《铁链的长度》导学案

《铁链的长度》导学案班次：组号：姓名：【学习目标】知识与能力目标：能理解铁链长度问题的原理，学会计算铁链长度，包括不同环数铁链的长度计算方法；过程与方法目标：通过观察、分析、讨论铁链结构，找出计算铁链长度的规律，提高解决数学问题的能力；情感态度与价值观目标：在解决铁链长度问题的过程中，培养耐心细致的学习态度，体验数学在生活中的应用乐趣。【学法指导】预习探索、小组合作、实际操作、总结归纳【重、难点】重点：掌握铁链长度的计算方法，理解铁链中每个环的长度与连接部分的关系。难点：能灵活运用所学知识，解决不同形式的铁链长度问题。【课前检测】1、一个圆形铁环，直径是5厘米，它的周长是多少？（圆周率取3.14）答案：根据圆的周长公式C=πd，这里d=5厘米，所以周长C=3.14×5=15.7厘米。2、一根直铁丝长10厘米，如果把它弯成一个圆形，这个圆形的半径大概是多少？（圆周率取3.14）答案：根据圆的周长公式C=2πr，这里C=10厘米，那么r=C÷(2π)=10÷(2×3.14)≈1.59厘米。3、有5个相同的小正方形，每个小正方形边长为2厘米，如果把它们排成一排，总长度是多少？答案：因为每个小正方形边长为2厘米，5个排成一排，总长度就是5×2=10厘米。【知识链接】同学们，咱们先来讲个小故事。我家的小院子里有个旧铁链，我一直好奇它到底有多长呢。这个铁链是由好多小铁环连接起来的。有一天，我就想自己量一量，可是我发现直接量很麻烦，因为它弯弯扭扭的。这时候我就想到，要是能有个数学方法直接算出来就好了。这就和我们今天要学的铁链的长度问题有关啦。在数学里，铁链的长度计算其实就像搭积木一样，有它自己的规律。就像我们之前学过的图形周长的计算，铁链长度也和每个小部分的长度有关系。比如说我们知道一个小铁环的长度，那很多个小铁环连起来的铁链长度怎么算呢？这就需要我们考虑铁环之间连接部分的长度啦。【学习过程】一、导入同学们，我给你们再讲个有趣的事儿。上次我去一个铁匠铺，看到铁匠师傅在做铁链呢。那些铁链一环扣着一环，看起来特别神奇。我就问师傅，你怎么知道这铁链做出来有多长呀？师傅笑了笑说，这里面可有数学的学问呢。今天咱们就来探究一下铁链长度的数学奥秘。二、点评学案完成情况咱们先来看一下课前检测的情况。哪些同学全对了呀？很不错哦。如果有做错的同学也没关系，咱们通过今天的学习就会更明白啦。三、明确本堂课的任务目标今天咱们的任务就是学会计算铁链的长度。不管是简单的几个环的铁链，还是比较复杂的铁链，咱们都要能算出它的长度。四、铁链长度的初步探究1、单个铁环的情况咱们先从最简单的开始想，如果只有一个铁环，那这个铁环的长度就是这个铁环自身的周长。比如说一个铁环的直径是4厘米（圆周率取3.14），那根据圆的周长公式C=πd，这个铁环的周长就是3.14×4=12.56厘米，这个12.56厘米就是这个单铁环的长度。2、两个铁环连接的情况现在我们来看看两个铁环连接在一起的情况。同学们可以想象一下或者自己画一下。两个铁环连接的时候，中间会有一部分是重叠的，这部分重叠的长度在计算铁链总长度的时候可不能重复计算哦。假如每个铁环的直径还是4厘米，两个铁环连接后的铁链长度是多少呢？我们先算出两个铁环的周长之和：2×3.14×4=25.12厘米。但是因为有一个连接部分是重叠的，假设这个重叠部分的长度是1厘米（这个重叠部分长度需要根据实际情况给定或者题目告知），那这个铁链的实际长度就是25.12-1=24.12厘米。3、小组讨论现在大家分组讨论一下，如果是三个铁环连接在一起，铁链的长度该怎么计算呢？每个小组可以画个简单的图来帮助理解哦。五、合作探究，小组展示1、三个铁环连接的情况小组1：我们组觉得，先算出三个铁环的周长之和，就是3×3.14×4=37.68厘米。然后因为有两个连接部分，每个连接部分重叠1厘米，总共重叠2×1=2厘米，所以铁链的长度就是37.68-2=35.68厘米。