江苏省扬州市 2023-2024学年度第一学期期中考试高二年级数学含答案

2023-2024学年度第一学期期中考试高二年级数学（总分150时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线经过第一、二、三象限，则有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线所过的象限判断斜率、截距的符号即可.【详解】因为直线经过第一、二、三象限，所以直线的斜率，在y轴上的截距.故选：A2.若方程表示圆，则m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式求解即可.【详解】因为表示圆，所以,解得或.故选：B.3.若椭圆：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：由题意可得：.本题选择C选项.4.圆O1：和圆O2：的位置关系是A.相离 B.相交 C.外切 D.内切【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．考点：圆与圆的位置关系．5.抛物线的焦点到准线的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，直接求出焦点坐标及准线方程，即可求解.【详解】因为抛物线的焦点为，准线为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选：D.6.设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.7.已知椭圆，设点的轨迹为曲线，已知点与点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断点N在椭圆内部，利用椭圆定义将转化为，求出的最大值，即可求得答案.【详解】依题意，为曲线的左焦点，由于满足，故点N在椭圆内部，设C的右焦点为，连接，由于M为曲线C上的动点，则，从而，因为,当共线，且N在线段上时取等号(如图)，故的最小值为，故选：C.8.已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点P轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，，所以的取值范围是：.故选：B【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知双曲线C：，则（）A.双曲线C的离心率为 B.双曲线C的虚轴长为C.双曲线C的焦点坐标为 D.双曲线C的渐近线方程为【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线方程求解出，由双曲线的性质逐一判断.【详解】由双曲线的方程，得，则，所以离心率为，A正确；虚轴长为，B错误；焦点坐标为，C正确；渐近线方程，D正确.故选：ACD10.下列说法中，正确的有（）A.直线在y轴上的截距是2B.直线与平行，则实数的值为1C.若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3D.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为【答案】BC【解析】【分析】通过计算可以判定选项BC正确；直线在y轴上的截距是所以选项A错误；过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以选项D错误.【详解】A.直线在y轴上的截距是所以该选项错误；B.直线与平行，则所以或当时，两直线重合，所以舍去.所以实数的值为1.所以该选项正确；C.若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，所以，则m＋n＝3，所以该选项正确；D.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以该选项错误.故选：BC11.已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，直线与C交于A，B两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（）A.四边形为平行四边形B.可能为直角C.四边形面积最大为4D.直线的斜率为【答案】AD【解析】【分析】根据对称性判断A，用反证法判断B，由面积为4确定点位置，从而确定直线位置后判断C，设，计算斜率判断D．详解】由椭圆方程得，，，选项A，由椭圆的对称性得，又，所以四边形AF1BF2为平行四边形，A正确；选项B，若为直角，则，所以是椭圆短轴顶点，即椭圆与的轴交点，此时，直线与轴重合，不存在，B错；选项C，四边形面积为，，则是短轴顶点，此时直线直线与轴重合，不存在，C错；选项D，设，则，，，，D正确．故选：AD．12.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（）A.对于任意直线，均有B.不存在直线，满足C.对于任意直线，直线与抛物线相切D.存在直线，使【答案】AC【解析】【分析】A选项由为线段的中点以及抛物线定义即可判断，B选项由及抛物线方程求出，坐标，再说明，，三点共线，即存在直线即可，C选项设，，表示出直线，联立抛物线，利用即可判断，D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断．【详解】对于选项A，如图，由抛物线知为的中点，轴，所以为线段的中点，由抛物线的定义知，所以，所以选项A正确；对于选项B，设，，，，，为线段的中点，则，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直线，满足，所以选项B不正确；对于选项C，由题意知，为线段的中点，从而设，则，直线的方程，与抛物线方程联立可得：，又，代入整理得，则，所以直线与抛物线相切，所以选项C正确；对于选项D，设的方程，联立，则，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以选项D错误，故选：AC．【点睛】方法点晴：（1）直线与抛物线的位置关系一般需要设出直线方程，然后与抛物线联立，进而利用根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过点的直线的倾斜角是__________.【答案】【解析】【分析】根据斜率的公式求解即可.【详解】经过点的直线的倾斜角是.所以倾斜角为.故答案为：【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算,属于基础题.14.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.【答案】2米【解析】【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，得m=-2，∴，代入B得，故水面宽为米，故答案为米．考点：抛物线应用15.已知双曲线C:（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】根据题干条件先得到和的值，然后利用三角函数和双曲线渐近线方程分别表示，化简得到的值，最后利用可得双曲线的离心率.【详解】如图所示，由题意可知，，，，，设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，又，，解得，.故答案为：.16.已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则的最小值为_________.【答案】##2.25【解析】【分析】根据的面积的最大值为可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值.【详解】由已知条件可得、，直线的斜率为，则直线的方程为，当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行，

