《一 数量积的坐标表示》知识清单

《一数量积的坐标表示》知识清单一、复习向量的基本知识1、向量的定义向量就像是一个带着方向的箭头。比如说，你在操场上从一个点跑到另一个点，你跑的这个路线就可以看成是一个向量。它有起点、终点，还有方向。在数学里，我们可以用有向线段来表示向量。向量有大小和方向两个要素。大小就是这个向量的长度，就像你跑的距离一样。如果用字母表示向量的话，像$＼overrightarrow{a}＄，＄＼overrightarrow{b}＄这样。2、向量的加法和减法向量加法就像是两个人一起走的效果。假如你和你的朋友在操场上，你从A点走到B点，这是一个向量$＼overrightarrow{a}＄，你的朋友从B点走到C点，这是一个向量$＼overrightarrow{b}＄，那从A点直接到C点这个向量就是$＼overrightarrow{a}＋＼overrightarrow{b}＄。向量减法呢，就像是你本来要走的路和实际走的路的差别。比如说你计划从A点走到C点，这是向量$＼overrightarrow{c}＄，但是你先走到了B点，这是向量$＼overrightarrow{b}＄，那从B点到C点这个向量就是$＼overrightarrow{c}＼overrightarrow{b}＄。二、引出向量数量积的坐标表示1、向量数量积的概念回顾向量的数量积可不像向量加法减法那么简单直观。咱们之前学过，向量的数量积是一个数，它等于这两个向量的模（也就是长度）相乘，再乘以它们夹角的余弦值。比如说有两个向量$＼overrightarrow{a}＄和$＼overrightarrow{b}＄，它们的数量积$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert\vert\overrightarrow{b}＼vert\cos\theta$，这里的$＼theta$就是$＼overrightarrow{a}＄和$＼overrightarrow{b}＄的夹角。我给你讲个例子啊。有一次我在公园里看到两个小朋友拉一个小推车。小朋友用力的方向和推车移动的方向有个夹角。如果把小朋友的力看成一个向量，推车移动的位移看成另一个向量，那这个力做的功其实就和这两个向量的数量积有关系。因为功等于力乘以位移在力方向上的分量，这就和向量数量积的概念相通了。2、为什么要研究数量积的坐标表示在实际计算中，用向量的模和夹角来计算数量积有时候很麻烦。就像你要计算一个复杂形状的面积，如果有更简单的方法，你肯定想用。所以我们就想找到一种用向量坐标来计算数量积的方法，这样计算起来就会方便很多。三、向量数量积的坐标表示推导1、设向量的坐标咱们先设两个向量$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，＄＼overrightarrow{b}＝（x_{2}，y_{2}）＄。这里的$x_{1}＄、＄y_{1}＄就是向量$＼overrightarrow{a}＄在坐标轴上的坐标，＄x_{2}＄、＄y_{2}＄是向量$＼overrightarrow{b}＄的坐标。这就好比你在地图上找一个地方，需要知道它的横坐标和纵坐标一样。向量在平面直角坐标系里也有它自己的坐标定位。2、根据向量模和夹角的关系推导我们知道向量的模可以用坐标来表示。对于向量$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，它的模$＼vert\overrightarrow{a}＼vert＝＼sqrt{x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}｝＄。同样，对于向量$＼overrightarrow{b}＝（x_{2}，y_{2}）＄，＄＼vert\overrightarrow{b}＼vert=＼sqrt{x_{2}＾｛2}＋y_{2}＾｛2}｝＄。又因为向量的数量积$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert\vert\overrightarrow{b}＼vert\cos\theta$。那我们可以根据向量的坐标来表示这个夹角的余弦值。假设向量$＼overrightarrow{a}＄和$＼overrightarrow{b}＄的起点都是原点，那向量$＼overrightarrow{a}＄的终点坐标是$（x_{1}，y_{1}）＄，向量$＼overrightarrow{b}＄的终点坐标是$（x_{2}，y_{2}）＄。我们可以用两点间距离公式和三角函数的知识来推导。经过一番推导（这个推导过程就像你解开一个复杂的谜题一样），最后我们得到向量数量积的坐标表示公式：＄＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＝x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＄。四、数量积坐标表示的性质1、交换律向量的数量积满足交换律，也就是说$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＝＼overrightarrow{b}＼cdot\overrightarrow{a}＄。用坐标表示就是，如果$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，＄＼overrightarrow{b}＝（x_{2}，y_{2}）＄，那么$x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＝x_{2}x_{1}＋y_{2}y_{1}＄。这就好比你和你的朋友互相交换礼物，虽然交换了，但是礼物的总量是不变的。2、分配律数量积还满足分配律，即$＼overrightarrow{a}＼cdot(＼overrightarrow{b}＋＼overrightarrow{c}）＝＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＋＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{c}＄。假如有向量$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，＄＼overrightarrow{b}＝（x_{2}，y_{2}）＄，＄＼overrightarrow{c}＝（x_{3}，y_{3}）＄。左边：＄＼overrightarrow{b}＋＼overrightarrow{c}＝（x_{2}＋x_{3}，y_{2}＋y_{3}）＄，那么$＼overrightarrow{a}＼cdot(＼overrightarrow{b}＋＼overrightarrow{c}）＝x_{1}（x_{2}＋x_{3}）＋y_{1}（y_{2}＋y_{3}）＝x_{1}x_{2}＋x_{1}x_{3}＋y_{1}y_{2}＋y_{1}y_{3}＄。右边：＄＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＋＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{c}＝x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＋x_{1}x_{3}＋y_{1}y_{3}＄，左右两边相等。