期末数学试卷1 带解析

九年级（上）期末数学试卷(解析版)一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）1．已知一组数据：5，9，13，13，5．下列说法正确的是（）A．平均数是9 B．极差是4 C．众数是9 D．中位数是132．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．y=2t2+1 D．y=x2+3．一只不透明的袋子中装有5个黑球4个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（）A． B． C． D．4．对于二次函数y=（x+1）2﹣8的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x=﹣1C．顶点坐标是（1，﹣8） D．可由y=﹣x2的图象平移得到5．下列各组图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等边三角形C．各有一角是80°的两个等腰三角形D．任意两个菱形6．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）7．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠18．如图，一次函数y1=x+5与二次函数的图象相交于A、B两点，则函数y=﹣ax2+（1﹣b）x+5﹣c的图象可能为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是．10．某小区2013年底绿化面积为200平方米，计划2015年底绿化面积要达到288平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是．11．若圆锥的底面半径是2cm，母线长是9cm，则它的侧面展开图的面积是cm2．12．将二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数表达式是．13．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是．14．已知AB=2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC=．15．如图，⊙O中，∠AOB=110°，点C、D是上任两点，则∠C+∠D的度数是°．16．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG=2，则EF为．17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，点A、B、O均在格点处，则cos∠AOB=．18．如图，等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=m，点D是边AB的中点，点P是边BC上的动点，且不与B、C重合，∠DPQ=∠B，射线PQ交AC于点Q．当点Q总在边AC上时，m的最大值是．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）解方程x2﹣2x﹣1=0（用配方法）；（2）计算：．20．（8分）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，∠B=60°，BC=2．（1）求边AB、AC的长；（2）求△ABC内切圆⊙O的半径r．21．（8分）某班组织了一次经典诵读比赛，男女生各5人组成甲、乙两队参与比赛，成绩如表（10分制）：甲队810999乙队1088109（1）甲队成绩的平均数是分，乙队成绩的平均数是分；（2）分别计算两队成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为那一队的成绩较好，并说明理由．22．（8分）已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，若AC=5，AB=9，CB=6．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）求CD的长．23．（8分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是；（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．24．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k=0（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的两边的长度是该方程的两个根，第三边长度为3，求出此时△ABC的周长．25．（10分）如图，某市近郊有一块长为90m，宽为60m的矩形土地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的四个矩形（四个矩形的一边长均为am）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为xm，则塑胶运动场地总面积y=m2．（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总面积为4536m2，请问通道的宽度为多少？26．（10分）在四边形ABCD中，∠D=90°，以AB为直径作半⊙O．（1）如图1，若⊙O与DC有公共点E，且∠BAE=∠DAE．试说明DC是⊙O的切线；（2）如图2，若⊙O与DC交于点E、F，图中∠BAF与∠DAE相等吗？为什么？27．（12分）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小华：“如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．”小雨：“如果以13元/千克的价格销售，那么每天可售出150千克．”小星：“通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．”（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）之间的函数关系式；（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元）的增大而增大，求a的取值范围．28．（12分）如图，抛物线的顶点为D点，它与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0），B（3，0），．（1）求此抛物线的顶点坐标；（2）在抛物线上是否存在一点P，使∠ACP=90°，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使|QB﹣QC|最大，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点E在x轴上，点Q在抛物线上，若以A、C、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析专业学习资料平台网资源一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）1．已知一组数据：5，9，13，13，5．下列说法正确的是（）A．平均数是9 B．极差是4 C．众数是9 D．中位数是13【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．【分析】根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合各选项进行判断即可．【解答】解：A、平均数为（5+9+13+13+5）÷5=9，故本选项正确；B、极差为13﹣5=8，故本选项错误；C、众数为5和9，故本选项错误；D、中位数是9，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了极差、中位数、平均数、众数的知识，掌握基本定义即可解答本题，难度一般．