故设该直线的方程为，联立，整理，得，由，得，解得，分析可知当的面积最大时，，此时切线方程为，则点到直线的距离.又，所以，所以，所以、，所以，则，当且仅当时取等号，因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键在于分析得到，当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行，进而联立直线与椭圆方程借助求出，后续再求出，进而结合基本不等式求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2；（2）与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据渐近线得到，根据距离得到，得到答案.（2）设双曲线方程为，代入点坐标，计算得到答案.【小问1详解】双曲线的渐近线方程为，则，两顶点之间的距离为，则.故双曲线方程为：.【小问2详解】与双曲线有共同的渐近线，则设双曲线方程为，，过点，则，解得，故双曲线方程为.18.直线经过两直线和的交点．（1）若直线与直线平行，求直线的方程；（2）若直线与圆相切，求直线的方程．【答案】（1）（2）、【解析】【分析】（1）先求得交点坐标，然后根据直线平行求得直线的方程.（2）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得正确答案.【小问1详解】由解得，所以交点为，由于直线与直线平行，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.【小问2详解】圆的圆心为，半径为，所以直线与圆相切当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，，圆心到直线的距离，解得，所以直线方程为，.综上所述，切线方程为、.19.已知圆：．（1）当取何值时，直线：与圆相交得到的弦长最短；（2）若直线过点且被圆截得的弦长为8，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据直线被圆截得弦长的算法可知，圆心和直线所过定点的连线与直线垂直时，所得弦长最短；（2）按照斜率是否存在，分情况讨论进行求解.【小问1详解】设直线与圆相交于两点

∵：过定点．∴当时，弦长取最小值．∵，∴∴时直线：与圆相交得到的弦长最短．【小问2详解】设直线与圆相交于两点①当不存在时，依题意有：直线的方程为∵圆：∴弦长符合．∴直线方程为符合题意．②当存在时，设直线：即∵弦长，，∴．∵，∴．解得．∴直线方程为：即．综上：直线方程为：或．20.在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解：①圆经过点；②圆心在直线上；③圆与直线相切；已知圆经过点，且__________（1）求圆的方程；（2）已知点，问在圆上是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析；（2）存在，符合题意的点的个数是2个．【解析】【分析】（1）若选①，设圆的方程为，由条件列方程求可得结论；若选②，先求直线的垂直平分线方程，与直线联立可求圆心坐标，再求圆的半径，由此可得圆的方程；若选③，设圆的方程为，由条件列方程求可得圆的方程；（2）设，由条件求点的轨迹方程，再求该方程与圆的交点个数即可.【小问1详解】若选①，设圆的方程为，由已知可得，解得，所以圆的方程为，若选②，由已知的中点为的斜率为，所以的中垂线方程为：，即，又因为圆心在直线上，联立，可得，所以圆心的坐标为，半径为，所以圆的方程为：；若选③，设圆的方程为，因为圆经过点，所以，因为圆与直线相切，所以，解得，所以圆的方程为；【小问2详解】设，由已知，，即，点在圆上，圆的圆心的坐标为，半径，又因点在圆上，圆的圆心的坐标为，半径，又，，所以，圆与圆相交，两圆有两个公共点，符合题意的点的个数是2个．21.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出，的坐标结合，求出的坐标，代入抛物线方程求得值．【详解】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为，，故直线的方程为，联立，可得．，，△，解得，．经过抛物线焦点的弦，解得．抛物线方程为；（2）由（1）知，，，代入直线，可求得，，即，，，，，，，，，点在抛物线上，故，解得：或．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属于中档题．22.平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）