新版浙教版2024-2025学年度八年级数学上册第2章特殊三角形综合素质评价含答案

第2章综合素质评价题号一二三总分得分一、选择题(每题3分，共30分)1．[新考向传统文化]“二十四节气”是根据太阳相对于黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置来划分的，是春秋战国时期形成的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图形的是() A B C D2．[母题教材P55作业题T1]已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为()A．12 B．12或15 C．15 D．15或183．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD，以下给出的条件合适的是()(第3题)A．AC＝AD B．BC＝ADC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD4．把一个边长为1的正方形放在如图所示的数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是()(第4题)A．1 B．2 C．3 D．25．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE的长为()(第5题)A．7 B．8 C．9 D．106．[2024·金华月考]如图，已知锐角∠AOB＝30°，按下列步骤作图：①在OA边上取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点C，连结CD；②以D为圆心，DO长为半径画弧，交OB于点E，连结DE．则∠CDE的度数为()(第6题)A．25° B．35° C．45° D．55°7．如图，在△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连结AE，AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为()(第7题)A．120° B．118° C．116° D．114°8．如图，在△ABC中，D为AC的中点，CE⊥AB于点E，若DE＝3，AE＝5，则CE的长为()(第8题)A．3 B．4 C．11 D．139．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为()(第9题)A．12 B．34 C．1 D10．[2023·杭州外国语学校期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH，与BE相交于点G．下列结论正确的有()(第10题)①BF＝AC；②CE＝12BF；③△DGF是等腰三角形；④BD＋DF＝BC；⑤S△BDFA．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题(每题4分，共24分)11．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是，这个逆命题是命题．(填“真”或“假”)12．[2023·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为．(第12题)13．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形ABC按如图所示放置，若∠α＝38°，则∠β＝．(第13题)14．[2024·宁波鄞州区联考]如图，小丽从一张等腰三角形纸片ABC(AB＝AC)中恰好剪出五个小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝°．(第14题)15．[新考法·对称法2024·绍兴期中]如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是．(第15题)16．如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，AB＝AE，∠1＝∠2，线段BC的延长线交DE于点F，连结AF．若S△ABF＝14，AD＝4，CF＝54，则线段EF的长度为三、解答题(共66分)17．(6分)如图，AB＝CD，AC＝BD，求证：△BOC是等腰三角形．18．(6分)[母题教材P78作业题T4]如图，在四边形ABCD中，∠A为直角，AB＝16，BC＝25，CD＝15，AD＝12，求四边形ABCD的面积．19．(6分)[2024·绍兴期末]如图，∠ABD＝∠ACD＝90°，连结BC交AD于点E，∠1＝∠2．(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)求证：AD⊥BC．20．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，直线MN与AC，BC分别交于点D，E，连结AE(1)求∠ADE的度数(直接写出结果)；(2)当AB＝3，AC＝5时，求△ABE的周长．21．(8分)如图，已知△ABC，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连结D，E，F，得到的△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．22．(10分)如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EH⊥AD交AD的延长线于点H．(1)求证：∠C－∠B＝2∠DEH；(2)若AB＝m，AC＝n，∠ACB－∠DEH＝60°，求EH的长(用含m，n的代数式表示)．23．(10分)[新视角过程探究题](1)【问题背景】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5，10，13，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需要求△ABC的高，只需借用网格就能计算出它的面积，请你将△ABC的面积直接填写在横线上：．(2)【思维拓展】我们把上述求三角形面积的方法叫做方格构图法．如果△ABC三边的长分别为5a，8a，17a(a＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的格点三角形，并求出它的面积．(3)【探索创新】若△ABC三边的长分别为m2+16n2，9m2+4n2，2m2＋n2(m24．(12分)[2024·宁波期末]【证明体验】(1)如图①，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为BC上一点，且CE＝CA．求证：DE＝AD；【思考探究】(2)如图②，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，AD＝1，AC＝2，求BC的长；【拓展延伸】(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝3，求AD的长．答案一、1．D2．C3．A4．B5．C6．C【点拨】由作法得OC＝OD，DO＝DE，∴∠OCD＝∠ODC＝12(180°－∠AOB)＝12×(180°－30°)＝75°，∠DEO＝∠DOE∵∠OCD＝∠CDE＋∠DEC，∴∠CDE＝∠OCD－∠DEC＝75°－30°＝45°．7．D8．C9．D【点拨】∵四边形EFGH是正方形，∴HG＝EF，AH∥GF．