2．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．y=2t2+1 D．y=x2+【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；C、是二次函数，故此选项正确；D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3．一只不透明的袋子中装有5个黑球4个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】由一只不透明的袋子中装有5个黑球4个白球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一只不透明的袋子中装有5个黑球4个白球，这些球除颜色外都相同，∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为：=；故选D．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．对于二次函数y=（x+1）2﹣8的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x=﹣1C．顶点坐标是（1，﹣8） D．可由y=﹣x2的图象平移得到【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：二次函数y=（x+1）2﹣8的图象的开口向上，对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣8），可由y=x2的图象平移得到．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质，能够顺利得到顶点式表达的函数的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．5．下列各组图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等边三角形C．各有一角是80°的两个等腰三角形D．任意两个菱形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；故选：B．【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．6．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．7．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2且m≠1．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．8．如图，一次函数y1=x+5与二次函数的图象相交于A、B两点，则函数y=﹣ax2+（1﹣b）x+5﹣c的图象可能为（）A． B． C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据二次函数的图象知：得到a＜0，c＞0，由一次函数y1=x+5与y轴交于（0，5），得到5﹣c＜0，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：由二次函数的图象知：∵开口向下，∴a＜0，∵交y轴的正半轴于（0，c），∴c＞0，∵一次函数y1=x+5与y轴交于（0，5），∴5﹣c＜0，∴函数y=﹣ax2+（1﹣b）x+5﹣c中的二次项系数﹣a＞0，∴开口向上，与y轴交于（0，5﹣c）在x轴的下方，∴A选项正确，故选A．【点评】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是点A在圆内．【考点】点与圆的位置关系．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故答案为：点A在圆内．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．10．某小区2013年底绿化面积为200平方米，计划2015年底绿化面积要达到288平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20%．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每年绿化面积的增长率为x，根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．【解答】解：设每年绿化面积的增长率为x，根据题意得：200（1+x）2=288，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）．故x=0.2=20%．答：这个增长率为20%．故答案为：20%．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．11．若圆锥的底面半径是2cm，母线长是9cm，则它的侧面展开图的面积是18πcm2．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为2cm，则底面周长=4πcm，侧面展开图的面积=×4π×9=18πcm2．故答案为：18π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是牢记有关的公式，难度不大．12．将二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x﹣3）2+4．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x﹣3）2+4，故答案为：y=（x﹣3）2+4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．13．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是2π．【考点】二次函数的图象．【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积．【解答】解：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s==2π．故答案为：2π．【点评】此题主要考查了学生的观察图形与拼图的能力．14．已知AB=2，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC=．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．【解答】解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段；则AC=2×=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了黄金分割的知识，要求熟练黄金比的值进行计算．15．如图，⊙O中，∠AOB=110°，点C、D是上任两点，则∠C+∠D的度数是110°．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得到∠C=∠D=∠AOB=55°，然后求它们的和即可．【解答】解：∵∠AOB=110°，∴∠C=∠D=∠AOB=55°，∴∠C+∠D=110°．故答案为110．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．16．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG=2，则EF为．【考点】垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．