第14章 整式的乘法与因式分解 单元测试

第14章整式的乘法与因式分解单元测试一、单选题1．下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是（

）A． B． C． D．2．下列计算正确的是（

）．A．a6÷a2=a3 B．(a+1)2=a2+1 C．(–a)3=–a3 D．(–ab3)2=–a2b53．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n用含a，b式子表示的为（

）A．3a+2b B．a3+b2 C．6ab D．a3b24．已知：，其中☆代表一个常数，则☆的值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．45．若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值可以为（

）A．3 B．6 C．9 D．126．课堂上老师布置了四个计算题，以下是小林给出的四个题的答案，则小林做对了（

）计算：；；；．A．题 B．题 C．题 D．题7．如果，表示的整数部分，则（）A． B． C． D．8．若则的值为（）A． B． C． D．9．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（）A． B． C． D．10．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（）A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b二、填空题11．计算______________．12．化简：__．13．已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2014=_____．14．如图，正方形的边长为m＋5，面积记为S1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋9，面积记为S2（其中m为正整数）．若某个图形的面积S介于S1，S2之间（不包括S1，S2），S的整数值有且只有15个，则m＝_______．15．已知2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，则式子m2﹣mn﹣n2的值为__．16．已知是完全平方式，则的值为__________．三、解答题17．因式分解：(1)6（m－n）3－12（n－m）2(2)x4－8x2y2＋16y418．计算与化简：（1）（2）（3）已知，，，求的值19．先化简，再求值：，其中．20．某厂现有种原料，种原料，现计划用这两种原料生产，两个品种的饮料，已知生产每千克品种的饮料需要种原料，种原料，可获利元，生产每千克品种的饮料只需要种原料，可获利3千元，两种原料正好用完.（1）生产品种的饮料________千克.（2）生产品种的饮料使用种原料多少千克？（3）该厂共获利多少元？（用含，的式子表示）21．若满足，求的值．解：设，，则，，∴.请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若满足，求的值；（2）已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是35，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．22．阅读下列材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：；，因为，即的最小值是0，所以的最小值是5．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）求的最小值；（3）求的最大值．23．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为___．(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．24．在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知，，求代数式的值．可以这样思考：因为，所以即所以举一反三：（1）已知，，求的值．（2）已知，则的值．（3）已知，求的值．

第14章整式的乘法与因式分解单元测试一、单选题1．下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】找出选项中有公因式的选项即可．【详解】解：A.中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；B.，能用提公因式法进行因式分解，故本选项符合题意；C.中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；D.中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了因式分解-提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．2．下列计算正确的是（

）．A．a6÷a2=a3 B．(a+1)2=a2+1 C．(–a)3=–a3 D．(–ab3)2=–a2b5【答案】C【分析】各项利用同底数幂的除法和幂的乘方法则，完全平方公式判断即可．【详解】A选项：a6÷a2=a6-2=a4,故是错误的；B选项：(a+1)2=a2+2a+1,故是错误的；C选项：(–a)3=–a3，故正确的；D选项：(–ab3)2=a2b6，故是错误的；故选C.【点睛】考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n用含a，b式子表示的为（

）A．3a+2b B．a3+b2 C．6ab D．a3b2【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算法则即可求解．【详解】∵，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算的知识，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算法则是解答本题的关键．4．已知：，其中☆代表一个常数，则☆的值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用因式分解即可解答．【详解】解：将因式分解，得：，故☆，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是：掌握因式分解的基本方法．5．若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值可以为（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a值．【详解】解：根据题意可得：或，∵多项式可以写成一个整式的平方，∴或，故选：B．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解决此题的关键．完全平方公式．6．课堂上老师布置了四个计算题，以下是小林给出的四个题的答案，则小林做对了（

