2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章8.68.6.2A级——基础过关练1．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α【答案】D【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．不确定【答案】C【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC．同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m.故选C．3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个 B．至多一个C．有一个或多数个 D．不存在【答案】B【解析】若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(6),3)【答案】B【解析】如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O.由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．设D到平面ACD1的距离为d，DD1与平面ACD1所成的角为θ.由VD-ACD1＝VD1-ACD得eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2·d＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(1,2)×1，解得d＝eq\f(\r(3),3).所以sinθ＝eq\f(d,DD1)＝eq\f(\r(3),3).5．(2024年石嘴山月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列推断正确的是()A．A1C⊥平面AB1D1B．A1C⊥平面AB1C1DC．A1B⊥平面AB1D1D．A1B⊥AD1【答案】A【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1所成角，为60°，故C，D不正确．故选A．6．(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD【答案】ABD【解析】PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BC,平面ABCD为矩形⇒AB⊥BC))⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB．故A正确；同理B正确；C不正确．7．若a，b表示直线，α表示平面，给出下列命题：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的命题为________．(填序号)【答案】①④【解析】由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满意b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③错误．8．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．【答案】4【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC⊥AC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．9．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC．∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.10．如图所示，三棱锥A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC．求直线AS与平面SBC所成的角．解：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC．如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC．设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD．又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC．因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.B级——实力提升练11．(2024年汕头期末)在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A．① B．①②C．②③ D．④【答案】A【解析】如图．在①中，∵BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴AB⊥CD，故①正确；在②中，∵CD∥AE，△ABE是等边三角形，∴AB与CD异面，且所成角为60°，故②错误；在③中，CD∥BE，∠ABE＝45°，∴AB与CD异面，且所成角为45°，故③错误；在④中，CD∥BE，tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\r(2)，∴AB与CD异面，且不垂直，故④错误．故选A．12．(2024年延边月考)已知三棱锥P-ABC中，若PA，PB，PC两两相互垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【答案】D【解析】连接AO并延长，交BC于D，连接BO并延长，交AC于E.因为PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．因为PO⊥平面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC．同理可证BE⊥AC．故O是△ABC的垂心．故选D．13．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则eq\f(PE,EC)＝________.【答案】1【解析】在三棱锥P-ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC．因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB．因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF.因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以eq\f(PE,EC)＝1.14．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________．【答案】eq\f(\r(3),3)【解析】连接EF，依据题意，BC⊥AF，BC⊥DF.∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.∴∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角．设BC＝2，则BF＝1，BE＝eq\r(3)，∴sin∠BEF＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).15．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.【答案】13【解析】如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC＝12，∴ED＝eq\r(52＋122)＝13.16．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【答案】4【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B．又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D．设AB＝AC＝AA1＝1.∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝eq\f(1,2)B1C1＝eq\f(\r(2),2).在Rt△A1DA中，AD＝eq\r(A1D2＋A1A2)＝eq\f(\r(6),2).∴sin∠A1DA＝eq\f(A1A,AD)＝eq\f(\r(6),3)，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为eq\f(\r(6),3).C级——探究创新练18．(多选)如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则()A．在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′CB．三棱锥A-DB′C的体积的最大值为eq\f(\r(3),48)C．当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为eq\f(\r(15),4)D．当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为eq\f(1,2)【答案】ABCD【解析】因为AD⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，所以AD⊥平面DB′C，故A正确；当DB′⊥DC时，△DB′C的面积最大，此时三棱锥A-DB′C的体积也最大，最大值为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),48)，故B正确；当∠B′DC＝60°时，△DB′C是等边三角形，设B′C的中点为E，连接AE，DE，则AE⊥B′C，即AE为点A到B′C的距离，AE＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)))2)＝eq\f(\r(15),4)，故C正确；当∠B′DC＝90°时，CD⊥DB′，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB′，则CD就是点C到平面ADB′的距离，则CD＝eq\f(1,2)，故D正确．19．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝eq\r(2)，D是A1B1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.又∵AA1⊥平面A1B1