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文档简介
第七章平行线的证明专项突破17平行线中常用作辅助线的方法方法1加截线
连接两点1.
[教材P186复习题T15变式]如图，∠
E
＝∠
B
＋∠
D
，猜
想
AB
与
CD
有怎样的位置关系，并说明理由.234567891解：
AB
∥
CD
.
理由如下：如图，连接
BD
.
在△
BDE
中，∠1＋∠2＋∠
E
＝180°.∵∠
E
＝∠3＋∠4，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，即∠
ABD
＋∠
CDB
＝180°.∴
AB
∥
CD
.
234567891
延长线段相交2.
如图，
AB
∥
CD
，
EF
⊥
AB
于点
O
，
FG
与
CD
交于点
M
，若∠1＝43°，则∠2＝
.133°
234567891方法2过“拐点”作平行线
“
”形图3.
(一题多解)如图，
AB
∥
CD
，
P
为
AB
，
CD
之间的一
点，已知∠2＝28°，∠
BPC
＝58°，求∠1的度数.234567891解法一：过点
P
作射线
PN
∥
AB
，如图①所示.∵
AB
∥
CD
，∴
PN
∥
CD
.
∴∠4＝∠2＝28°.∵
PN
∥
AB
，∴∠3＝∠1.∵∠3＝∠
BPC
－∠4＝58°－28°＝30°，∴∠1＝30°.234567891解法二：过点
P
作射线
PM
∥
AB
，如图②所示.∵
AB
∥
CD
，∴
PM
∥
CD
.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.∵∠4＋∠
BPC
＋∠3＝360°，∴∠3＝360°－∠
BPC
－∠4＝360°－58°－152°＝150°.∵
AB
∥
PM
，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝
30°.234567891
“
”形图4.
【新考法·从特殊到一般的思想】(1)如图①，若
AB
∥
DE
，∠
B
＝135°，∠
D
＝145°，求∠
BCD
的度数.234567891解：(1)如图，过点
C
作
CF
∥
AB
，∴∠
B
＋∠
BCF
＝180°.∵
AB
∥
DE
，
CF
∥
AB
，∴
CF
∥
DE
.
∴∠
FCD
＋∠
D
＝180°.∴∠
B
＋∠
BCF
＋∠
FCD
＋∠
D
＝180°＋180°，即∠
B
＋∠
BCD
＋∠
D
＝360°.∴∠
BCD
＝360°－∠
B
－∠
D
＝360°－135°－145°＝80°.234567891(2)如图①，在
AB
∥
DE
的条件下，你能得出∠
B
，
∠
BCD
，∠
D
之间的数量关系吗？请说明理由.234567891又∵
AB
∥
DE
，∴
CF
∥
DE
.
∴∠
FCD
＋∠
D
＝180°.∴∠
B
＋∠
BCF
＋∠
FCD
＋∠
D
＝180°＋180°，即∠
B
＋∠
BCD
＋∠
D
＝360°.解：(2)∠
B
＋∠
BCD
＋∠
D
＝360°.理由如下：如图，∵
CF
∥
AB
，∴∠
B
＋∠
BCF
＝
180°.234567891(3)如图②，
AB
∥
EF
，根据(2)中的猜想，直接写出∠
B
＋∠
C
＋∠
D
＋∠
E
的度数.解：(3)∠
B
＋∠
C
＋∠
D
＋∠
E
＝540°.234567891
“
”形图5.
[2024台州书生中学模拟]如图，∠
BEC
＝95°，∠
ABE
＝120°，∠
DCE
＝35°.请问：
AB
与
CD
平行吗？请说
明理由.234567891解：
AB
∥
CD
.
理由如下：如图，过点
E
作
EF
∥
CD
，∴∠
FEC
＝∠
DCE
＝35°.∵∠
BEC
＝95°，∴∠
BEF
＝95°－35°＝60°.又∵∠
ABE
＝120°，∴∠
ABE
＋∠
BEF
＝180°.∴
AB
∥
EF
.
