数学示范教案：两角和与差的正弦

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7（）,\s\do5（整体设计）)教学分析1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差"关系的正弦公式的．在这些公式的推导中,教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,即α＋β＝α－(－β）的关系，从而由公式Cα－β推得公式Cα＋β，又如：比较sin（α－β）与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式Sα－β、Sα＋β等．2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．3．本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件,明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力．2．通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力．3．通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提升学生的数学素质．重点难点教学重点：两角和与差的正弦公式的推导及运用．教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．课时安排1课时eq\o(\s\up7(),\s\do5（教学过程）)导入新课思路1。(复习导入）教师先让学生回顾上节课所推导的两角和与差的余弦公式，并把公式默写在黑板上（或打出幻灯)，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos（α－β）与sin(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出Sα－β、Sα＋β。本节课我们共同研究公式的推导及其应用．思路2。（问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既复习回顾上节所学公式,又为本节新课作准备．若sinα＝eq\f（\r（5)，5),α∈（0，eq\f(π,2）)，cosβ＝eq\f(\r（10），10)，β∈(0，eq\f（π,2)),求cos(α－β)，cos(α＋β）的值．学生利用公式Cα－β很容易求得cos(α－β)，从而引出新课题，并由此展开联想新公式的探究．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出问题）)eq\a\vs4\al(你能根据所学知识推导出两角和与差的正弦公式吗?)活动：引导学生观察思考幻灯中的两角和与差的余弦公式，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦（也有的想到利用同角的平方和关系式sin2α＋cos2α＝1来互化，这些想法都很好．鼓励学生试一试．从诱导公式cos（eq\f(π，2)－α)＝sinα，sin(eq\f（π,2）－α)＝cosα，我们可以得到：sin(α＋β）＝cos［eq\f(π,2）－（α＋β）]＝cos[（eq\f(π,2)－α)－β]＝cos(eq\f(π,2)－α）cosβ＋sin(eq\f（π，2)－α)sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ。在上述公式中β用－β代之，则sin（α－β)＝sin［α＋(－β)］＝sinαcos(－β)＋cosαsin（－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为Sα＋β、Sα－β.eq\x(\a\al（sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβSα＋β，sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβSα－β）)讨论结果：略．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例)）思路1例1求sin75°,sin15°的值．活动:引导学生进行拆角转化．本例直接应用公式，可由学生自己完成．解：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝eq\f（\r（2）,2）·eq\f（\r（3)，2）＋eq\f(\r(2),2)·eq\f(1,2）＝eq\f（\r（6）＋\r（2),4）;sin15°＝sin(45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f（\r(2)，2)·eq\f（\r(3）,2）－eq\f(\r(2），2）·eq\f（1，2)＝eq\f(\r(6)－\r(2），4）。变式训练1．已知cos(α－eq\f（π,6））＋sinα＝eq\f（4,5）eq\r(3）,则sin(α＋eq\f（7π，6))的值是（)A．－eq\f(2\r(3),5）B.eq\f（2\r（3),5）C．－eq\f（4，5）D.eq\f（4，5)答案：C2．已知sinα＝－eq\f（3,5)，α是第四象限角，求sin（eq\f(π，4）－α），cos(eq\f(π，4）＋α)的值．