∵AH＝GH，∴AH＝EF．由题意得Rt△ABE≌Rt△DAH≌Rt△CDG，∴BE＝AH，∠BAE＝∠DCG．∴BE＝EF．又∵AE⊥BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠DCG＝∠FAE．∵AH∥GF，∴∠FAE＝∠GFA．∴∠GFA＝∠DCG．∵∠GFA＝∠CFM，∴∠CFM＝∠DCG，∴MF＝MC．设CM＝x，在Rt△AMD中，由勾股定理得52＋(5－x)2＝(5＋x)2，解得x＝54，∴CM＝510．A【点拨】易证△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正确．易证△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得AE＝EC＝12AC＝12BF，故②正确．由角的数量关系可得∠DGF＝∠DFG＝67．5°，则DG＝DF，即△DGF是等腰三角形，故③正确．由△BDF≌△CDA可得DF＝DA，则得BC＝AB＝BD＋DF，故④正确．由角平分线的性质可得点F到AB的距离等于点F到BC的距离，由三角形的面积公式可得S△BDFS△二、11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；真12．413．22°14．67．5【点拨】设∠ECF＝x．∵EC＝EF＝FG，∴∠EGF＝∠GEF＝2x，∵FG＝DG，∴∠GDF＝∠GFD＝3x，∵DG＝DA，∴∠A＝∠AGD＝4x，∴∠BDC＝5x．∵BC＝BD，∴∠BCD＝5x，∴∠B＝180°－10x．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，即180°－10x＝5x＋x，解得x＝11．25°，∴∠B＝67．5°．15．5【点拨】如图，过点C作CO⊥AB于点O，延长CO到点C'，使得OC'＝OC，连结DC'，交AB于点E'，连结CE'，BC'，则点C与点C'关于直线AB对称，∴CE'＝E'C'．∴DE'＋CE'＝DE'＋E'C'＝DC'，易知DC'的长即为EC＋ED的最小值．∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝12×(180°－∠ACB易知∠ABC'＝∠ABC＝45°，BC'＝BC＝2，∴∠CBC'＝∠ABC＋∠ABC'＝90°．∵D是BC的中点，∴BD＝12BC∴在Rt△DBC'中，根据勾股定理可得DC'＝BD2＋BC'∴EC＋ED的最小值是5．16．92【点拨】∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∠1＝∠2，AB＝AE∴△ACB≌△ADE(AAS)，∴AC＝AD，BC＝DE．∵AD＝4，∴AC＝4，又∵S△ABF＝14，∴12BF·AC＝14，∴BF＝7∵CF＝54，∴BC＝7－54＝234，∴DE在Rt△ACF和Rt△ADF中，∵AF＝AF∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)，∴DF＝CF＝54∴EF＝DE－DF＝234－54＝三、17．【证明】在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC∴∠ACB＝∠DBC，∴BO＝OC．∴△BOC是等腰三角形．18．【解】连结BD．∵∠A为直角，∴BD2＝AD2＋AB2．∵AD＝12，AB＝16，∴BD＝20．∵BD2＋CD2＝202＋152＝252＝BC2，∴∠CDB为直角，∴△BDC的面积为12×20×15＝150∵△ABD的面积为12∴四边形ABCD的面积为96＋150＝246．19．【证明】(1)∵∠1＝∠2，∴BD＝CD．在Rt△ABD和RtACD中，∵AD＝AD∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)．(2)∵△ABD≌△ACD，∴∠BDE＝∠CDE．∴DE为∠BDC的平分线．∵BD＝CD，∴DE⊥BC，即AD⊥BC．20．【解】(1)∠ADE＝90°．(2)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC＝52－易知直线MN是线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴△ABE的周长＝AB＋(AE＋BE)＝AB＋BC＝3＋4＝7．21．【证明】(1)∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC．∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE．又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE(SSS)．(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC．∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF＝60°．由△AEF≌△CDE，得∠EFA＝∠DEC．∵∠DEC＋∠FEC＝60°，∴∠EFA＋∠FEC＝60°．∴∠BAC＝∠EFA＋∠FEC＝60°，∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠BCA＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴△ABC为等边三角形．22．(1)【证明】延长EH，交AC的延长线于点G，延长HE，交AB于点F．∵AH⊥FG，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH平分∠FAG，∴∠FAH＝∠GAH，又∵AH＝AH，∴△AFH≌△AGH(ASA)，∴∠AFH＝∠AGH．∵∠ACB＝∠AGH＋∠DEH，∠AFH＝∠B＋∠FEB＝∠B＋∠DEH，∴∠ACB＝(∠B＋∠DEH)＋∠DEH，∴∠ACB－∠B＝2∠DEH．(2)【解】过点C作CQ∥AB交FG于点Q．∵∠ACB－∠DEH＝60°，∠ACB－∠B＝2∠DEH，∴∠B＋∠DEH＝60°，∴∠B＋∠FEB＝60°，∴∠AFG＝60°．∵△AFH≌△AGH，∴AF＝AG，∴△AFG为等边三角形，∴∠G＝60°．∵CQ∥AB，∴∠B＝∠ECQ，∠CQG＝∠AFG＝∠G＝60°，∴△CQG为等边三角形．∴CQ＝CG．∵∠B＝∠ECQ，BE＝CE，∠FEB＝∠QEC，∴△BFE≌△CQE，∴BF＝CQ＝CG，FE＝EQ＝12FQ易知FQ＝AC＝n，∴EF＝n2∵AF＋AG＝AB－BF＋AC＋CG＝AB＋AC＝m＋n，∴AF＝AG＝FG＝m＋易知FH＝HG＝12FG＝m∴EH＝FH－FE＝m＋n4－n23．【解】(1)3．5(2)所画△ABC如图①所示(画法不唯一)．△ABC的面积＝2a·4a－12a·2a－12×2a·2a－12a·4a＝3(3)构造网格图，所画△ABC如图②所示(画法不唯一)．△ABC的面积＝3m·4n－12m·4n－12×3m·2n－12×2m·2n24．(1)【证明】∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE．在△ACD与△ECD中，∵CA＝CE∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴DE＝AD．(2)【解】在BC边上取点E，使EC＝AC＝2，连结DE．同(1)得△ACD≌△ECD，∴AD＝DE＝1，∠A＝∠DEC．∵∠A＝2∠B，∠DEC＝∠B