湖南省衡阳市 2023-2024年上期高一数学期中考试含答案

2023-2024年上期高一数学期中考试第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.不等式恒成立的一个充分不必要条件可以为（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用绝对值三角不等式解得，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】，解得，故不等式恒成立的一个充分不必要条件可以为．故选：D2.下列各组函数中表示同一函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义判断.【详解】A.的定义域为，的定义域为R，故不是同一函数；B.与定义域都为R，且解析式相同，故是同一函数；C.的定义域为，的定义域为R，故不是同一函数；D.与解析式不同，故不是同一函数；故选：B3.设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有（）①；②；③；④A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】由是奇函数得到的图象关于点对称，可判定②正确；由是偶函数，得到的图象关于对称，可判定③正确；在中，分别将用替换，将用替换，再将用替换，可判定①正确.【详解】由题意，函数是奇函数，可得的图象关于点对称，所以，所以②正确；令，则，又由是偶函数，所以的图象关于对称，所以的图象关于对称，则有，令，则，所以③正确.在中，将用替换，则，在中，将用替换，则，所以，再将用替换，则，所以，所以①正确；对于④中，由，无法推出其一定相等.故选：B.4.已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意＝=()﹣5，由基本不等式的性质求出＝(）[(x+1)+(y+1)]的最小值，即可得的最小值，据此分析可得答案.【详解】根据题意，正数x，y满足x+y＝1，则＝＝(y+1)+﹣4+(x+1)+﹣4＝()﹣5，又由＝()[(x+1)+(y+1)],＝[8+]≥，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以＝()﹣5﹣5＝，即的最小值为，所以，则m的最大值为；故选：B．【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题．5.下列对应：是从集合到集合的函数的是（）A.，，：B.，，：C.{|是三角形}，{|是圆}，：每一个三角形对应它的内切圆D.{|是圆}，{|是三角形}，：每一个圆对应它的外切三角形【答案】A【解析】【分析】由函数的定义，分别判断即可.【详解】A.集合A中的任意一个元素，在集合B中有唯一的对应，满足条件，A正确；B.集合A中的0，在集合B中没有对应，不满足条件，B不正确；C.集合A,B不是数集，不满足条件，C不正确；D.集合A,B不是数集，不满足条件，D不正确；故选：A6.已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函数的奇偶性，结合函数图象变换可判断ABCD选项.【详解】构造函数，该函数的定义域为，所以，，函数为奇函数，故函数的对称中心为原点.对于A选项，函数的图象可在函数的图象上向右平移个单位，故函数图象的对称中心为；对于B选项，函数的图象可在函数的图象上向左平移个单位，故函数图象的对称中心为；对于C选项，函数的图象可在函数的图象上向上平移个单位，故函数图象的对称中心为；对于D选项，函数的图象可在函数的图象上向下平移个单位，故函数图象的对称中心为.故选：B.7.已知函数（且），对任意，，当时总有，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，函数在定义域R上是增函数，列出不等式组，解出即可．【详解】∵对任意，，当时总有，∴函数在定义域R上是增函数，∴，解得：．故选：A．8.已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分别讨论、、和情况下，单调性及的正负，综合分析，即可得答案.【详解】当时，在上单调递增，且，所以在上单调递减，符合题意，当时，无单调性，不符合题意，当时，在上单调递减，且，不符合题意，当时，在上单调递减，，符合题意，还需，解得，综上实数的取值的范围是.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】分x，y都大于零，x，y中一个大于零，另一个小于零和x，y都小于零求解判断即可【详解】当x，y都大于零时，；当x，y中一个大于零，另一个小于零时，；当x，y都小于零时，．根据元素与集合的关系，可知，，，．故选：AB．10.下列说法正确的是（）A.很小的实数可以构成集合B.集合{x|y=x2-1}与集合是同一个集合C.由这些数组成的集合有4个元素D.集合是指第二或第四象限内的点集【答案】CD【解析】【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而很小的数标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出x和y异号;【详解】A选项：很小的实数标准不确定，故不能构成集合；B选项：其中第一个集合是数集，第二个集合是点集，故不是同一集合．C选项：因为，故这些数组成的集合有4个元素．D选项：因为xy<0，故点（x，y）是第二或第四象限内的点．综上，CD正确．故选：CD11.下列说法正确的序号是（）A.偶函数的定义域为，则B.设，若，则实数的值为或C.奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则D.若集合中至多有一个元素，则【答案】AC【解析】【分析】根据偶函数定义域关于原点对称可得，进而可判断选项A；根据集合之间的关系可得，对集合B的取值分类讨论，即可判断选项B；根据奇函数的定义与单调性可得，计算进而可判断选项C；对a的取值分为a=0和两种情况讨论，求出对应的范围，即可判断选项D.