解：由sinα＝－eq\f(3，5)，α是第四象限角，得cosα＝eq\r（1－sin2α)＝eq\r（1－－\f(3,5）2）＝eq\f(4，5），于是有sin(eq\f（π，4）－α)＝sineq\f(π,4)cosα－coseq\f（π,4）sinα＝eq\f(\r(2)，2）×eq\f(4，5）－eq\f（\r(2),2）×(－eq\f（3,5)）＝eq\f（7\r(2）,10），cos(eq\f（π,4)＋α)＝coseq\f（π,4)cosα－sineq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r（2)，2）×eq\f(4,5)－eq\f（\r(2）,2)×（－eq\f（3，5）)＝eq\f(7\r（2），10）。例2已知向量eq\o（OP,\s\up6(→））＝(3,4），逆时针旋转45°到eq\o（OP′,\s\up6（→)）的位置．求点P′(x′，y′)的坐标(图1）．解：设∠xOP＝α。图1因为｜OP｜＝eq\r（32＋42)＝5,所以cosα＝eq\f（3,5),sinα＝eq\f（4,5）。又因为x′＝5cos(α＋45°)＝5（cosαcos45°－sinαsin45°)＝5（eq\f（3，5）·eq\f（\r(2),2）－eq\f（4，5）·eq\f（\r(2）,2））＝－eq\f(\r（2)，2），y′＝5sin(α＋45°）＝5(sinαcos45°＋cosαsin45°)＝5(eq\f（4，5)·eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3，5)·eq\f(\r(2），2)）＝eq\f(7\r(2），2)，所以P′(－eq\f（\r(2),2)，eq\f(7\r(2），2））.变式训练已知点P(x,y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点P′（x′，y′)（图2）．求证：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x′＝xcosθ－ysinθ，,y′＝xsinθ＋ycosθ.)）图2证明：设∠xOP＝α，｜OP｜＝r，则cosα＝eq\f(x，r），sinα＝eq\f（y，r)。从而x′＝rcos（α＋θ)＝r（cosαcosθ－sinαsinθ)＝xcosθ－ysinθ,y′＝rsin(α＋θ）＝r（sinαcosθ＋cosαsinθ）＝xsinθ＋ycosθ，即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝xcosθ－ysinθ，，y′＝xsinθ＋ycosθ.））例3求证：cosα＋eq\r(3）sinα＝2sin(eq\f(π，6）＋α)．活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视．对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式Sα＋β展开，化简整理即可得到左边，这是很自然的，教师要给予鼓励．同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式Sα＋β的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为了一个三角函数．证明：方法一:右边＝2(sineq\f(π，6）cosα＋coseq\f(π，6）sinα)＝2（eq\f（1，2）cosα＋eq\f(\r(3)，2）sinα）＝cosα＋eq\r（3）sinα＝左边．方法二：左边＝2（eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3)，2）sinα）＝2(sineq\f(π,6)cosα＋coseq\f（π,6）sinα)＝2sin(eq\f(π，6)＋α)＝右边．点评:本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质．本例的证法二将左边的系数1与eq\r（3）分别变为了eq\f（1，2）与eq\f（\r(3),2)，即辅助角eq\f(π，6)的正、余弦．关于形如asinx＋bcosx（a，b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin（x＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin（x＋φ）的形式．一般情况下，如果a＝Acosφ，b＝Asinφ,那么asinx＋bcosx＝A(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝Asin(x＋φ)．由sin2φ＋cos2φ＝1，可得:A2＝a2＋b2，A＝±eq\r（a2＋b2），不妨取A＝eq\r(a2＋b2）,于是得到cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)),sinφ＝eq\f(b，\r(a2＋b2))，因此asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，通过引入辅助角φ,可以将asinx＋bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式．化为这种形式可解决asinx＋bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质．因此在历年高考试题中出现的频率非常高,是三角部分中高考的热点，再结合后续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练地掌握它。变式训练1．化简下列各式:（1)eq\r（3）sinx＋cosx;（2）eq\r(2)cosx－eq\r（6）sinx.