【分析】连结OA，根据垂径定理由OG⊥AC得到AG=CG，在Rt△AOG中，根据勾股定理得AG=，则AC=2AG=2，再根据垂径定理由OE⊥AB，OF⊥BC得到AE=BE，CF=BF，所以EF为△ABC的中位线，则EF=AC=．【解答】解：连结OA，如图，∵OG⊥AC，∴AG=CG，在Rt△AOG中，OG=2，OA=5，∴AG==，∴AC=2AG=2，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴AE=BE，CF=BF，∴EF为△ABC的中位线，∴EF=AC=．故答案为．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和三角形中位线性质．17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，点A、B、O均在格点处，则cos∠AOB=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】如图，连接AB，过A作AD⊥OB，易求△AOB的面积，根据勾股定理可求出OA，OB的长，进而可求出AD的长，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：如图，连接AB，过A作AD⊥OB，设每个小正方形边长为1，∵S△AOB=3×3﹣×1×3×2﹣×2×2=4，由勾股定理可得：OA=OB=，∴AD==，∴OD=，∴cos∠AOB==，cos∠AOB=，故答案为．【点评】本题考查了勾股定理，本题主要通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解的，难度适中．18．如图，等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=m，点D是边AB的中点，点P是边BC上的动点，且不与B、C重合，∠DPQ=∠B，射线PQ交AC于点Q．当点Q总在边AC上时，m的最大值是4．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】先证明△BPD∽△CQP，得出，求出CQ=x（m﹣x）=﹣x2+mx，由二次函数得出当x=m时，CQ取最大值，最大值为m2，要使Q永远在AC上，则CQ≤AC，即CQ≤4，得出m2≤4，因此0＜m≤4，即可得出答案．【解答】解：设BP=x，则PC=m﹣x，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠DPQ=∠B，∴∠C=∠DPQ，∵∠PQC=180°﹣∠QPC﹣∠C，∠BPD=180°﹣∠DPQ﹣∠QPC，∴∠PQC=∠BPD，∴△BPD∽△CQP，∴，即，∴CQ=x（m﹣x）=﹣x2+mx，当x=m时，CQ取最大值，最大值为m2，要使Q永远在AC上，则CQ≤AC，即CQ≤4，∴m2≤4，∴m2≤32，∴0＜m≤4，∴m的最大值为4；故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及二次函数的最大值问题；证明三角形相似是解决问题的关键．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（2015秋•江都区校级期末）（1）解方程x2﹣2x﹣1=0（用配方法）；（2）计算：．【考点】解一元二次方程-配方法；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）先移项，再方程两边同除以3，直接开平方即可；（2）先去分母，再去括号，整理即可得出x的值．【解答】解：（1）移项，得x2﹣2x=1，配方得（x﹣1）2=2，直接开平方，的x﹣1=±，解得x1=1+，x2=1﹣；（2）原式=2﹣4×+1﹣2=2﹣2﹣1=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程以及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．20．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，∠B=60°，BC=2．（1）求边AB、AC的长；（2）求△ABC内切圆⊙O的半径r．【考点】三角形的内切圆与内心；含30度角的直角三角形．【分析】（1）利用直角三角形30度角性质，求出AB，再根据勾股定理求出AC即可．（2）如图，作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，OG⊥AB于G，连接OB、OC、OA，设⊙O半径为r，利用面积法即可解决问题．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，∴∠CAB=30°，AB=2BC=4，AC==2，∴AB=4，AC=2．（2）如图，作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，OG⊥AB于G，连接OB、OC、OA，设⊙O半径为r，∵AC•BC=BC•OE+AC•OF+AB•OG，∴×2×2=×（2+4+2）r，∴r=﹣1．【点评】本题考查三角形内切圆与内心、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求内切圆半径，属于中考常考题型．21．某班组织了一次经典诵读比赛，男女生各5人组成甲、乙两队参与比赛，成绩如表（10分制）：甲队810999乙队1088109（1）甲队成绩的平均数是9分，乙队成绩的平均数是9分；（2）分别计算两队成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为那一队的成绩较好，并说明理由．【考点】方差；算术平均数．【分析】（1）根据算术平均数的公式计算即可；（2）根据方差公式计算；（3）根据方差的性质进行说明即可．【解答】解：（1）甲队成绩的平均数是：（8+10+9+9+9）=9分，乙队成绩的平均数是：（10+8+8+10+9）=9分，故答案为：9；9；（2）甲队的方差为：[（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2]=0.4，乙队的方差为：[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]=0.8；（3）甲、乙平均成绩相同，甲的成绩更稳定．【点评】本题考查的是方差的计算、平均数的计算，掌握方差的计算公式：S2=[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2]，其中为n个数据x1，x2，…，xn的平均数是解题的关键．22．已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，若AC=5，AB=9，CB=6．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）求CD的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△ADC∽△ACB；（2）根据相似三角形的对应边成比例得出CD：BC=AC：AB，将数值代入计算即可求出CD的长【解答】（1）证明：在△ADC与△ACB中，∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴CD：BC=AC：AB∴CD•AB=BC•AC，即9CD=5×6，∴CD=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．23．