【详解】A：因为函数为偶函数，所以它的定义域关于原点对称，有，故A正确；B：，由得，当时，a=0；当时，；当时，；所以a的取值为0，，，故B错误；C：由为奇函数，，得，所以，故C正确；D：由A中至多有一个元素，得当a=0时，，符合题意；当时，，所以a的取值为或a=0，故D错误.故选：AC12.设函数其中表示中的最小者．下列说法正确的有（）A.函数为偶函数B.当时，有C.当时，D.当时，【答案】ABC【解析】【分析】根据题意画出的大致图像,然后依据图像逐个检验即可．【详解】画的图象如图所示：对A选项，所以恒成立，故选项A正确；对B选项，当时,,可以看做是向右平移两个单位，经过平移知恒成立,故选项B正确；对C选项，由图知,当时,,可令,由和的图象知,当时,在的上方,所以当时,,即成立,故选项正确；对D选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项错误.故选:第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知，，若，则实数a的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】化简集合，解指数不等式并借助包含关系求a的范围，再分析求解一元二次不等式，结合包含关系求a的范围，然后综合得解.【详解】，由，得，则且，即，而，于是，解得；由不等式，得，且有，而，因此，解得，所以实数a的取值范围是.14.若正实数，满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由，得，代入中化简，再利用基本不等式可求得答案【详解】解：由，得，因为，为正实数，所以，所以，当且仅当，即时，取等号（此时），所以的最小值为，故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15.已知命题；命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式求命题的解集，解一元一次方程求命题的解集，再由是的充分不必要条件列不等式组，求的取值范围.【详解】由题设，命题为，命题为，若是的充分不必要条件，必有，解得．故答案为：16.已知函数若关于的方程有且仅有4个不等实数根，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，作出函数图象，将方程有4个不等实数根，转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合的方法，即可求出结果.【详解】因为，作出其图象如下：因为关于的方程有且仅有4个不等实数根，所以函数的图象与直线有四个不同的交点，由图象可知，当时，显然不满足题意；当时，因为，，横坐标为对应的空心点的坐标为由图象可得，当直线过点时，直线与函数的图象有五个不同的交点，此时；当直线过点时，直线与函数的图象有三个不同的交点，此时；因此，为使直线与函数的图象有四个不同的交点，只需.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，.（1）若求；（2）若设，已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围;【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简集合AB，再利用集合的补集和交集运算求解；（2）易得，根据且是的充分不必要条件，由，且等号不同时成立求解.【小问1详解】解：当时，，则或，又，所以；【小问2详解】当时，，设，且是的充分不必要条件，所以，且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围是.18.已知正实数x，y满足.（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据直接求解出的最大值，注意取等条件；（2）利用“”的代换结合基本不等式求解出的最小值，再根据求解出的取值范围.【详解】（1），所以，解得，当且仅当取等号，∴的最大值为.（2），当且仅当，取等号，∴，解得.即a的取值范围是.19.设函数.（1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）据题意知，对于，有恒成立，即恒成立，因此，设，所以，函数在区间上是单调递减的，，（2）由对于一切实数恒成立，可得，由存在，使得成立可得，，，当且仅当时等号成立，【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.已知定义域为实数集的函数（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明.（2）若不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1），进而判断函数为减函数，再根据函数单调性的定义证明即可；（2）由（1）得，再解不等式即可得答案.详解】解：（1），因为函数为上的增函数，所以可判断函数在上为单调递减函数，证明如下：设且，则，因为且，所以，所以，即，所以函数在上为单调递减函数.（2）由（1）知函数在上为单调递减函数，所以等价于，即由于恒成立，所以实数的取值范围为21.为减少人员聚集，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当中有的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：（1）当取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？（2）已知上班族的人均上班时间计算公式为：，讨论的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)【答案】（1）或；（2）当时单调递减，当时单调递增，实际意义答案见解析【解析】【分析】（1）根据自驾群体的人均上班路上时间为：，分，两种情况讨论求解.（2）根据上班族的人均上班时间计算公式为：，分，，分别得到函数，然后再利用一次函数和二次函数的性质求解.【详解】（1）依题意得：①当时，，不符，②当时，，若公交群体的人均上班时间等于自驾群体的人均上班时间，则，解得