2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价八平面对量数乘运算的坐标表示(15分钟30分)1.已知向量a,b满意a-b=(1,-5),a+2b=(-2,1),则b= ()A.(1,2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(-1,-2)【解析】选C.由题意得3b=(-3,6),所以b=(-1,2).2.(2024·本溪高一检测)已知a=,B(1,0),b=(3,4),c=(-1,1)且a=3b-2c,则点A的坐标为 ()A.(12,10) B.(12,-10)C.(-10,10) D.(-10,-10)【解析】选D.a=3b-2c=3(3,4)-2(-1,1)=(11,10),即=(11,10),由B(1,0)可得出=+=(1,0)+(-11,-10)=(-10,-10)(O为坐标原点).3.已知向量a=(1-sinθ,1),b=QUOTE,且a∥b,则锐角θ等于 ()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】选B.由a∥b,可得(1-sinθ)(1+sinθ)-QUOTE=0,即cosθ=±QUOTE,而θ是锐角,故θ=45°.【补偿训练】已知向量a=QUOTE与向量b=(x2,2x)共线,则实数x的值为()A.-3B.-3或0C.3D.3或0【解析】选B.向量a=QUOTE与向量b=(x2,2x)共线,则2xQUOTE-x2=0,即x2+3x=0,解得x=0或x=-3,所以实数x的值为-3或0.4.已知A,B,C三点共线,且A(-3,6),B(-5,2),若C点的纵坐标为6,则C点的横坐标为()A.-3 B.9 C.-9 D.3【解析】选A.设C(x,6),因为A,B,C三点共线,所以∥,又=(-2,-4),=(x+3,0),所以-2×0+4(x+3)=0.所以x=-3.5.(2024·嘉定高一检测)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,-2),点P满意=-3,则点P的坐标为.

【解析】设P(x,y),因为=-3,所以(x,y)=-3(4-x,-2-y),(x,y)=(-12+3x,6+3y),QUOTE解得QUOTE所以P(6,-3).答案:(6,-3)6.已知A(-2,4),B(3,1),C(-3,-4),设=a,=b,=c.(1)求2a-b+c(2)求满意a=mb+nc的实数m,n.【解析】(1)=(5,-3),=(-6,-5),=(1,8),有2a-b+c=(10,-6)-(-6,-5)+(1,8)=(17,7).(2)由a=mb+nc,有(5,-3)=(-6m,-得QUOTE解得QUOTE【补偿训练】已知向量a=(1,1),b=(0,2),且λa+μb=(2,8),求实数λ,μ.【解析】因为a=(1,1),b=(0,2),所以λa+μb=(λ,λ)+(0,2μ)=(λ,λ+2μ),又λa+μb=(2,8),所以QUOTE所以λ=2,μ=3.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量A.(2,6) B.(-2,6)C.(2,-6) D.(-2,-6)【解析】选D.由题意,得4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则d=-4a-4b+2c-2(a-c+4c2.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=QUOTE,=QUOTE,则等于()A.(-2,7) B.(-6,21)C.(2,-7) D.(6,-21)【解析】选B.因为点Q是AC的中点,所以=QUOTE,所以=2-,因为=QUOTE,=QUOTE,所以=QUOTE,又=2,所以=3=QUOTE.【补偿训练】在▱ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对称中心为O,则等于()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.=-QUOTE=-QUOTE(+)=-QUOTE(1,10)=QUOTE.3.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中,正确的个数是 ()①存在实数x,使a∥b;②存在实数x,使(a+b)∥a;③存在实数x,m,使(ma+b)∥a;④存在实数x,m,使(ma+b)∥b.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.由a∥b得x2=-9,无实数解,①不对;又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,无实数解,②不对;因为ma+b=(mx-3,3m+x),而(ma+b)∥a,所以(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,无实数解,③不对;由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,④正确,综上,正确的个数为1.【补偿训练】已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,假如c∥d,那么 ()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D.因为a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),明显,c与d不平行,解除A、B.若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=a-b=-(-1,1),即c∥d且c与d反向.4.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则QUOTE+QUOTE的最小值是()A.2 B.4 C.6 D.8【解题指南】由A,B,C三点共线可得关于a,b的等量关系,进而可以用基本不等式求最值.【解析】选D.由题意可得=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2).又因为A,B,C三点共线,所以∥,从而(a-1)×2-1×(-b-1)=0,所以2a+b=1.又因为a>0,b>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=4+QUOTE≥4+4=8,当且仅当a=QUOTE,b=QUOTE时取等号,故QUOTE+QUOTE的最小值是8.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),下面结论正确的是 ()A.-= B.+=C.=-2 D.+2=【解析】选BC.对于A,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,所以-≠,故错误;对于B,=(2,1),=QUOTE,=(0,2),所以+=成立,故正确;对于C,=(-4,0),=(0,2),=(2,1),所以=-2成立,故正确;对于D,=(2,1),=QUOTE,=(0,2),所以+2≠,故错误.6.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若a=λ1e1+λ2e2,则可使λ1λ2<0成立的a可能是 ()A.(1,0) B.(0,1)C.(-1,0) D.(0,-1)【解析】选AC.由已知得a=λ1(-1,2)+λ2(2,1)=QUOTE,若λ1λ2<0,则-λ1+2λ2≠0,解除BD.对于A,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE解得QUOTEλ1λ2<0成立;对于C,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE解得QUOTEλ1λ2<0成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知向量a=(1,1),b=(m,-2),且a∥QUOTE,则m的值等于.

【解析】依据题意,向量a=(1,1),b=(m,-2),则a+2b=(1+2m,-3),若a∥QUOTE,则有1+2m=-3,解得:m=-2.答案:-28.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t,(1)t满意时,点P在x轴上;

(2)t满意时,点P在y轴上;

(3)t满意时,点P在其次象限内.

【解析】=(3,3),=(1,2),=+t=(1+3t,2+3t).若点P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-QUOTE.若点P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-QUOTE.若点P在其次象限内,则QUOTE解得-QUOTE<t<-QUOTE.答案:(1)t=-QUOTE(2)t=-QUOTE(3)-QUOTE<t<-QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=QUOTE,=QUOTE,求证:∥.【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1),因为=QUOTE,所以(x1+1,y1)=QUOTE(2,2).所以点E的坐标为QUOTE.同理点F的坐标为QUOTE,=QUOTE.又QUOTE×(-1)-4×QUOTE=0,所以∥.10.设四边形ABCD的四个顶点分别为A(4,8),BQUOTE,C(-2,-1),DQUOTE,求AC与BD交点M的坐标.【解析】设M(x,y),则=(x-4,y-8),=QUOTE,=(x+2,y+1),=QUOTE.因为A,M,C共线,有(x-4)(y+1)=(x+2)(y-8),即3x-2y+4=0;因为B,M,D共线,有(x+1)(y-7)=QUOTE,化简为4x+2y-11=0,由QUOTE得QUOTE所以点M的坐标为QUOTE.1.我国古代人民早在几千年以前就已经发觉并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则= ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEa+QUOTEb【解题指南】建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.利用勾股定理可得x,通过Rt△ABE的边角关系,可得E的坐标,设=m+n,通过坐标运算性质即可得出.【解析】选A.如图所示,建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.所以x2+4x2=1,解得x=QUOTE.设∠BAE=θ,则sinθ=QUOTE,cosθ=QUOTE.所以xE=QUOTEcosθ=QUOTE,yE=QUOTEsinθ=QUOTE.设=m+n,则QUOTE=m(1,0)+n(0,1).所以m=QUOTE,n=QUOTE.所以=QUOTEa+QUOTEb.2.已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BF