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文档简介

2024届浙江省宁波市九校(余姚中学高三下学期期中(文理)数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线满足以下条件:①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合;②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q,且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点.则双曲线的离心率是()A. B. C. D.2.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为,阴阳太极图的半径为,则每块八卦田的面积约为()A. B.C. D.3.对于定义在上的函数,若下列说法中有且仅有一个是错误的,则错误的一个是()A.在上是减函数 B.在上是增函数C.不是函数的最小值 D.对于,都有4.已知集合,,若,则实数的值可以为()A. B. C. D.5.已知实数满足则的最大值为()A.2 B. C.1 D.06.根据最小二乘法由一组样本点(其中),求得的回归方程是,则下列说法正确的是()A.至少有一个样本点落在回归直线上B.若所有样本点都在回归直线上,则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量(),的值一定与有误差D.若回归直线的斜率,则变量x与y正相关7.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,,则 D.若,,,则8.若复数满足,则(其中为虚数单位)的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.49.是虚数单位,复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.若非零实数、满足,则下列式子一定正确的是()A. B.C. D.11.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()A.依次成等差数列 B.依次成等差数列C.依次成等差数列 D.依次成等差数列12.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平面直角坐标系中,点在曲线:上,且在第四象限内.已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________.14.已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量满足,且,,,存在,对于任意的实数,不等式,则实数的取值范围是______.15.如图,半球内有一内接正四棱锥,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为__________.16.若复数满足,其中是虚数单位,是的共轭复数,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设为坐标原点,动点在椭圆:上,该椭圆的左顶点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆外一点满足,平行于轴,,动点在直线上,满足.设过点且垂直的直线,试问直线是否过定点?若过定点,请写出该定点,若不过定点请说明理由.18.(12分)某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获利50元,未售出的产品,每盒亏损30元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品,以(单位:盒,)表示这个开学季内的市场需求量,(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数;(2)将表示为的函数;(3)以需求量的频率作为各需求量的概率,求开学季利润不少于4800元的概率.19.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,角为钝角,(1)求的值;(2)求边的长.20.(12分)在三棱柱中,四边形是菱形,,,,,点M、N分别是、的中点,且.(1)求证:平面平面;(2)求四棱锥的体积.21.(12分)已知函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)设,求证:;(Ⅲ)若对于恒成立,求的最大值.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于两点A,B,求线段的长.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率.【详解】依题意可得,抛物线的焦点为,F关于原点的对称点;,,所以,,设,则,解得,∴,可得,又,,可解得,故双曲线的离心率是.故选B.【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.2、B【解析】

由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的,两面积作差即可求解.【详解】由图,正八边形分割成个等腰三角形,顶角为,设三角形的腰为,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面积为:,所以每块八卦田的面积约为:.故选:B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,属于基础题.3、B【解析】

根据函数对称性和单调性的关系,进行判断即可.【详解】由得关于对称,若关于对称,则函数在上不可能是单调的,故错误的可能是或者是,若错误,则在,上是减函数,在在上是增函数,则为函数的最小值,与矛盾,此时也错误,不满足条件.故错误的是,故选:.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用,结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.4、D【解析】

由题意可得,根据,即可得出,从而求出结果.【详解】,且,,∴的值可以为.故选:D.【点睛】考查描述法表示集合的定义,以及并集的定义及运算.5、B【解析】

作出可行域,平移目标直线即可求解.【详解】解:作出可行域:由得,由图形知,经过点时,其截距最大,此时最大得,当时,故选:B【点睛】考查线性规划,是基础题.6、D【解析】

对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误;所有样本点都在回归直线上,则变量间的相关系数为,故B错误;若所有的样本点都在回归直线上,则的值与相等,故C错误;相关系数r与符号相同,若回归直线的斜率,则,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x与y正相关,故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于,当为内与垂直的直线时,不满足,错误;对于,设,则当为内与平行的直线时,,但,错误;对于,由,知:,又,,正确;对于,设,则当为内与平行的直线时,,错误.故选:.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析,考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况,属于基础题.8、B【解析】

根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,再根据复数的几何意义即可确定,即可得的最大值.【详解】由知,复数对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,表示复数对应的点与点间的距离,又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1,所以.故选:B【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用,属于基础题.9、D【解析】