小组2：我们和第一组的思路一样，不过我们是这样想的。一个铁环的长度是3.14×4=12.56厘米，那三个铁环就是3×12.56=37.68厘米，然后减去两个连接部分的长度，也是得到35.68厘米。2、总结规律同学们说得都很好。那我们来总结一下规律。如果有n个铁环连接成铁链，每个铁环的直径为d，连接部分的长度为a（这里假设每个连接部分长度都一样），那铁链的长度L可以怎么计算呢？我们可以得到公式：L=n×πd-(n-1)×a。3、不同情况的应用（1）那如果有5个铁环，铁环直径是3厘米，连接部分长度是0.5厘米，根据我们总结的公式，铁链的长度是多少呢？大家可以自己计算一下。答案：根据公式L=n×πd-(n-1)×a，这里n=5，d=3厘米，a=0.5厘米，圆周率取3.14。先计算5×3.14×3=47.1厘米，再计算(5-1)×0.5=2厘米，最后铁链长度L=47.1-2=45.1厘米。（2）再看一个例子，如果铁链的长度是30厘米，铁环直径是2厘米，连接部分长度是0.3厘米，那这个铁链大概有多少个铁环呢？这就需要我们把公式反过来用了。设铁环个数为n，根据公式L=n×πd-(n-1)×a，可以得到方程：30=n×3.14×2-(n-1)×0.3解这个方程：首先展开式子得到30=6.28n-0.3n+0.3合并同类项得到30=5.98n+0.3移项得到5.98n=30-0.3=29.7最后解得n=29.7÷5.98≈5（这里取整数，因为铁环个数必须是整数）六、课堂小结今天我们学习了铁链长度的计算。从一个铁环的长度，到多个铁环连接成铁链的长度计算，还总结出了计算铁链长度的公式。在这个过程中，我们通过自己思考、小组讨论、实际计算等方式，深入了解了铁链长度计算的原理。就像我在铁匠铺看到的铁链一样，看似复杂，其实只要我们掌握了数学知识，就能轻松算出它的长度啦。七、当堂演练：1、有8个铁环连接成的铁链，铁环直径为2.5厘米，连接部分长度为0.4厘米，计算铁链的长度。答案：根据公式L=n×πd-(n-1)×a，这里n=8，d=2.5厘米，a=0.4厘米，圆周率取3.14。先计算8×3.14×2.5=62.8厘米，再计算(8-1)×0.4=2.8厘米，最后铁链长度L=62.8-2.8=60厘米。2、已知铁链长度为40厘米，铁环直径为3厘米，连接部分长度为0.6厘米，求铁环个数。设铁环个数为n，根据公式L=n×πd-(n-1)×a，可得方程：40=n×3.14×3-(n-1)×0.6解这个方程：首先展开式子得到40=9.42n-0.6n+0.6合并同类项得到40=8.82n+0.6移项得到8.82n=40-0.6=39.4最后解得n=39.4÷8.82≈4.47，因为铁环个数必须是整数，所以取n=4。3、一个特殊的铁链，它的铁环形状不是圆形，而是方形，每个方形铁环边长为3厘米，连接部分长度为0.5厘米，有6个这样的方形铁环连接成铁链，计算铁链的长度。对于方形铁环，我们要计算它的周长，方形周长公式为C=4×边长，这里每个方形铁环周长为4×3=12厘米。6个方形铁环的周长之和为6×12=72厘米，因为有5个连接部分，每个连接部分长度为0.5厘米，总共重叠5×0.5=2.5厘米，所以铁链长度为72-2.5=69.5厘米。八、作业：1、自己制作一个由5个圆环组成的铁链模型（可以用纸条代替铁环），测量出圆环的直径和连接部分的长度，然后计算铁链的实际长度，再与测量值进行对比，分析误差产生的原因。2、有一道关于铁链长度的拓展题：一个铁链由两种不同大小的铁环组成，大铁环直径为4厘米，小铁环直径为3厘米，大铁环和小铁环交替连接，共有10个铁环（5个大铁环和5个小铁环），连接部分长度均为0.5厘米，计算这个铁链的长度。九、学后反思我的收获：通过今天的学习，我学会了铁链长度的计算方法，知道了要考虑铁环的周长以及连接部分的长度。还学会了根据实际问题列出公式，并且能把公式运用到