这就像你把钱分给两个人和把钱先加起来再分给一个人，结果是一样的。五、数量积坐标表示的应用1、判断向量垂直如果两个向量垂直，那它们的数量积是0。用坐标表示就是，如果$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，＄＼overrightarrow{b}＝（x_{2}，y_{2}）＄，当$＼overrightarrow{a}＼perp\overrightarrow{b}＄时，＄x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＝0$。比如说在建筑工程里，有两根钢梁，如果我们把钢梁的受力方向看成向量，当这两根钢梁受力方向垂直的时候，就满足这个数量积为0的关系。这可以帮助工程师计算结构的稳定性等问题。2、计算向量的模我们知道向量$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄的模$＼vert\overrightarrow{a}＼vert=＼sqrt{x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}｝＄，这个其实也和数量积有关。因为$＼vert\overrightarrow{a}＼vert^｛2}＝＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{a}＝x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}＄。就像你要测量一根绳子的长度，你可以把绳子看成一个向量，用这个公式就能计算出它的长度（当然这里是数学上的抽象长度）。3、计算向量的夹角根据向量数量积的公式$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert\vert\overrightarrow{b}＼vert\cos\theta$，我们可以得到$＼cos\theta=＼frac{＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}｝｛＼vert\overrightarrow{a}＼vert\vert\overrightarrow{b}＼vert}＄。用坐标表示就是$＼cos\theta=＼frac{x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}｝｛＼sqrt{x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}｝＼sqrt{x_{2}＾｛2}＋y_{2}＾｛2}｝｝＄。比如在导航系统里，要计算两个地点的方向夹角，就可以把两个地点相对于原点的向量用坐标表示出来，然后用这个公式计算夹角，这样就能确定导航的方向。六、典型例题1、例1：计算向量数量积已知向量$＼overrightarrow{a}＝（3,2)＄，＄＼overrightarrow{b}＝（1,4)＄，求$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＄。解：根据数量积的坐标表示公式$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＝x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＄，这里$x_{1}＝3$，＄y_{1}＝－2$，＄x_{2}＝－1$，＄y_{2}＝4$，所以$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＝3\times(－1)＋（－2)＼times4=－38=－11$。2、例2：判断向量是否垂直已知向量$＼overrightarrow{m}＝（2,1)＄，＄＼overrightarrow{n}＝（1,2)＄，判断$＼overrightarrow{m}＄和$＼overrightarrow{n}＄是否垂直。解：计算$＼overrightarrow{m}＼cdot\overrightarrow{n}＝2\times(－1)＋1\times2=－2＋2＝0$，因为$＼overrightarrow{m}＼cdot\overrightarrow{n}＝0$，所以$＼overrightarrow{m}＼perp\overrightarrow{n}＄。3、例3：计算向量的模和夹角已知向量$＼overrightarrow{p}＝（1,＼sqrt{3}）＄，求$＼vert\overrightarrow{p}＼vert$和向量$＼overrightarrow{p}＄与$x$轴正方向的夹角$＼theta$。解：计算向量的模：＄＼vert\overrightarrow{p}＼vert=＼sqrt{x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}｝＝＼sqrt{1^｛2}＋（＼sqrt{3}）＾｛2}｝＝＼sqrt{1＋3}＝2$。计算夹角：因为向量$＼overrightarrow{p}＝（1,＼sqrt{3}）＄，＄x$轴正方向的单位向量可以看成$＼overrightarrow{i}＝（1,0)＄，所以$＼cos\theta=＼frac{＼overrightarrow{p}＼cdot\overrightarrow{i}｝｛＼vert\overrightarrow{p}＼vert\vert\overrightarrow{i}＼vert}＝＼frac{1\times1+＼sqrt{3}＼times0}｛2\times1}＝＼frac{1}｛2}＄，所以$＼theta＝60^｛＼circ}＄。七、练习题1、已知向量$＼overrightarrow{a}＝（4,3)＄，＄＼overrightarrow{b}＝（2,1)＄，求$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＄。2、向量$＼overrightarrow{c}＝（3,4)＄，＄＼overrightarrow{d}＝（k,2)＄，若$＼overrightarrow{c}＼perp\overrightarrow{d}＄，求$k$的值。3、求向量$＼overrightarrow{e}＝（1,2)＄的模。4、已知向量$＼overrightarrow{f}＝（2,1)＄，＄＼overrightarrow{g}＝（1,3)＄，求向量$＼overrightarrow{f}＄与$＼overrightarrow{g}＄的夹角。参考答案：1、根据数量积坐标表示公式$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＝x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＄，这里$x_{1}＝4$，＄y_{1}＝3$，＄x_{2}＝－2$，＄y_{2}＝1$，所以$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＝4\times(－2)＋3\times1=－8＋3=－5$。2、因为$＼overrightarrow{c}＼perp\overrightarrow{d}＄，所以$＼overrightarrow{c}＼cdot\overrightarrow{d}＝0$，即$3k+（－4)＼times2＝0$，