解：(1）原式＝2（eq\f（\r(3),2)sinx＋eq\f（1，2）cosx)＝2（coseq\f(π，6)sinx＋sineq\f（π，6）cosx)＝2sin（x＋eq\f（π,6)）．（2)原式＝2eq\r（2)（eq\f（1，2）cosx－eq\f（\r（3），2)sinx）＝2eq\r(2）(sineq\f（π,6）cosx－coseq\f（π，6）sinx）＝2eq\r(2)sin（eq\f(π,6)－x）。2。求函数y＝asinx＋bcosx的最大值、最小值和周期，其中a，b是不同时为零的实数．解：考察以（a，b）为坐标的点P（a，b）（图3），设以OP为终边的一个角为θ，则cosθ＝eq\f（a，\r(a2＋b2)），sinθ＝eq\f（b，\r(a2＋b2)）。图3于是y＝eq\r(a2＋b2)(eq\f（a,\r(a2＋b2））sinx＋eq\f（b，\r（a2＋b2））cosx）＝eq\r（a2＋b2)(cosθsinx＋sinθcosx)＝eq\r(a2＋b2）sin(x＋θ),其中cosθ＝eq\f（a，\r(a2＋b2）），sinθ＝eq\f(b,\r（a2＋b2）).所以函数y＝asinx＋bcosx的最大值是eq\r（a2＋b2),最小值是－eq\r(a2＋b2)，周期是2π.思路2例1若sin(eq\f(3π，4）＋α）＝eq\f（5,13），cos(eq\f（π，4）－β)＝eq\f(3，5），且0〈α<eq\f(π，4）〈β<eq\f(3π，4），求cos(α＋β）的值．活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值．尽管学生思考有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论,教师不可直接给出解答．对于探究不出的学生,教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确地判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键．学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它．对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等．如教师可变换α,β角的范围,进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值．解：∵0〈α<eq\f(π,4)〈β〈eq\f(3π,4），∴eq\f(3π，4)<eq\f(3π，4）＋α〈π,－eq\f(π,2)〈eq\f(π,4）－β〈0.又已知sin(eq\f（3π,4）＋α)＝eq\f（5,13），cos(eq\f（π,4)－β）＝eq\f（3,5)，∴cos(eq\f(3π，4)＋α)＝－eq\f(12，13)，sin(eq\f(π，4)－β）＝－eq\f（4，5）。∴cos（α＋β)＝sin［eq\f(π，2)＋（α＋β)］＝sin[(eq\f(3π,4)＋α)－（eq\f（π，4）－β）］＝sin(eq\f（3π,4）＋α)cos(eq\f（π,4）－β)－cos（eq\f(3π，4)＋α）sin(eq\f（π,4)－β)＝eq\f（5,13)×eq\f(3,5)－（－eq\f（12，13））×(－eq\f(4，5)）＝－eq\f(33,65).点评：本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想．这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力。变式训练已知α，β∈（eq\f（3π，4）,π），sin(α＋β)＝－eq\f（3，5),sin(β－eq\f(π,4））＝eq\f(12,13），求cos（α＋eq\f(π,4)）的值．解:∵α，β∈(eq\f(3π,4),π），sin（α＋β）＝－eq\f(3，5)，sin（β－eq\f（π,4））＝eq\f(12，13),∴eq\f(3π，2)<α＋β〈2π，eq\f（π，2)<β－eq\f（π，4)<eq\f(3π，4）。∴cos（α＋β)＝eq\f（4,5)，cos（β－eq\f(π,4)）＝－eq\f(5,13）.∴cos(α＋eq\f（π，4））＝cos［（α＋β)－(β－eq\f（π,4））］＝cos(α＋β）cos(β－eq\f(π，4))＋sin(α＋β）sin(β－eq\f（π,4）)＝eq\f（4,5)×（－eq\f(5,13))＋(－eq\f（3，5)）×eq\f(12,13）＝－eq\f(56,65)。例2化简eq\f(sinα－β,sinαsinβ）＋eq\f（sinβ－θ,sinβsinθ)＋eq\f（sinθ－α，sinθsinα).解：原式＝eq\f（sinαcosβ－cosαsinβ，sinαsinβ)＋eq\f(sinβcosθ－cosβsinθ,sinβsinθ）＋eq\f（sinθcosα－cosθsinα，sinθsinα)＝eq\f（sinαcosβsinθ－cosαsinβsinθ,sinαsinβsinθ)＋eq\f(sinαsinβcosθ－sinαcosβsinθ，sinαsinβsinθ）＋eq\f（sinθsinβcosα－cosθsinβsinα,sinθsinβsinα)＝eq\f（0，sinθsinβsinα）＝0.变式训练化简eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β）。解:原式＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ）＝eq\f（cosαsinβ－sinαcosβ,sinαsinβ＋cosαcosβ)＝eq\f(sinβ－α，cosβ－α)＝tan(β－α)。