2024八年级数学上册第七章平行线的证明专项突破17平行线中常用作辅助线的方法习题课件新版北师大版

第七章平行线的证明专项突破17平行线中常用作辅助线的方法方法1加截线

连接两点1.

[教材P186复习题T15变式]如图，∠

E

＝∠

B

＋∠

D

，猜

想

AB

与

CD

有怎样的位置关系，并说明理由.234567891解：

AB

∥

CD

.

理由如下：如图，连接

BD

.

在△

BDE

中，∠1＋∠2＋∠

E

＝180°.∵∠

E

＝∠3＋∠4，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，即∠

ABD

＋∠

CDB

＝180°.∴

AB

∥

CD

.

234567891

延长线段相交2.

如图，

AB

∥

CD

，

EF

⊥

AB

于点

O

，

FG

与

CD

交于点

M

，若∠1＝43°，则∠2＝

⁠.133°

234567891方法2过“拐点”作平行线

“

”形图3.

(一题多解)如图，

AB

∥

CD

，

P

为

AB

，

CD

之间的一

点，已知∠2＝28°，∠

BPC

＝58°，求∠1的度数.234567891解法一：过点

P

作射线

PN

∥

AB

，如图①所示.∵

AB

∥

CD

，∴

PN

∥

CD

.

∴∠4＝∠2＝28°.∵

PN

∥

AB

，∴∠3＝∠1.∵∠3＝∠

BPC

－∠4＝58°－28°＝30°，∴∠1＝30°.234567891解法二：过点

P

作射线

PM

∥

AB

，如图②所示.∵

AB

∥

CD

，∴

PM

∥

CD

.

∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.∵∠4＋∠

BPC

＋∠3＝360°，∴∠3＝360°－∠

BPC

－∠4＝360°－58°－152°＝150°.∵

AB

∥

PM

，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝

30°.234567891

“

”形图4.

【新考法·从特殊到一般的思想】(1)如图①，若

AB

∥

DE

，∠

B

＝135°，∠

D

＝145°，求∠

BCD

的度数.234567891解：(1)如图，过点

C

作

CF

∥

AB

，∴∠

B

＋∠

BCF

＝180°.∵

AB

∥

DE

，

CF

∥

AB

，∴

CF

∥

DE

.

∴∠

FCD

＋∠

D

＝180°.∴∠

B

＋∠

BCF

＋∠

FCD

＋∠

D

＝180°＋180°，即∠

B

＋∠

BCD

＋∠

D

＝360°.∴∠

BCD

＝360°－∠

B

－∠

D

＝360°－135°－145°＝80°.234567891(2)如图①，在

AB

∥

DE

的条件下，你能得出∠

B

，

∠

BCD

，∠

D

之间的数量关系吗？请说明理由.234567891又∵

AB

∥

DE

，∴

CF

∥

DE

.

∴∠

FCD

＋∠

D

＝180°.∴∠

B

＋∠

BCF

＋∠

FCD

＋∠

D

＝180°＋180°，即∠

B

＋∠

BCD

＋∠

D

＝360°.解：(2)∠

B

＋∠

BCD

＋∠

D

＝360°.理由如下：如图，∵

CF

∥

AB

，∴∠

B

＋∠

BCF

＝

180°.234567891(3)如图②，

AB

∥

EF

，根据(2)中的猜想，直接写出∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

的度数.解：(3)∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

＝540°.234567891

“

”形图5.

[2024台州书生中学模拟]如图，∠

BEC

＝95°，∠

ABE

＝120°，∠

DCE

＝35°.请问：

AB

与

CD

平行吗？请说

明理由.234567891解：

AB

∥

CD

.

理由如下：如图，过点

E

作

EF

∥

CD

，∴∠

FEC

＝∠

DCE

＝35°.∵∠

BEC

＝95°，∴∠

BEF

＝95°－35°＝60°.又∵∠

ABE

＝120°，∴∠

ABE

＋∠

BEF

＝180°.∴

AB

∥

EF

.