求出复数在复平面内对应的点的坐标,即可得出结论.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为,该点位于第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断,属于基础题.10、C【解析】

令,则,,将指数式化成对数式得、后,然后取绝对值作差比较可得.【详解】令,则,,,,,因此,.故选:C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小,同时也考查了指数式与对数式的转化,考查推理能力,属于中等题.11、C【解析】

由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果.【详解】依次成等差数列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差数列,故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理,属于难题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.12、B【解析】

根据两个函数相等,求出所有交点的横坐标,然后求和即可.【详解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.【详解】解:依题意设切点,因为,则,又因为曲线在点处的切线为,,解得,又因为点在第四象限内,则,.则又因为点在切线上.所以.所以.故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.14、【解析】

由题意可设,,,由向量的坐标运算,以及恒成立思想可设,的最小值即为点,到直线的距离,求得,可得不大于.【详解】解:,且,可设,,,,可得,可得的终点均在直线上,由于为任意实数,可得时,的最小值即为点到直线的距离,可得,对于任意的实数,不等式,可得,故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的模的求法,以及两点的距离的运用,考查直线方程的运用,以及点到直线的距离,考查运算能力,属于中档题.15、【解析】

由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等,可得正四棱锥的棱与半径的关系,进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系,进而求得结果.【详解】设所给半球的半径为,则四棱锥的高,则,由四棱锥的体积,半球的体积为:.【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.16、【解析】

设,代入已知条件进行化简,根据复数相等的条件,求得的值.【详解】设,由,得,所以,所以.故答案为:【点睛】本小题主要考查共轭复数,考查复数相等的条件,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析【解析】

(1)根据点到直线的距离公式可求出a的值,即可得椭圆方程;(2)由题意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),根据,可得y1=2y0,由,可得2x0+2y0t=6,再根据向量的运算可得,即可证明.【详解】(1)左顶点A的坐标为(﹣a,0),∵=,∴|a﹣5|=3,解得a=2或a=8(舍去),∴椭圆C的标准方程为+y2=1,(2)由题意M(x0,y0),N(x0,y1),P(2,t),则依题意可知y1≠y0,得(x0﹣2x0,y1﹣2y0)(0,y1﹣y0)=0,整理可得y1=2y0,或y1=y0(舍),,得(x0,2y0)(2﹣x0,t﹣2y0)=2,整理可得2x0+2y0t=x02+4y02+2=6,由(1)可得F(,0),∴=(﹣x0,﹣2y0),∴•=(﹣x0,﹣2y0)(2,t)=6﹣2x0﹣2y0t=0,∴NF⊥OP,故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法,直线和椭圆的关系,向量的运算,考查了运算求解能力和转化与化归能力,属于中档题.18、(1),众数为150;(2);(3)【解析】

(1)由频率直方图分别求出各组距内的频率,由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数;(2)由已知条件推导出当时,,当时,,由此能将表示为的函数;(3)利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率.【详解】(1)由直方图可估计需求量的众数为150,由直方图可知的频率为:由直方图可知的频率为:由直方图可知的频率为:由直方图可知的频率为:由直方图可知的频率为:∴估计需求量的平均数为:(2)当时,当时,∴(3)由(2)知当时,当时,得∴开学季利润不少于4800元的需求量为由频率分布直方图可所求概率【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查函数解析式的求法,考查概率的估计,是中档题,解题时要注意频率分布直方图的合理运用.19、(1)(2)【解析】

(1)由,分别求得,得到答案;(2)利用正弦定理得到,利用余弦定理解出.【详解】(1)因为角为钝角,,所以,又,所以,且,所以.(2)因为,且,所以,又,则,所以.20、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)要证面面垂直需要先证明线面垂直,即证明出平面即可;(2)求出点A到平面的距离,然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.【详解】(1)连接,由是平行四边形及N是的中点,得N也是的中点,因为点M是的中点,所以,因为,所以,又,,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)过A作交于点O,因为平面平面,平面平面,所以平面,由是菱形及,得为三角形,则,由平面,得,从而侧面为矩形,所以.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明,求四棱锥的体积,属于一般题.21、(Ⅰ)函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)利用二次求导可得,所以在上为增函数,进而可得函数的单

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