电大离散数学集合论部分期末复习辅导

/离散数学集合论部分期末复习辅导一、单项选择题1．若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是()．A．{a，{a}}AB．{1，2}AC．{a}AD．A解因为aA，所以{a}A2．若集合{1，2}，{1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是()．A．AB，且ABB．BA，且ABC．AB，且ABD．AB，且AB解因为1B，2B，{1，2}B，{1，2}所以AB，且AB3．若集合A＝{2，a，{a}，4}，则下列表述正确的是()．A．{a，{a}}AB．AC．{2}AD．{a}A解因为aA，所以{a}A4．若集合A＝{a，{a}}，则下列表述正确的是()．A．{a}AB．{{{a}}}AC．{a，{a}}AD．A解因为aA，所以{a}A注：若请你判断是否存在两个集合A，B，使AB，且AB同时成立，怎么做？答：存在。如2题中的集合A、B。或，设{a}，{a，{a}}。注意：以上题型是重点，大家一定要掌握，还要灵活运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应该会做．例如，下题是2011年1月份考试试卷的第1题：若集合A＝{a，{1}}，则下列表述正确的是()．A．{1}AB．{1}AC．{a}AD．A解因为{1}是集合A的一个元素，所以{1}A5．设集合{a}，则A的幂集为()．A．{{a}}B．{a，{a}}C．{，{a}}D．{，a}解A={a}的所有子集为0元子集，即空集：Æ；1元子集，即单元集：{a}．所以P(A)={，{a}}6．设集合A={1,a}，则P(A)=()．A．{{1},{a}}B．{,{1},{a}}C．{,{1},{a},{1,a}}D．{{1},{a},{1,a}}解A={1,a}的所有子集为0元子集，即空集：Æ；1元子集，即单元集：{1}，{a}；2元子集：{1,a}．所以P(A)={Æ,{1},{a},{1,a}}．注意：若集合A有一个或有三个元素，那么P(A)怎么写呢？例如，2012年1月份考试题的第6题：设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{,{a}}．若A是n元集，则幂集P(A)有2n个元素．当8或10时，A的幂集的元素有多少个？（应该是256或1024个）7．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024B．10C．100D．1解=10，所以(A)|=210=1024以下为2012年1月份考试题的第1题：若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．10B．100C．1024D．18．设A、B是两个任意集合，侧AB()．A．B．ABC．ABD．B解设xA，则因为AB，所以xAB，从而xB，故AB．9．设集合{1,2,3,4}，R是A上的二元关系，其关系矩阵为＝则R的关系表达式是()．A．{<1,1>，<1,4>，<2,1>，<3,4>，<4,1>}B．{<1,1>，<1,2>，<1,4>，<4,1>，<4,3>}C．{<1,1>，<2,1>，<4,1>，<4,3>，<1,4>}D．{<1,1>，<1,2>，<2,4>，<4,1>，<4,3>}10．集合{1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系{<x，y>10且x,}，则R的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的解R={<2，8>，<3，7>，<4，6>，<5，5>，<6，4>，<7，3>，<8，2>}易见，若<i，j>R，则<j，i>R，所以R是对称的．答B另，因为1A，但<1,1>R，所以R不是自反的。因为5A，但<5,5>R，所以R不是反自反的。因为<2，8>R且<8，2>R，但<2，2>R，所以R不是传递的。要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质．11．集合{1,2,3,4}上的关系{<x，y>且x,}，则R的性质为（）．A．不是自反的B．不是对称的C．传递的D．反自反解R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>}＝是A上的恒等关系，是自反的、对称的、传递的。答C12．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R12中自反关系有（）个．A．0B．2C．1D．3解对于任意aA，由于R1和R2是A上的自反关系，所以<a，a>R1，<a，a>R2，从而<a，a>R1∪R2，<a，a>R1∩R2，<a，a>(R12)故R1∪R2，R1∩R2是A上的自反关系，R12是A上的反自反关系．答B13．设集合{1,2,3,4}上的二元关系{1,1，2,2，2,3，4,4}，{1,1，2,2，2,3，3,2，4,4}，则S是R的（）闭包．A．自反B．传递C．对称D．自反和传递解RS，S是对称关系，且S去掉任意一个元素就不包含R或没有对称性，即S是包含R的具有对称性的最小的关系，从而S是R的对称闭包．答C14．设{1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，{2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为()．A．8、2、8、2B．8、1、6、1C．6、2、6、2D．无、2、无、2解关系R的哈斯图如下：由图可见，集合{2,4,6}无最大元，其最小元是2．无上界，下界是2和1．答D15．设集合{1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A．最大元B．最小元C．极大元D．极小元解关系R的哈斯图如下：由图可见，元素5是集合A的极大元．答C2424135A．下界B．最小上界C．最大下界D．最小元答B17．设{a,b}，{1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>,<b，2>}，R2={<a，1>,<a，2>,<b，1>}，R3={<a，1>,<b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A．R1B．R2C．R3D．R1和R3解<a，1>R2，<a，2>R2，即R2不满足函数定义的单值性，因而不是函数．答B注意：函数R1，R3的定义域、值域是什么？两个函数R1，R3是否能复合？解(R1)={a,b}，(R1)={2}；(R3)={a,b}，(R3)={1,2}．因为(R1)(R3)，所以函数R1和R3不能复合。18．设{a，b，c}，{1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为．A．2B．3C．6D．8解A×B＝{<a，1>，<a，2>，<b，1>，<b，2>，<c，1>，<c，2>}A×B的任一子集即为从A到B的二元关系，在这些关系中满足函数定义的两个条件（①单值性；②定义域是A）的关系只能是{<a，>，<b，>，<c，>}，其中每个有序对的第二元素可取1或2，于是可知有2×2×2＝8个不同的函数．