2024-2025学年高考数学一轮复习专题2.4等式与不等式知识点讲解含解析

专题2.4《等式与不等式》单元测试卷一、单选题1．（2024·大名中学高二月考）设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意集合，集合，所以由补集定义可得，所以.故选:D.2．（2024·浙江省高三其他）设，则“”成立的必要不充分条件是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，解得.所以，“”成立的必要不充分条件是.故选：B.3．（2024·陕西省高二期末（理））已知，且，则的最小值为（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】因为，且，即为，则，当且仅当，即取得等号，则的最小值为.故选：C．4．（2024·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一期末）若函数对都有恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由都有恒成立当时，恒成立当时，则综上所述：故选：A5．（2024·河南省信阳市第六高级中学高二月考（文））设，且，若，则必有（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，利用基本不等式代换，所以6．（2024·南昌市八一中学高一期中）已知正实数a、b满意a+b=ab，则ab的最小值为（）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab的最小值为4，故选：D．7．（2024·银川唐徕回民中学高三三模（理））下列说法正确的个数为()①若，则；②，，则；③若，，则；④若，，则.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①,依据不等式的性质,可得,故①正确；②当,时,满意,且设,,满意,此时,故②不正确；③当,时,满意,且设,,满意,此时,故③不正确；④,,对两边同时除以得；又,,故④正确；综上,正确的为①④,共2个故选：B8．（2024·全国高三课时练习）若不等式对随意，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵不等式对随意，恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴，∴实数的取值范围是，故选B.9．（2024·大名中学高二月考）已知函数，若关于的不等式的解集为，则A． B．C． D．【答案】B【解析】关于的不等式的解集为，可得，且，3为方程的两根，可得，，即，，，，可得，（1），（4），可得（4）（1），故选．10．（2024·晋中市和诚中学有限公司高三月考（理））在R上定义运算:=ad-bc,若不等式≥1对随意实数x恒成立,则实数a的最大值为()A．- B．- C． D．【答案】D【解析】由定义知,不等式≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1,所以x2-x+1≥a2-a对随意实数x恒成立.因为x2-x+1=+≥,所以a2-a≤,解得-≤a≤,则实数a的最大值为.选D.二、多选题11．（2024·江苏省高一期末）使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C．或 D．【答案】AC【解析】不等式等价于，也就是，故不等式的解集为.A、B、C、D四个选项中，只有A、C中的不等式（不等组）对应的集合为的真子集.故选：AC.点睛:（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．12．（2024·山东省高三二模）设表示不小于实数x的最小整数，则满意关于x的不等式的解可以为（）A． B．3 C．-4.5 D．-5【答案】BC【解析】因为不等式，所以，所以，又因为表示不小于实数x的最小整数，所以不等式的解可以为3，-4.5.故选：BC13．（2024·山东省高二期中）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】ABC【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为,则解得，.又，故可以为6，7，8.故选:ABC14．（2024·江苏省高一期末）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】对于一元二次不等式，则当时，函数开口向上，与轴的交点为，，故不等式的解集为；当时，函数开口向下，若，不等式解集为；若，不等式的解集为，若，不等式的解集为，综上，都成立，故选：．三、填空题15．（2024·江苏省连云港市锦屏高级中学高三期中）若关于x的不等式的解集是，则_________.【答案】－14【解析】不等式的解集是，所以对应方程的实数根为和，且，由根与系数的关系得，解得，，故答案为.16．（2024·湖南省长沙一中高三月考（理））设，若是的最小值，是的取值范围为______________．【答案】【解析】解：当时，当且仅当，即时，等号成立，此时有最小值为，因为是的最小值，所以当时，单调递减，故，此时最小值，故，解得，综上所述的取值范围为.故答案为：.17．（2024·天津高三其他）设，，则的最小值为_____________.【答案】【解析】，，，，当且即，时，等号同时成立，的最小值为1.故答案为：1.四、双空题18．（2024·浙江省高三其他）已知正数a，b满意a+b=1，则的最小值等于__________，此时a=____________.【答案】3【解析】依据题意，正数a、b满意，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时.故答案为：3；.19．（2024·浙江省高三月考）已知，，则的最大值为________，的取值范围是________．【答案】【解析】因为，，所以．因为，所以，解得，当且仅当时取等号．又，所以，，解得，所以的取值范围是．故答案为：；．20．（2024·海南省海南中学高三月考）某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，安排提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，且当不超过0.5时，预料年销售量增加的比例为，而当超过0.5时，预料年销售量不变．已知年利润=（出厂价－投入成本）×年销售量．则本年度预料的年利润与投入成本增加的比例的关系式为______；为使本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例的取值范围为______．【答案】【解析】当时，；当时，；年利润与投入成本增加的比例的关系式为.上年利润为，令，解得：；令，解得：（舍）；所求的取值范围为.故答案为：；.21．（2024·浙江省高三其他）已知函数，当时，不等式的解集是________，，若存在两个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】当时，不等式可得：，即解得．即要保证存在两个零点需保证有两个不同实根，有两个不同实根，即函数与的图象有两个交点，令，①当时，，当且仅当时取等号；②当时，，当且仅当时取等号．画出的图象：如图由的图象可知，若函数与的图象有两个交点，则．故答案为：；.五、解答题22．（2024·盐城市伍佑中学高二月考）已知不等式的解集为或.（1）求实数的值（2）解不等式【答案】（1），（2）【解析】（1）不等式的解集为或.由不等式与方程关系可知，和是方程的两个根，将代入可得，将代入方程可得，解得或，所以.（2）将，代入不等式可得，即，解得，所以不等式的解集为.23.（2024·河北安平中学高三月考（文））对于函数（）．（Ⅰ）当时，求函数的零点；（Ⅱ）若对随意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）当时，，所以由可得；（Ⅱ）由函数恒有两个相异的零点，得恒成立，即对于恒成立，这是一个关于的二次不等式，所以，即可解得．试题解析：（Ⅰ）当时，代入得，所以由可得，所以函数的零点为；（Ⅱ）由题意可得，则对于恒成立，所以，从而解得．24．（2024·上海市七宝中学高三月考）某工厂在制造产品时须要用到长度为698mm的A型和长度为518mm的B型两种钢管，工厂利用长度为4000mm的钢管原材料，裁剪成若干A型和B型钢管。假设裁剪时损耗忽视不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%，请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管，一根A型和一根B型钢管为一套毛胚。按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？【答案】（1）方案一：，废料率最小为，方案二：，废料率其次小为；（2）最多可裁剪320套毛胚，最终的废料率为2.72%【解析】（1）设每根原材料可裁剪成根A型钢管和根B型钢管，则，方案一：，废料率最小为；方案二：，废料率其次小为；（2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛胚，则，当，套，废料率为综上：最多可裁剪320套毛胚，最终的废料率为2.72%.25．（2024·上海市进才中学高三月考）已知函数的图像过点，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数的解析式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意，函数的图象过点和.所以，故.（2）不等式可化为.即对一切的恒成立.因为，当且仅当时等号成立，所以.点睛：依据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类探讨法：依据参数的临界值分类探讨参数的取值是否满意要求；（2）参变分别法：将参数从不等式中分别出来，通过函数或者不等式确定最值，由此得到参数范围.26．（2024·江西省都昌蔡岭慈济中学高三月考（文））投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出-投资额72万元）（Ⅰ）该厂从第几年起先盈利？（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.【答案】（I）从第三年起先盈利；（II）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元【解析】(Ⅰ)依题意前年总收入-前年的总支出-投资额72万元,可得由得,解得由于,所以从第3年起先盈利.(Ⅱ)年平均利润当且仅当,即