专题03 旋转的有关证明与探究

第四章图形的平移与旋转专题旋转的有关证明与探究类型1角度问题1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,将BC绕点B逆时针旋转β至BD，点C的对应点为点D,连接AD,CD,若∠BAD=2∠ABC,则β的值是()A.α-45° B.α-60° C.180°-2α D.150°-α2.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,且∠ACB=20°,求∠CAE及∠B的度数.3.我们把一副三角板如图(1)摆放在一起,其中OA,OD在一条直线上,∠ABO=45°,∠DCO=30°.(1)求∠BOC的度数;(2)如图(2),将图(1)中的△OAB以点O为旋转中心顺时针旋转到△OA'B'的位置，求当(3)如图(3),两个三角板的直角边OA,OD摆放在同一条直线上，直角边OB，OC也在同一条直线上，将△OAB绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当AB∥CD时，旋转角的度数是_____________.类型2长度问题4.如图,将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到Rt△DBE,DE的延长线恰好经过AC的中点F,连接AD,CE.(1)求证:AE=CE;(2)若BC=25.△ABC和△ADE都是等边三角形.(1)将△ADE绕点A旋转到图(1)的位置时,连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明)；(2)将△ADE绕点A旋转到图(2)的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB，PC之间有怎样的数量关系?并加以证明；(3)将△ADE绕点A旋转到图(3)的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB，PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论，不需要证明.类型3面积问题6.请认真阅读下面探究内容，完成所提出的问题：(1)探究1:如图(1),在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=5,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段DB,连接CD,过点D作BC边上的高DE,则DE与BC的数量关系是_______________,△BCD的面积为____________.(2)探究2:如图(2),在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=(m+n)²-(m-n)²(m＞0,n＞0),将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段DB,连接CD,请用含m,n的式子表示△BCD的面积，并说明理由.(3)探究3:如图(3),在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a+b+c(a>0,b>0,c>0),将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段DB,连接CD,试用含a，b，c的式子表示△BCD的面积，并说明理由.

第四章图形的平移与旋转专题旋转的有关证明与探究参考答案1.C【解析】∵AB=AC,∠BAC=α,∴∠ABC=∠ACB=12BC绕点B逆时针旋转β至BD,点C的对应点为点D,∴BD=BC.如图,延长CA到E,使得AE=AD,则∠EAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC.∵∠BAD=2∠ABC,∴∠EAB=∠BAD,∴△EAB≌△DAB(SAS),∴BE=BD=BC,∴∠E=∠ACB=∠ABC,∠EBA=∠DBA.∵α=∠E+∠EBA=∠E+∠ABD=∠ABC+(∠ABC-β)=2∠ABC-β,∴α=(180°-α)-β,∴β=180-2α,故选C.2.【解】根据旋转的性质,得CA=CE,∠BCD=∠ACE=90°,∠B=∠EDC,∴△ACE是等腰直角三角形,∴∠CAE=45°.∵∠ACB=20°,∴∠ACD=90°-20°=70°,∴∠EDC=45°+70°=115°,∴∠B=∠EDC=115°.3.【解】(1)∵∠ABO=45°,∠DCO=30°,∠BAO=∠CDO=90°,∴∠AOB=45°,∠COD=60°,∴∠BOC=180°-∠AOB.∠COD=180°-45°-60°=75°.(2)∵△OAB以O为旋转中心顺时针旋转得到.△O∵∠COD=60°,OB'平分∠COD,∴∠COB'=30°,∴∠CO∴∠A'(3)如图(1),设A'B'与OD相交于点E.∵A'B'∥CD,∴∠CDO=∠∵∠A如图(2),设A'B'与AO相交于点F.∵A'B'∥CD,∴∠D=∠∴旋转角的度数为360°-75°=285°.综上所述，当AB∥CD时，旋转角的度数为105°或285°.故答案为105°或285°.4.(1)【证明】∵将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到Rt△DBE,∴△ABC≌△DBE,∴∠BAC=∠CDF.∵∠BAC+∠ACB=90°,∴∠CDF+∠ACB=90°,∴DF⊥AC.又∵点F是AC的中点,∴DF垂直平分AC,∴AE=CE.(2)【解】由(1)知△ABC≌△DBE,∴BE=BC=2,∴CE=AE=2,∴AB=AE+BE=2+2.5.【解】(2)PB=PA+PC.理由如下:如图(1),在BP上截取BF=PC,连接AF.∵△ABC,△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,∴△AFP是等边三角形,∴PF=PA,∴PB=BF+PF=PC+PA.(3)PC=PA+PB.如图(2),在PC上截取CM=PB,连接AM.同(2)得△ABD≌△ACE(SAS).∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,PB=CM,∴△AMC≌△APB(SAS),∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,∴∠BAC=∠PAM=60°,∴△AMP是等边三角形,∴PM=PA,∴PC=PM+CM=PA+PB.6.【解】(1)∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°.由旋转知,AB=DB.∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠D