第十七章 特殊三角形 综合检测

第十七章特殊三角形综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A<∠B，则a<b”时，应先假设()A.a>b B.a≥b C.a=b D.a≤b2.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是()A.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 B.∠A=2∠B=2∠CC.AB=34，BC=3，AC=5 D.∠A=20°，∠B=70°3.(2023河南南阳卧龙期末)勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股术曰:勾股各自乘，并而开方除之，即弦.”即c=a2+b2(a为“勾”，b为“股”，c为“弦”)，若“勾”为2A.5 B.4 C.3 D.24.沫沫要画∠MON的平分线，她是这样操作的，首先以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，连接AB，然后拿一根细绳，将一端固定到O点，转动绳子，绳子交AB于点C，当OC最短时，射线OC即为∠MON的平分线，在这个过程中她用到的数学知识有()①等腰三角形的概念；②垂线段最短；③等腰三角形“三线合一”的性质；④勾股定理.A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④5.(2023河北石家庄十七中月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E，BC=2，则DE的长是()A.1 B.2 C.3 D.46.(2023山东邹城期末)已知:在△ABC中，∠A=60°，若要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件.现有下面三种说法:①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形.上述说法中，正确的有()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个7.(2023山西朔州期末)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，那么这个等腰三角形的顶角等于()A.55°或125° B.55° C.125° D.35°或55°8.如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则图中所有符合条件的点C应该有()A.7个 B.8个 C.9个 D.10个9.(2022河北承德期末)如图1，在△ABC中，AB=BC=2，∠B=120°，M是BC的中点，设AM=a，则表示实数a的点落在数轴上(如图2)所标四段中的() 图1 图2A.①段 B.②段 C.③段 D.④段10.(2023北京十一学校期末)如图，从等边三角形内一点P向三边作垂线，垂足分别是Q、R、S，PQ=3，PR=4，PS=5，则△ABC的面积是()A.48 B.483 C.96 D.96二、填空题(每小题3分，共18分)11.(2023广西南宁宾阳期中)如图，AB⊥BC，AD⊥DC，请你添加一个条件，利用“HL”，证明Rt△ABC≌Rt△ADC.12.(2023辽宁大连三十七中期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连接DC，则∠DCB的度数是.13.(2022四川内江威远中学期中)已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，则此三角形的形状为.

14.(2023江苏徐州鼓楼树德中学期末)若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是.15.(2023山东烟台期末)如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，测得∠A=60°，∠C=90°，AC=1km.据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于km.16.(2023广东梅州梅县期末)如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，……，An-1Bn-1=An-1An(n≥2且n为整数)，若∠B=48°，则∠A2022A2023B2022的度数为.三、解答题(共52分)17.(2023湖北武汉黄陂期末)(7分)如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB=DC，求证:AC=DB.18.(2023重庆荣昌期末)(7分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E.(1)求证:AE=2CE；(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.19.(2023安徽宿州埇桥期中)(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9.(1)求AD的长；(2)判断△ABC的形状，并说明理由.20.(2023江苏宿迁宿豫期中)(8分)如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD，与BA的延长线相交于点E，点F在AD的延长线上，且FC=AC.求证:(1)△ACE是等腰三角形；(2)AB∥CF.21.(2023重庆八中期末)(10分)如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变.(1)若CF=7米，AF=24米，AB=18米，求男子向右移动的距离；(结果保留根号)(2)在(1)的条件下，男子以0.5米每秒的速度收绳，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置?22.(2023广东深圳福田期中)(12分)阅读下面材料:某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究:在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点.(1)如图1，若点E、F分别在线段AB、AC上，且AE=CF，连接EF、DE、DF、AD，此时小明发现∠BAD=°，AD DC(填“>”“<”或“=”).接下来小明和同学们继续探究，发现一个结论:线段EF长与DE长的比值是一个固定值，即EF=DE；

(2)如图2，E、F分别在线段BA、AC的延长线上，且AE=CF，若EF=4，求DE的长；(3)如图3，AB=AC=6，动点M在AD的延长线上，点H在直线AC上，且满足∠BMH=90°，CH=2，请直接写出DM的长为.

图1 图2 图3

第十七章特殊三角形综合检测答案全解全析一、选择题1.B用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A<∠B，则a<b”时，应先假设a≥b，故选B.2.AA.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∴∠C=180°×512=75°∠A=180°×312=45°，∠B=180°×412=60°，∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；B.∵∠A=2∠B=2∠C，∴∠B=∠14=45°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意C.∵32+53=(34)2，∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；D.∵∠A=20°，∠B=70°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意.故选A.3.Bc=a2+b2(a为“勾”，b为“股”，c为“弦”)，“勾”为2，“股”为3，则“弦”=22+32=13，∵12.25<13<16，∴3.5<4.B首先以点O为圆心，任意长为半径画弧，可以得到OA=OB，根据等腰三角形的定义可知△OAB为等腰三角形，然后当OC最短时，根据垂线段最短可知此时OC⊥AB，最后根据等腰三角形“三线合一”的性质可知OC平分∠MON.5.A∵DE⊥AC，∠A=30°，∴DE=12AD，∵∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，∴AD=BD=12AB，∵∠A=30°，∴∴AD=2，∴DE=12AD=1，6.A①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若添加条件为∠B=∠C，∵∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，设边AB、BC上的高为h，∵△ABC的面积=12AB·h=12BC·∴AB=BC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠A=60°，∴△ABC为等边三角形.综上，正确的说法有3个.故选A.7.A本题中容易出现遗漏钝角三角形的情况.当高在三角形内部时(如图1)，顶角是90°-35°=55°；当高在三角形外部时(如图2)，顶角是90°+35°=125°.故选A.图1图28.B如图所示，①AB为等腰三角形的底边时，符合条件的点C有5个；②AB为等腰三角形的一条腰时，符合条件的点C有3个.所以符合条件的点C共有8个.故选B.9.A如图，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于点H，∵∠ABC=120°，∴∠ABH=60°，∴∠BAH=30°，∵AB=2，∴HB=1，∴AH=22∵BC=2，M是BC的中点，∴BM=1，∴HM=2，在Rt△AHM中，AM=AH∵2.6<7<2.7，∴表示实数a的点落在①段上.故选A.10.B如图，连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，∵S△ABC=12BC·(PQ+PR+PS)=12BC·AD，∴∴AD=3+4+5=12，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=12AB，设BD=x(x>0)，则AB=2x，在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2x2+122=(2x)2，解得x=43，∴BC=AB=2×43=8∴S△ABC=12BC·AD=12×83×12=48二、填空题11.答案AB=AD(答案不唯一)解析可添加AB=AD，理由:∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC=AC∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).12.答案30°解析在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠A=60°，由作图可知AD=AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴∠DCB=90°-60°=30°.13.答案等边三角形解析由a2+2b2+c2-2b(a+c)=0得(a-b)2+(b-c)2=0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b，b=c，∴a=b=c，∴该三角形是等边三角形.14.答案18解析∵直角三角形斜边上的中线是6，∴斜边长=2×6=12，∵直角三角形斜边上的高是3，∴这个直角三角形的面积=12×12×15.答案3解析∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∵AC=1km，∴AB=2AC=2km，∴BC=AB2-16.答案66解析∵AB=A1B，∠B=48°，∴∠AA1B=(180°-48°)÷2=66°，∵A1B1=A1A2，∴∠A1A2B1=66°2=33°，同理可得∠A2A3B2=66°∴∠A2022A2023B2022=66°三、解答题17.证明∵AC⊥CB，DB⊥CB，∴△ACB与△DBC均为直角三角形，在Rt△ACB与Rt△DBC中，AB=DC∴Rt△ACB≌Rt△DBC(HL)，∴AC=DB.18.解析(1)证明:如图，连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE，∴AE=2CE.(2)△BCD是等边三角形.理由如下:∵DE垂直平分AB，∴D为AB的中点，∵∠ACB=90°，∴CD=BD，∵∠ABC=60°，∴△BCD是等边三角形.19.解析(1)∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=BC2在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC(2)△ABC是直角三角形，理由:由(1)知AD=16，∴AB=AD+DB=16+9=25，在△ABC中，∵AC2+BC2=202+152=625，AB2=252=625，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形.20.证明(1)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAF=∠CAF，∵CE∥AD，∴∠CAF=∠ACE，∠BAF=∠E，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC，∴△ACE是等腰三角形.(2)∵FC=AC，∴∠CAF=∠F，∵∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB∥CF.21.解析(1)∵∠AFC=90°，AF=24米，CF=7米，∴AC=242+∵BF=AF-AB=24-18=6(米)，∴BC=CF2∴CE=AC-BC=(25-85)米.答:男子向右移动的距离为(25-85)米.(2)∵AC-CF=25-7=18(米)，且男子以0.5米每秒的速度收绳，∴收绳的时间为180.5=36(秒)，∴该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置.22.解析(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°.∵点D是斜边BC的中点，∴AD是BC边上的中线.∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×∴∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=∠BCA，∴AD=DC，在△ADE和△CDF中，AE=CF∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF=DE(2)∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠BCA=45°.∵点D是斜边BC的中点，∴AD是BC边上的中线.∴AD