又∵
EF
∥
CD
，∴
AB
∥
CD
.
234567891
“
”形图6.
已知：
AB
∥
CD
，
CF
平分∠
ECD
.
(1)如图①，若∠
DCF
＝25°，∠
E
＝20°，求∠
ABE
的
度数；234567891解：(1)设
CE
交
AB
于点
G
，如图①.∵
CF
平分∠
ECD
，∴∠
DCE
＝2∠
DCF
.
∵∠
DCF
＝25°，∴∠
DCE
＝50°.∵
AB
∥
CD
，∴∠
AGE
＝∠
DCE
＝50°.∴∠
BGE
＝180°－∠
AGE
＝130°.∵∠
E
＝20°，∴∠
ABE
＝180°－∠
BGE
－∠
E
＝30°.234567891(2)如图②，若∠
EBF
＝2∠
ABF
，∠
CFB
的2倍与∠
CEB
的补角的和为190°，求∠
ABE
的度数.6.
已知：
AB
∥
CD
，
CF
平分∠
ECD
.
234567891解：(2)分别过点
E
，
F
作
AB
的平行线
ET
，
FL
，如图②.
234567891
∴α＝10°，∴∠
ABE
＝30°.234567891
“
”形图7.
如图，已知
AB
∥
DE
，∠
BCD
＝30°，∠
CDE
＝
138°，求∠
ABC
的度数.234567891解：如图，过点
C
作
CF
∥
AB
.
∵
AB
∥
DE
，∴
DE
∥
CF
.
∴∠
DCF
＝180°－∠
CDE
＝180°－138°＝42°.∴∠
BCF
＝∠
BCD
＋∠
DCF
＝30°＋42°＝72°.∵
AB
∥
CF
，∴∠
ABC
＝∠
BCF
＝72°.234567891
多“拐点”型8.
如图①，
AB
∥
CD
，
EOF
是直线
AB
，
CD
间的一
条折线.(1)求证：∠
EOF
＝∠
BEO
＋∠
DFO
.
234567891(1)证明：如图①，过点
O
向左作
OM
∥
AB
，∴∠1＝∠
BEO
.
∵
AB
∥
CD
，∴
OM
∥
CD
.
∴∠2＝∠
DFO
.
∴∠1＋∠2＝∠
BEO
＋∠
DFO
，即∠
EOF
＝∠
BEO
＋∠
DFO
.
234567891(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠
BEO
，
∠
EOP
，∠
OPF
，∠
PFC
之间会满足怎样的数量关系？并说明理由.8.
如图①，
AB
∥
CD
，
EOF
是直线
AB
，
CD
间的一
条折线.234567891(2)解：∠
EOP
＋∠
PFC
＝∠
BEO
＋∠
OPF
.
理由如下：过点
O
向左作
OM
∥
AB
，过点
P
向右作
PN
∥
CD
，如图②所示.∵
AB
∥
CD
，∴
OM
∥
AB
∥
CD
∥
PN
.
∴∠1＝∠
BEO
，∠2＝∠3，∠4＝∠
PFC
.
∴∠1＋∠2＋∠
PFC
＝∠
BEO
＋∠3＋∠4.即∠
EOP
＋∠
PFC
＝∠
BEO
＋∠
OPF
.
234567891
复合“拐点”型9.
如图，
AB
∥
CD
，
BE
平分∠
ABF
，
DE
平分∠
CDF
，
∠
BFD
＝120°，求∠
BED
的度数.234567891解：如图，过点
F
作
FG
∥
AB
，∴∠
BFG
＝∠
ABF
.
∵
AB
∥
CD
，∴
FG
∥
CD
.
∴∠
CDF
＝∠
DFG
.
∴∠
ABF
＋∠
CDF
＝∠
BFG
＋∠
DFG
＝∠
BFD
＝120°
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