商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是；（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况，∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（10分）（2015秋•江都区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k=0（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的两边的长度是该方程的两个根，第三边长度为3，求出此时△ABC的周长．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）先计算△，化简得到△=（2k﹣1）2，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；（2）利用因式分解法求出方程的两根x1=2k，x2=1，设a=3，b=2k，c=1，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．【解答】（1）证明：∵△=（4k+1）2﹣4•2k=4k2+1+4k﹣8k=4k2﹣4k+1=（2k﹣1）2≥0，∴无论k取何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+2k=0，∴（x﹣2k）（x﹣1）=0，∴x1=2k，x2=1．∵等腰△ABC的两边的长度是该方程的两个根，第三边长度为3，设a=3，b=2k，c=1，当a、b为腰，则a=b=3，即2k=3，解得k=1.5，此时三角形的周长=3+3+1=7；当b、c为腰时，b=c=1，此时b+c＜a，故此种情况不存在．综上所述，△ABC的周长为7．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．25．（10分）（2015秋•江都区校级期末）如图，某市近郊有一块长为90m，宽为60m的矩形土地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的四个矩形（四个矩形的一边长均为am）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为xm，则塑胶运动场地总面积y=（90﹣3x）（60﹣3x）（或9x2﹣450x+5400）m2．（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总面积为4536m2，请问通道的宽度为多少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据塑胶运动场地总面积=大矩形的面积﹣通道的面积即可；（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则（90﹣3x）（60﹣3x）（或9x2﹣450x+5400）．故答案为：（90﹣3x）（60﹣3x）（或9x2﹣450x+5400）（2）根据题意得：9x2﹣450x+5400=4536解得x1=2，x2=48（不合题意，舍去）．答：中间通道的宽度为2米．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．26．（10分）（2015秋•江都区校级期末）在四边形ABCD中，∠D=90°，以AB为直径作半⊙O．（1）如图1，若⊙O与DC有公共点E，且∠BAE=∠DAE．试说明DC是⊙O的切线；（2）如图2，若⊙O与DC交于点E、F，图中∠BAF与∠DAE相等吗？为什么？【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OE，由于OE分别是AB、CD中点，可知OE是梯形ABCD的中位线，从而有OE∥AD∥BC，而∠D=90°，易求∠OED=90°，从而可知CD是⊙O切线；（2）连接BF，求出∠BFA=90°，根据圆内接四边形的性质求出∠DEA=∠ABF，即可求出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，∵OA=OE，∴∠BAE=∠OEA，∵∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠OEA，∵OE∥AD，∵∠D=90°，∴OE⊥CD，∴DC是⊙O的切线；（2）解：相等，理由是：如图2，连接BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠ABF+∠BAF=90°，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠DEA=90°，∵A、B、F、E四点共圆，∴∠DEA=∠BAF，∴∠BAF=∠DAE．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、切线的判定、圆周角定理、平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．27．（12分）（2015秋•江都区校级期末）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小华：“如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．”小雨：“如果以13元/千克的价格销售，那么每天可售出150千克．”小星：“通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．”（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）之间的函数关系式；（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元）的增大而增大，求a的取值范围．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设y（千克）与x（元）（x＞0）之间的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出y关于x的函数关系式；（2）由这种水果每天的销售量均不低于250千克即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“每天获得利润=每千克利润×销售数量”即可得出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设扣除捐赠后的日销售利润为s元，根据“每天获得利润=每千克利润×销售数量”即可得出s关于x的函数关系式，根据二次函数的性质结合“当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元）的增大而增大”即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：（1）设y（千克）与x（元）（x＞0）之间的函数关系式为y=kx+b，则有，解得：，∴y（千克）与x（元）（x＞0）之间的函数关系式为y=﹣50x+800．（2）由已知得：﹣50x+800≥250，解得：x≤11．w=（x﹣8）y=（x﹣8）（﹣50x+800）=﹣50x2+1200x﹣6400=﹣50（x﹣12）2+800，∵﹣50＜0，∴在x≤12上，w随x的增大而增大，∴当x=11时，w最大，最大值为750．答：当售价为11元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w最大，最大值为750元．（3）设扣除捐赠后的日销售利润为s元，则s=（x﹣8﹣a）（﹣50x+800）=﹣50x2+（1200+50a）x﹣6400﹣800a，∵当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元）的增大而增大，∴﹣≥13，解得：a≥2，∵a≤2.5，∴a的取值范围为2≤a≤2.5．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据二次函数的性质找出关于a的一元一次不等式．本题属于中档题，难