答D事实上，8个不同的函数为：f1={a,1，b,1，c,1}，f2={a,1，b,1，c,2}，f3={a,1，b,2，c,1}，f4={a,2，b,1，c,1}，f5={a,1，b,2，c,2}，f6={a,2，b,1，c,2}，f7={a,2，b,2，c,1}，f8={a,2，b,2，c,2}．19．设集合A={1,2,3}上的函数分别为：f={1,2，2,1，3,3}，g={1,3，2,2，3,2}，h={1,3，2,1，3,1}，则h=（）．A．f◦gB．g◦fC．f◦fD．g◦g解f◦g＝{1,3，2,1，3,1}＝hg◦f＝{1,2，2,3，3,2}f◦f＝{1,1，2,2，3,3}g◦g＝{1,2，2,2，3,2}答A20．设函数f：NN，f(n)1，下列表述正确的是（）．A．f存在反函数B．f是双射的C．f是满射的D．f是单射函数解因为任意，，则，所以f是单射．对于，不存在，使，所以f不是满射．从而f不是双射，也不存在反函数．答D二、填空题1．设集合，则P(A)(B)=，A．解答{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为．答2103．设集合{0,1,2,3}，{2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为．答R＝{<2,2>，<2,3>，<3,2>，<3,3>}注意：如果将二元关系R改为或则R的有序对集合是什么呢？答R＝{<2,4>}或R＝{<1,2>，<2,3>，<3,4>}4．设集合{1,2,3,4}，{6,8,12}，A到B的二元关系R＝那么5．设集合｛a,b,c,d｝，A上的二元关系{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，则R具有的性质是．因为任意xA，<>R，所以R是反自反的．答反自反的6．设集合｛a,b,c,d｝，A上的二元关系{<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,d>}，若在R中再增加两个元素，则新得到的关系就具有对称性．答<c,b>，<d,c>注意：第5，6题是重点，我们要熟练掌握，尤其是A和R的元素都减少的情况。如果6题新得到的关系具有自反性，那么应该增加哪两个元素呢？答应增加<c,c>，<d,d>两个元素7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R12中自反关系有个．答2（见：一、9题）8．设{1,2}上的二元关系为{<x,y>A，yA,=10}，则R的自反闭包为．因为R＝，所以R的自反闭包s(R){<1,1>,<2,2>}答{<1,1>,<2,2>}注意：如果二元关系改为{<x,y>A，yA,<10}，则R的自反闭包是什么呢？解R＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}是A上的全关系，它的自反闭包是它自己。答R或{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}9．设R是集合A上的等价关系，且1,2,3是A中的元素，则R中至少包含等元素．答<1,1>，<2,2>，<3,3>因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R是自反的，所以它至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素．注：如果给定二元关系R，你能否判断R是否是等价关系？10．设集合{1,2}，{a,b}，那么集合A到B的双射函数是，．想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？答有4个，除上述两个双射函数外，还有，．（参考：一、14题）三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A={1，2，3}上的二元关系{<1,1>，<2,2>，<1,2>}，则(1)R是自反的关系；(2)R是对称的关系．解（1）错误．因为3A，但<3,3>R．（2）错误．因为<1,2>R，但<2,1>R．2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并说明理由．解成立．因为R1和R2是A上的自反关系，所以任意，有，从而有（逆关系定义），，．故、R1∪R2、R1∩R2是自反的．3．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．解不正确。可见a大于等于A中的元素b、c、d、e、f，但与元素g、h没有关系，所以a不是A的最大元。没有一个元素小于等于A中的所有元素，所以A没有最小元。注：本题中，极大元为a、g，极小元为e、f、h．注意：题目修改为：若偏序集<A，R>的哈斯图如右图所示，则集合A的最大元为a，极小元不存在．解结论不成立。A的最大元为a，极小元为b、c．问：是否存在一个元素a，它既是偏序集<A，R>的最大元，也是<A，R>的最小元？4．设集合{1,2,3,4}，{2,4,6,8}，判断下列关系f是否构成函数f：，并说明理由．(1){<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>}；(2){<1,6>,<3,4>,<2,2>}；(3){<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}．解（1）关系f不构成函数．因为(f)={1,2,4}A，不满足函数定义的条件．（2）关系f不构成函数．因为(f)={1,2,3}A，不满足函数定义的条件．（3）关系f构成函数．因为①任意a(f)，都存在唯一的b(f)，使<a,b>f；②(f)．即关系f满足函数定义的两个条件，所以关系f构成函数．四、计算题1．设，求：(1)(AB)；(2)(AB)-(BA)；(3)P(A)－P(C)；(4)AB．解（1）；（2）；（3）；（4）．2．设{{1},{2},1,2}，{1,2,{1,2}}，试计算（1）（AB）；（2）（A∩B）；（3）A×B．解（1）；（2）；（3）．3．设{1，2，3，4，5}，{<x，y>A，yA且4}，{<x，y>A，yA且<0}，试求R，S，RS，SR，1，1，r(S)，s(R)．解，．，，，，，．4．设{1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，{2,4,6}．(1)写出关系R的表示式；(2)画出关系R的哈斯图；(3)求出集合B的最大元、最小元．解（1）（2）关系R的哈斯图如下：（3）集合{2,4,6}无最大元，其最小元是2．五、证明题1．试证明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．证明任意，则，或．若，则，从而；若，则，，从而．所以．任意，则．由知，或．若，则；若，则必有，由知，也有，从而，进而．所以．故．2．试证明集合等式A(BC)=(AB