《4.2等可能条件下的概率（一）》知识清单

《4.2等可能条件下的概率（一）》知识清单一、概率的基本概念1、**什么是概率呢**-概率就是用来描述一个事件发生可能性大小的数。比如说，我们学校要举办一场抽奖活动，奖品是最新款的平板电脑。全校同学都可以参加，那每个同学中奖的可能性有多大呢？这就可以用概率来表示。-概率的值是在0到1之间的。如果一个事件肯定不会发生，那它的概率就是0，就像我想在抽奖活动中抽到一艘宇宙飞船，这在这个抽奖活动里是肯定不会发生的，概率就是0；如果一个事件肯定会发生，那它的概率就是1，比如太阳每天从东方升起，这个事件发生的概率就是1。2、**等可能事件**-等可能事件就是在一次试验中，每个结果出现的机会是均等的。还说那个抽奖活动，假设抽奖箱里有100个完全相同的小球，其中只有1个小球代表中奖，那每次从抽奖箱里摸一个球，摸到每个球的可能性就是一样的，这就是等可能事件。-等可能事件的概率计算很有趣。如果一个试验有n个等可能的结果，而事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率P(A)就是m除以n，写成公式就是P(A)=m/n。比如说，在掷骰子的游戏中，掷一次骰子有6种等可能的结果（1点、2点、3点、4点、5点、6点），如果事件A是掷出偶数点，那么事件A包含3种结果（2点、4点、6点），所以P(A)=3/6=1/2。二、古典概型1、**古典概型的特点**-古典概型是一种特殊的概率模型。它首先要有有限个结果，就像刚才说的掷骰子，结果只有6个，是有限的。其次，每个结果出现的可能性得相等，就像掷骰子时每个点数出现的可能性相同。-我们可以想象一下玩扑克牌的场景。从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，这就是一个古典概型。因为总共只有52种等可能的结果，而且抽到每张牌的可能性都一样。2、**古典概型概率的计算步骤**-第一步，确定试验的所有等可能结果的总数n。比如在抽扑克牌的例子中，n=52。-第二步，确定事件A包含的结果数m。如果事件A是抽到红桃，那么m=13。-第三步，根据公式P(A)=m/n计算概率。在这个例子中，P(抽到红桃)=13/52=1/4。三、列举法求概率1、**直接列举法**-直接列举法就是把所有可能的结果一个一个地列出来。比如说，同时掷两枚硬币，可能出现的结果有（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）这4种。这里的每一种结果都是等可能的。-有一次我和小伙伴玩猜硬币正反面的游戏。我们约定同时抛两枚硬币，如果两枚硬币都是正面朝上，我就赢。那我赢的概率是多少呢？用直接列举法列出所有结果后，发现总共有4种结果，而我赢（两枚硬币都是正面朝上）只有1种结果，所以根据概率公式，我赢的概率就是P=1/4。2、**列表法**-当试验涉及两个因素，并且可能出现的结果较多时，用列表法就比较方便。例如，一个袋子里有2个红球和3个白球，从袋子里先后摸出两个球（不放回），求两次都摸到红球的概率。-我们可以列表来表示所有可能的结果。设红球为R1、R2，白球为W1、W2、W3。|第一次摸球|第二次摸球||----|----||R1|R2、W1、W2、W3||R2|R1、W1、W2、W3||W1|R1、R2、W2、W3||W2|R1、R2、W1、W3||W3|R1、R2、W1、W2|-从表中可以看出，总共有20种等可能的结果，而两次都摸到红球（R1、R2和R2、R1）有2种结果，所以两次都摸到红球的概率P=2/20=1/10。3、**树状图法**-树状图法适合于试验涉及多个步骤或者多个因素的情况。比如，一个家庭有两个孩子，求两个孩子都是男孩的概率。-我们可以画树状图来分析。先看第一个孩子，有男和女两种可能，对于第一个孩子是男的情况，第二个孩子又有男和女两种可能；对于第一个孩子是女的情况，第二个孩子同样有男和女两种可能。-画成树状图就是：-第一层：男-女-第二层（从男分支出来）：男-女-第二层（从女分支出来）：男-女-从树状图可以看出，总共有4种等可能的结果（男男、男女、女男、女女），而两个孩子都是男孩（男男）只有1种结果，所以两个孩子都是男孩的概率P=1/4。四、概率在实际生活中的应用1、**保险行业中的概率应用**-在保险行业里，概率可是非常重要的。保险公司要根据各种事件发生的概率来确定保险费用。比如说，汽车保险公司要考虑汽车发生事故的概率。他们会收集大量的数据，像司机的年龄、性别、驾驶经验、汽车的型号、行驶的区域等等。-假如经过统计发现，25岁以下的年轻男性司机发生交通事故的概率比较高。那对于这个群体的司机，保险公司就会收取比较高的保险费用。这就是因为这个群体发生事故的概率大，保险公司要保证在理赔的时候有足够的资金，所以要提高保费来平衡风险。2、**彩票中的概率应用**-大家都知道彩票吧，彩票中奖也是一个概率问题。拿双色球来说，它的中奖号码是从很多数字里选出来的。要中一等奖，那概率是非常非常小的。-我有个邻居特别喜欢买双色球，每周都买。他总是幻想自己能中大奖，但是从概率的角度来看，中一等奖的概率几乎可以忽略不计。他买了很多年，也没有中过大奖。这就说明，虽然彩票有中奖的可能性，但是这个可能性实在是太小了。3、**质量检测中的概率应用**-在工厂生产产品的时候，也会用到概率。比如说，生产手机的工厂，要检测手机屏幕是否有瑕疵。他们不可能对每一部生产出来的手机都进行非常详细的检测，那样成本太高了。-所以他们会采用抽样检测的方法。从一批生产出来的手机中抽取一部分手机进行检测，如果在抽取的手机中发现有瑕疵屏幕的概率比较高，那他们就会认为这批手机可能存在质量问题，需要对整批手机进行更详细的检查或者采取改进措施。五、典型问题1、**问题一**-一个盒子里有1个红球、2个白球和3个黑球，从盒子里随机摸出一个球，求摸到白球的概率。-首先，确定试验的所有等可能结果的总数n。这里球的总数是1+2+3=6个，所以n=6。-然后，确定事件A（摸到白球）包含的结果数m，因为有2个白球，所以m=2。-根据公式P(A)=m/n，可得摸到白球的概率P=2/6=1/3。2、**问题二**-同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和为7的概率。-我们用列表法来解决这个问题。