）计算：；；；．A．题 B．题 C．题 D．题【答案】B【分析】利用积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项逐项判断即可解答．【详解】解：，故此计算错误；，故此计算错误；，故此计算错误；，故此计算正确，符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项等知识点，正确运用相关运算法则是解题关键．7．如果，表示的整数部分，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，，即，由，可得，则答案可得．【详解】解：设，则，∴，∴，即，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了立方和公式，关键是进行合理的变形，难度较大．8．若则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将两边同时平方，求出，可凑出，再开方即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和开平方的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．9．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得出，求出即可．【详解】解：长方形的面积为：=6a-9(cm2).故选C.【点睛】本题主要考查了平方差公式与几何图形．10．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（）A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b【答案】B【分析】从图形可知空白部分的面积为S2是中间边长为（a﹣b）的正方形面积与上下两个直角边为（a+b）和b的直角三角形的面积，再与左右两个直角边为a和b的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为S1是大正方形面积与空白部分面积之差，再由S2＝2S1，便可得解．【详解】由图形可知，S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2，S1=（a+b）2-S2=2ab-b2，∵S2＝2S1，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），∴a2﹣4ab+4b2＝0，即（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b，故选B．【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积和因式分解，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积和正确进行因式分解．二、填空题11．计算______________．【答案】【分析】根据单项式乘单项式的法则，将它们的系数和同底数幂分别相乘，即可计算求值．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．12．化简：__．【答案】【分析】根据完全平方公式，平方差公式求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式，正确计算是解题的关键．13．已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2014=_____．【答案】2015【详解】试题分析：∵m2+m﹣1=0，∴m2+m=1，∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m2+m+2014=1+2014=2015．故答案为2015．考点：因式分解的应用；代数式求值14．如图，正方形的边长为m＋5，面积记为S1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋9，面积记为S2（其中m为正整数）．若某个图形的面积S介于S1，S2之间（不包括S1，S2），S的整数值有且只有15个，则m＝_______．【答案】7【分析】先根据正方形和长方形的面积公式计算出S1和S2，由此可得S2﹣S1＝2m+2，再根据S介于S1，S2之间（不包括S1，S2），S的整数值有且只有15个可得2m+2＝16，由此即可求得答案．【详解】解：∵S1＝（m+5）2＝m2+10m+25，S2＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，∴S2﹣S1＝（m2+12m+27）﹣（m2+10m+25）＝2m+2，∵m为正整数，∴S2与S1都是正整数，∵某个图形的面积S介于S1，S2之间（不包括S1，S2），S的整数值有且只有15个，∴2m+2＝16，解得：m＝7，故答案为：7．【点睛】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则以及整式加减等相关知识，能够根据题意得到2m+2＝16是解决本题的关键．15．已知2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，则式子m2﹣mn﹣n2的值为__．【答案】【分析】将m2﹣mn﹣n2变形，将2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，整体代入化简即可得到答案．【详解】解：∵2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，∴m2﹣mn﹣n2＝m2+mn﹣n2﹣mn﹣3n2＝（2m2+2mn﹣n2）﹣（mn+2n2）＝（3a﹣35）﹣（2+a）＝a-＝．故答案为：﹣．【点睛】本题考查了代数式求值，根据已知条件正确对要求的代数式变形是解题的关键．16．已知是完全平方式，则的值为__________．【答案】25【分析】由已知是一个完全平方式，首项4x=（2x），中间项20x=2×2x×5，所以，末项m=5=25．【详解】∵是一个完全平方式，∴4x+20x+m=(2x+5)，∴m=25.故答案为25.【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握运算法则.三、解答题17．因式分解：(1)6（m－n）3－12（n－m）2(2)x4－8x2y2＋16y4【答案】(1)(2)【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可求解；（2）先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式计算，即可求解．【详解】（1）解：6（m－n）3－12（n－m）2（2）解：x4－8x2y2＋16y4【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．18．计算与化简：（1）（2）（3）已知，，，求的值【答案】（1）3；（2）；（3）－4【分析】（1）先算指数运算，再算加减法；（2）先去括号，再合并同类项；（3）将变形为的形式，代值求解．【详解】（1）原式=－1+1－(－3)=3（2）原式=（3）==【点睛】本题考查乘方运算和去括号，注意当括号前为“－”，去括号时括号内需要变号．19．先化简，再求值：，其中．【答案】，0．【详解】试题分析：解题关键是化简，再代入求值．试题解析：原式==，当时，原式=．考点：整式的混合运算—化简求值．20．某厂现有种原料，种原料，现计划用这两种原料生产，两个品种的饮料，已知生产每千克品种的饮料需要种原料，种原料，可获利元，生产每千克品种的饮料只需要种原料，可获利3千元，两种原料正好用完.（1）生产品种的饮料________千克.（2）生产品种的饮料使用种原料多少千克？（3）该厂共获利多少元？（用含，的式子表示）【答案】（1）200；（2）生产N品种的饮料使用种原料30千克；（3）该厂共获利元.【分析】（1）根据题意，因为两种原料正好全部用完，而N品种饮料不需要A种原料，所以A种原料皆为M品种饮料所用，用种原料除以每千克品种饮料所需要的种原料即可得出答案；（2）先将A品种饮料消耗的B种原料算出来，用B种原料总量减去它即可；（3）根据题意，列出代数式化简即可.【详解】（1）生产品种的饮料：（千克），所以答案为200.（2）生产品种的饮料所用B种原料：（千克），∵原料正好用完，∴生产品种的饮料使用种原料：（千克），答：生产品种的饮料使用种原料30千克.（3）共生产N品种饮料：（千克），∴该厂获利：（元）答：该厂共获利元.【点睛】本题主要考查了代数式的实际运用，熟练掌握相关概念是解题关键.21．若满足，求的值．解：设，，则，，∴.请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若满足，求的值；（2）已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是35，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）(x-2018)(x-2021)=16；（2）阴影部分的面积是24．【分析】（1）设x-2018=a，x-2021=b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）设x-2018=a，x-2021=b，∴a2+b2=41，a-b=3，∴-2(x-2018)(x-2021)=-2ab=(a-b)2-(a2+b2)=9-41=-32，∴(x-2018)(x-2021)=16；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，∴FM=DE=x-1，DF=x-3，∴(x-1)•(x-3)=35，∴(x-1)-(x-3)=2，∴阴影部分的面积=FM2-DF2=(x-1)2-(x-3)2．设(x-1)=a，(x-3)=b，则(x-1)(x-3)=ab=35，a-b=(x-1)-(x-3)=2，∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=4+140=144，∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b=12，∴(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)=12×2=24．即阴影部分的面积是24．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．22．阅读下列材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：；，因为，即的最小值是0，所以的最小值是5．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）求的最小值；（3）求的最大值．【答案】（1）；（2）2020；（3）2020【分析】（1）根据材料运用配方法即可解答；（2）先根据材料运用配方法得到，再根据，即可解答；（3）先根据材料运用配方法得到，再由因为，即可解答．【详解】解：（1）（2）因为，即的最小值是0．所以的最小值是2020．（3）因为，所以，即的最大值是0所以的最大值是2020．【点睛】本题考查了因式分解和配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式子的值．23．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为___．(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的