例3已知三个电流瞬时值的函数式分别是I1＝eq\r（2)sinωt,I2＝2sin(ωt－45°）,I3＝4sin(ωt＋45°)．求它们合成后的电流瞬时值的函数式，并指出这个函数的振幅和初相．解：I＝I1＋I2＋I3＝eq\r(2)sinωt＋2sin（ωt－45°)＋4sin(ωt＋45°）＝eq\r（2)sinωt＋2（sinωtcos45°－cosωtsin45°）＋4(sinωtcos45°＋cosωtsin45°)＝4eq\r(2）sinωt＋eq\r（2)cosωt＝eq\r（34）(eq\f（4,\r(17))sinωt＋eq\f（1,\r（17)）cosωt）＝eq\r（34)(sinωtcosθ＋cosωtsinθ）＝eq\r(34）sin(ωt＋θ），其中θ＝arctaneq\f（1，4）≈14°2′。所以I＝eq\r(34)sin（ωt＋14°2′),振幅为eq\r(34)，初相为14°2′。点评：由本例可知：几个振幅和初相不同，但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波，同时可求得这个正弦波的振幅和初相．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结）)1．先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制?怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想—-“转化思想”，并要正确熟练地运用公式解题．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作业）)1．课本本节练习B组1～4。2．已知函数f（x)＝2sineq\f（x，4)coseq\f(x,4）－2eq\r（3)sin2eq\f(x，4)＋eq\r（3）。（1)求函数f(x)的最小正周期及最值;(2）令g（x）＝f(x＋eq\f（π,3）），判断函数g(x）的奇偶性，并说明理由．解：（1）∵f(x）＝sineq\f（x,2)＋eq\r（3)(1－2sin2eq\f（x，4)）＝sineq\f（x，2)＋eq\r(3）coseq\f(x,2）＝2sin(eq\f(x，2)＋eq\f（π,3))，∴f（x)的最小正周期T＝eq\f(2π，\f(1,2）)＝4π.当sin（eq\f(x,2)＋eq\f(π，3）)＝－1时,f(x)取得最小值－2；当sin（eq\f(x,2)＋eq\f(π,3)）＝1时,f（x)取得最大值2.(2）由（1）知f（x）＝2sin(eq\f(x，2）＋eq\f(π,3）)，又g（x）＝f(x＋eq\f（π，3））,∴g（x）＝2sin［eq\f(1，2）(x＋eq\f（π，3）)＋eq\f(π，3)］＝2sin(eq\f（x，2）＋eq\f（π，2）)＝2coseq\f（x,2)。∴g（－x)＝2cos(－eq\f（x,2））＝2coseq\f（x，2)＝g（x)．∴函数g(x）是偶函数．eq\o（\s\up7(），\s\do5(设计感想）)1．本节课是典型的公式教学模式，本节课是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”；引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想--“转化思想”，并培养他们主动利用“转化思想”指导探索解决数学问题的能力．2．纵观本教案的设计,知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导证明方法,熟练会用公式解决简单的问题．同时教给学生发现规律，探索推导，获取新知的方法,让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感．eq\o（\s\up7（)，\s\do5(备课资料））一、三角函数知识口诀三角函数是函数，象限符号坐标注；函数图象单位圆,周期奇偶增减现．同角关系很重要，化简证明都需要；同角仅是正余切，平方商除有技巧．诱导公式就是好,负化正后大化小；变成锐角好查表，化简证明少不了．三角公式就是美，二的一半整数倍；千变万化有规律，奇数化余偶不变．将其后者视锐角，符号原来函数判；两角和的余弦值，化为单角好求值．计算证明角先行，注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变．换角变形众公式，抓住角的相对性；公式虽多巧记忆，互余角度变名称．二、备用习题1．在△ABC中，sinAsinB〈cosAcosB,则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形2.eq\r(3)coseq\f(π，12)－sineq\f（π,12）的值是()A．0B．－eq\r（2)C.eq\r（2)D．23．在△ABC中，有关系式tanA＝eq\f(cosB－cosC，sinC－sinB)成立，则△ABC为（)A．等腰三角形B．A＝60°的三角形C．等腰三角形或A＝60°的三角形D．不能确定4．若cos（α－β)＝eq\f(1,3），cosβ＝eq\f(3,4)，α－β∈（0,eq\f(π，2））,β∈(0，eq\f(π,2））,则有(）A．α∈（0，eq\f（π，2）)B．α∈（eq\f(π,2）,π）C．α∈（－eq\f(π,2），0)D．α＝eq\f（π,2）5．求值：eq\f（2cos5°－sin25°，cos25°)＝__________。6．若sinα·sinβ＝1，则cosα·cosβ＝__________。7．已知cos(α＋β）＝e