又∵

EF

∥

CD

，∴

AB

∥

CD

.

234567891

“

”形图6.

已知：

AB

∥

CD

，

CF

平分∠

ECD

.

(1)如图①，若∠

DCF

＝25°，∠

E

＝20°，求∠

ABE

的

度数；234567891解：(1)设

CE

交

AB

于点

G

，如图①.∵

CF

平分∠

ECD

，∴∠

DCE

＝2∠

DCF

.

∵∠

DCF

＝25°，∴∠

DCE

＝50°.∵

AB

∥

CD

，∴∠

AGE

＝∠

DCE

＝50°.∴∠

BGE

＝180°－∠

AGE

＝130°.∵∠

E

＝20°，∴∠

ABE

＝180°－∠

BGE

－∠

E

＝30°.234567891(2)如图②，若∠

EBF

＝2∠

ABF

，∠

CFB

的2倍与∠

CEB

的补角的和为190°，求∠

ABE

的度数.6.

已知：

AB

∥

CD

，

CF

平分∠

ECD

.

234567891解：(2)分别过点

E

，

F

作

AB

的平行线

ET

，

FL

，如图②.

234567891

∴α＝10°，∴∠

ABE

＝30°.234567891

“

”形图7.

如图，已知

AB

∥

DE

，∠

BCD

＝30°，∠

CDE

＝

138°，求∠

ABC

的度数.234567891解：如图，过点

C

作

CF

∥

AB

.

∵

AB

∥

DE

，∴

DE

∥

CF

.

∴∠

DCF

＝180°－∠

CDE

＝180°－138°＝42°.∴∠

BCF

＝∠

BCD

＋∠

DCF

＝30°＋42°＝72°.∵

AB

∥

CF

，∴∠

ABC

＝∠

BCF

＝72°.234567891

多“拐点”型8.

如图①，

AB

∥

CD

，

EOF

是直线

AB

，

CD

间的一

条折线.(1)求证：∠

EOF

＝∠

BEO

＋∠

DFO

.

234567891(1)证明：如图①，过点

O

向左作

OM

∥

AB

，∴∠1＝∠

BEO

.

∵

AB

∥

CD

，∴

OM

∥

CD

.

∴∠2＝∠

DFO

.

∴∠1＋∠2＝∠

BEO

＋∠

DFO

，即∠

EOF

＝∠

BEO

＋∠

DFO

.

234567891(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠

BEO

，

∠

EOP

，∠

OPF

，∠

PFC

之间会满足怎样的数量关系？并说明理由.8.

如图①，

AB

∥

CD

，

EOF

是直线

AB

，

CD

间的一

条折线.234567891(2)解：∠

EOP

＋∠

PFC

＝∠

BEO

＋∠

OPF

.

理由如下：过点

O

向左作

OM

∥

AB

，过点

P

向右作

PN

∥

CD

，如图②所示.∵

AB

∥

CD

，∴

OM

∥

AB

∥

CD

∥

PN

.

∴∠1＝∠

BEO

，∠2＝∠3，∠4＝∠

PFC

.

∴∠1＋∠2＋∠

PFC

＝∠

BEO

＋∠3＋∠4.即∠

EOP

＋∠

PFC

＝∠

BEO

＋∠

OPF

.

234567891

复合“拐点”型9.

如图，

AB

∥

CD

，

BE

平分∠

ABF

，

DE

平分∠

CDF

，

∠

BFD

＝120°，求∠

BED

的度数.234567891解：如图，过点

F

作

FG

∥

AB

，∴∠

BFG

＝∠

ABF

.

∵

AB

∥

CD

，∴

FG

∥

CD

.

∴∠

CDF

＝∠

DFG

.

∴∠

ABF

＋∠

CDF

＝∠

BFG

＋∠

DFG

＝∠

BFD

＝120°