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：．故答案为：．【点睛】本题主要考查平方差的几何背景和应用，代数式求值，有理数混合运算及数式规律问题，利用平方差公式将代数式变形是关键．【类型六完全平方公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级校联考期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为________________．(2)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由阴影部分的面积可得面积为或，从而可得答案；（2）把，代入，再利用平方根的含义可得答案；（3）设，，而，，可得，，可得，从而可得答案．【详解】（1）解：由阴影部分的面积可得：，或，∴；（2）∵，，∴，∴；（3）设，，而，，∴，，而，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形与几何图形的面积，利用完全平方公式的表示求解代数式的值，熟记完全平方公式的变形是解本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长是_；(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：_；方法2：_；(3)观察图②，请写出代数式，，之间的等量关系：_．(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值；【答案】(1)(2)，(3)(4)13【分析】（1）由图可知，图②中阴影部分的正方形的边长是小长方形长与宽的差；（2）用正方形面积公式可表示阴影部分面积，根据阴影部分面积等于大正方形面积减去四个小长方形面积可表示阴影部分面积；（3）根据（2）中两种方法表示的阴影部分面积相等，即可得出等量关系；（4）由（3）可得，将，代入即可求解．【详解】（1）解：由图可知：图②中阴影部分的正方形的边长是：，故答案为：；（2）解：方法一：阴影部分面积，方法二：阴影部分面积，故答案为：，；（3）解：由（2）可得：阴影部分面积，∴，故答案为：；（4）解：由（3）可得：，把，代入得：，∴．【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，用不同的方法表示图形面积，以及熟知完全平方公式是解题的关键．2．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．(1)图2中的阴影部分正方形的边长是_（用含a，b的代数式表示）；(2)观察图1，图2，能验证的等式是：_（请选择正确的一个）；A．B．C．(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，求的面积．【答案】(1)(2)C(3)【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，利用（2）的结论直接代入即可，最后根据三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是；故答案为：（2）之间的等量关系是：，故选：C.（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y∴，解得，；

另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，∴，

∴，∴，∴，

∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．3．（2023春·山东烟台·六年级统考期中）如图1是长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？___________．(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)；(4)【分析】（1）由图2可知，阴影部分的正方形的边长为；（2）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案；（3）由（1）可得出，整体代入数据即可得出答案；（4）设，，则，，利用完全平方公式即可求解．【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的正方形的边长为；故答案为：；（2）解：大正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a，∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，即．故答案为：；（3）解：∵，，∴；（4）解：设，，∵，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．【类型七十字相乘法因式分解】例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：

第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：①的系数为；②的系数为；③的系数为；④的系数为．显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．问题：(1)分解因式：；①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善横线上的数字；

②分解因式：________．【答案】(1)①见解析；②(2)①见解析；②【分析】（1）（2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，仿照材料分解即可．【详解】（1）解：①

；②；（2）①

；②．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是读懂材料，理解十字相乘法的计算方法．【变式训练】1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解；（2）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解．【详解】（1）解：如图，∴（2）解：如图，∴．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步骤是解题的关键．2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，基本式子为：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘积相加等于，得到，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．【详解】（1）解：；（2）当时，原式．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．【答案】(1)(2)图见解析，，，，16【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．【详解】（1）解：，常数项，，，故答案为：；（2）解：，常数项，画“十字图”如下：

，，，16．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根据进行解答即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．5．（2023春·七年级单元测试）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；（2）用十字相乘法分解因式即可；（3）用十字相乘法分解因式即可；（4）用十字相乘法分解因式即可．【详解】（1）解：∵，，∴；故答案为：；（2）解：∵，，∴；故答案为：；（3）解：∵，，∴；故答案为：；（4）解：∵，，∴；故答案为：．【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是熟练掌握十字相乘法，准确计算．【类型八分组分解法因式分解】例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的