2024-2025学年广西钦州四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西钦州四中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某小组有三名女生，两名男生，先从这个小组中任意选一人当组长，则女生小丽当选为组长的概率是(

)A.13 B.15 C.252.法国有个名人叫做布莱尔⋅帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占12，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理(

)A.甲400法郎，乙300法郎 B.甲500法郎，乙200法郎

C.甲525法郎，乙175法郎 D.甲350法郎，乙350法郎3.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是(

)A.频率就是概率 B.频率是随机的，与试验次数无关

C.概率是稳定的，与试验次数无关 D.概率是随机的，与试验次数有关4.已知复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，且(2−i)z1=|4−3i|，则A.−1 B.−i C.1 D.i5.已知复数z=21−i+11+i(i为虚数单位)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.在复平面内，下列命题是真命题的是(

)A.若复数z满足1z∈R，则z∈R

B.若复数z满足z2∈R，则z∈R

C.若复数z1，z2满足z1⋅7.已知复数z=i2i−1(i为虚数单位)，则|z|=A.55 B.15 C.18.已知i为虚数单位，在复平面内，复数1+ii+i3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是(

)A.若|z|=1，则z=±1或z=±i

B.若点Z的坐标为(−3,2)，且z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，则p+q=19

C.若z=3−2i，则z的虚部为−2i

D.若10.已知复数z满足zi=(1−2i)2，则(

)A.z的虚部为−3 B.z在复平面内对应的点位于第二象限

C.|z|=5 D.z11.下列命题为真命题的是(

)A.若z1，z2为共轭复数，则z1⋅z2为实数

B.若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i

C.复数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为−2，z所对应的点A在第二象限，则z=13.若Z为复数且|Z−1|=|Z+1|，则|Z−1|的最小值是______．14.已知i为虚数单位，复数z=1+2ii，则z的实部为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

化简：i11，i25，i26，i36，i70，i10116.(本小题15分)

求适合下列方程的实数x，y的值：

(1)(−4x+1)+(y+2)i=0；

(2)(x−2y)−(3x+y)i=3−6i．17.(本小题15分)

已知复数z=x+yi(x,y∈R)，满足|z|=2，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限．

(1)求z；

(2)若z，z2，z−z2在复平面上对应点分别为A，B18.(本小题15分)

一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出了一份作业．

(Ⅰ)每个学生恰好拿到自己作业的概率是多少？

(Ⅱ)3个学生不都拿到自己作业的概率是多少？

(Ⅲ)每个学生拿的都不是自己作业的概率是多少？19.(本小题17分)

古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取n名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间(单位：ℎ)的数据如表：一周课外读书时间/ℎ(0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]合计频数4610121424a4634n频率0.020.030.050.060.070.120.25p0.171(1)根据表格中提供的数据，求a，p，n的值并估算一周课外读书时间的中位数．

(2)如果读书时间按(0,6]，(6,12]，(12,18]分组，用分层抽样的方法从n名学生中抽取20人．

(ⅰ)求每层应抽取的人数；

(ⅱ)若从(0,6]，(6,12]中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率．

参考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.D

6.A

7.A

8.D

9.BD

10.BC

11.AC

12.−1+i

13.1

14.2

15.解：因为i2=−1，

∴i4=(i2)2=(−1)2=1；

∴i11=i8⋅i3=−i；16.解：(1)(−4x+1)+(y+2)i=0；

∴−4x+1=0且y+2=0，解得x=14，y=−2．

(2)(x−2y)−(3x+y)i=3−6i．

∴x−2y=3−3x+y=−6,17.解：(1)复数z=x+yi(x,y∈R)，满足|z|=2，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限，

可得x2+y2=22xy=2，解得：x=y=1．

z=1+i．

(2)z，z2，z−z2在复平面上对应点分别为A，B，C18.解：(1)设每个学生恰好拿到自己作业为事件A，

∵基本事件总数为C31⋅C21⋅C11=6，

事件A包含的基本事件数为1，

∴p(A)=16．

(2)设3个学生不都拿到自己作业为事件B，

∵事件B的对立事件为A，

∴p(B)=1−p(A)=1−16=519.解：(1)由题意可得n=40.02=200，a=0.25×200=50，p=46200=0.23；

设一周课外读书时间的中位数为xℎ，则0.17+0.23+(14−x)×0.125=0.5，

解得x=13.2；

即一周课外读书时间的中位数约为13.2ℎ．

(2)(ⅰ)由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为110，

又(0,6]，(6,12]，(12,18]的频数分别为20，50，130，

所以从(0,6]，(6,12]，(12,18]三层中抽取的人数分别为2，5，13．

(ⅱ)由(ⅰ)知，在(0,6]，(6,12]两层中共抽取7人，

设(0,6]内被抽取的学生分别为x，y，(6,12]内被抽取的学生分别为a，b，c，d，