|第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||----|----|----|----|----|----|----||第二枚骰子|1|2|3|4|5|6||点数之和|2|3|4|5|6|7||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|2|3|4|5|6|7||点数之和|3|4|5|6|7|8||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|3|4|5|6|7|8||点数之和|4|5|6|7|8|9||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|4|5|6|7|8|9||点数之和|5|6|7|8|9|10||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|5|6|7|8|9|10||点数之和|6|7|8|9|10|11||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|6|7|8|9|10|11||点数之和|7|8|9|10|11|12|-从表中可以看出，总共有36种等可能的结果，而点数之和为7的情况有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）共6种。-根据概率公式P=6/36=1/6。3、**问题三**-有A、B、C三个口袋，A口袋中有2个红球和1个白球，B口袋中有1个红球和2个白球，C口袋中有3个红球和1个白球。从A口袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，再从B口袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，最后从C口袋中随机摸出一个球，求三次摸球都是红球的概率。-对于A口袋，摸出红球的概率P(A红)=2/3；对于B口袋，摸出红球的概率P(B红)=1/3；对于C口袋，摸出红球的概率P(C红)=3/4。-因为这是三个独立的事件，所以三次摸球都是红球的概率P=P(A红)×P(B红)×P(C红)=2/3×1/3×3/4=1/6。等可能条件下的概率（一）习题一、基础题1、一个袋子里有5个红球和3个蓝球，从袋子里随机摸出一个球，求摸到红球的概率。-答案：首先确定所有等可能结果的总数n=5+3=8个球，事件A（摸到红球）包含的结果数m=5个球。根据概率公式P(A)=m/n，可得摸到红球的概率P=5/8。2、同时掷一枚硬币和一枚骰子，求硬币正面朝上且骰子掷出3点的概率。-答案：掷硬币有2种等可能结果（正面、反面），掷骰子有6种等可能结果。总共有2×6=12种等可能的结果组合。而硬币正面朝上且骰子掷出3点只有1种结果。所以根据概率公式，所求概率P=1/12。二、提高题1、一个盒子里有3个相同的小球，分别标有数字1、2、3。先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回，再随机取出一个小球，求两次取出的小球数字之和为4的概率。-答案：我们用列表法来解决。|第一次取球|1|2|3||----|----|----|----||第二次取球|1|2|3||数字之和|2|3|4||第一次取球|1|2|3||第二次取球|2|3|4||数字之和|3|4|5||第一次取球|1|2|3||第二次取球|3|4|5||数字之和|4|5|6|-总共有9种等可能的结果，两次取出的小球数字之和为4的情况有（1，3）、（3，1）、（2，2）共3种。根据概率公式P=3/9=1/3。2、有甲、乙两个盒子，甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球。从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取出一个球，求从乙盒中取出白球的概率。-答案：分两种情况讨论。-情况一：从甲盒中取出的是白球（概率为2/5），此时乙盒中有4个白球和2个黑球，从乙盒中取出白球的概率为4/6。这种情况下，从乙盒中取出白球的概率为2/5×4/6=4/15。-情况二：从甲盒中取出的是黑球（概率为3/5），此时乙盒中有3个白球和3个黑球，从乙盒中取出白球的概率为3/6。这种情况下，从乙盒中取出白球的概率为3/5×3/6=3/10。-所以从乙盒中取出白球的概率为4/15+3/10=17/30。三、拓展题1、一个转盘被平均分成8个扇形区域，分别标有1-8这8个数字。转动转盘两次，求两次指针所指数字之积为6的概率。-答案：我们用列表法来分析。|第一次转动|1|2|3|4|5|6|7|8||----|----|----|----|----|----|----|----|----||第二次转动|1|2|3|4|5|6|7|8||数字之积|1|2|3|4|5|6|7|8||第一次转动|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次转动|2|4|6|8|10|12|14|16||数字之积|2|4|6|8|10|12|14|16||第一次转动|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次转动|3|6|9|12|15|18|21|24||数字之积|3|6|9|12|15|18|21|24||第一次转动|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次转动|4|8|12|16|20|24|28|32||数字之积|4|8|12|16|20|24|28|32||第一次转动|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次转动|5|10|15|20|25|30|35|40||数字之积|5|10|15|20|25|30|35|40||第一次转动|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次转动|6|12|18|24|30|36|42|48||数字之积|