2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.16.4.2平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价十平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(15分钟30分)1.如图,在重600N的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物体平衡时,两根绳子拉力的大小分别为()A.300QUOTEN,300QUOTEN B.150N,150NC.300QUOTEN,300N D.300N,300N【解析】选C.作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在▱OACB中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,||=||·cos30°=300QUOTEN,||=||·sin30°=300N,||=||=300N.2.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.5 D.10【解析】选C.因为·=0,所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S=QUOTE||||=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=5.3.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 ()A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2| D.QUOTE【解析】选B.由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.留意速度是有方向和大小的,是一个向量.4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且=,则 ()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上【解析】选B.由=,得2=3-,即2(-)=-,即2==-,即=-QUOTE,所以点P在线段AB的反向延长线上.5.正方形OABC的边长为1,点D、E分别为AB、BC的中点,则cos∠DOE=.

【解析】以OA,OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,由题意知:=QUOTE,=QUOTE,故cos∠DOE==QUOTE=QUOTE.即cos∠DOE的值为QUOTE.答案:QUOTE6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.若D为斜边AB的中点,求证:CD=QUOTEAB.【证明】以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,由题意得,A(0,m),B(n,0),则=(n,-m),因为D为AB的中点,所以DQUOTE,=QUOTE.所以||=QUOTE,||=QUOTE,所以||=QUOTE||,即CD=QUOTEAB.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设起先时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为()A.(-2,4) B.(-30,25)C.(10,-5) D.(5,-10)【解析】选C.设运动5秒后点P在点M(x,y)处,则=5v,所以(x,y)=(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).2.已知△ABC满意=·+·+·,则△ABC是()A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形【解析】选C.由题意得,=·+·+·=·(+)+·=+·,所以·=0,所以⊥,所以△ABC是直角三角形.3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.0 D.QUOTE【解析】选B.如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),所以=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC为,的夹角,所以cos∠BDC==QUOTE=QUOTE.4.如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,∠BAC=60°,则||=()A.1 B.2 C.QUOTE D.5【解析】选C.依据题意,O为BC中点,所以=QUOTE(+),||2=QUOTE(+2·+)=QUOTE(12+2×1×3×cos60°+32)=QUOTE,所以||=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满意=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1 B.|a|=1C.a∥b D.(4a+b)⊥【解析】选BD.如图,由题意,=-=(2a+b)-2a=b,则|b|=2,故A错误;|2a|=2|a|=2,所以|a|=1,B正确;因为=2a,=b,故a,b不平行,C错误;设BC的中点为D,则+=2,且⊥,而2=2a+(2a+b)=4a+b,所以(4a+b)⊥.6.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则a与b的关系有可能是()A.b=a B.b=a3+QUOTEC.b=a3-QUOTE D.b=a3【解析】选BD.由题意,知=(0,b),=(a,a3),=(a,a3-b).因为△OAB为直角三角形,所以①若⊥,则·=0,即a3b=0,当b=0时,点O与点A重合;当a=0时,点O与点B重合,故a3b≠0,即OA与OB不垂直.②若⊥,则·=0,即b(a3-b)=0,又b≠0,故b=a3.③若⊥,则·=0,即a2+a3(a3-b)=0,又a≠0,故a3+QUOTE-b=0,即b=a3+QUOTE.故当△OAB为直角三角形时,有b=a3或b=a3+QUOTE.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在倾斜角为37°(sin37°≈0.6),高为2m的斜面上,质量为5kg的物体m沿斜面下滑至底部,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为J,重力所做的功为J(g=9.8m/s2).

【解析】物体m的位移大小为|s|=QUOTE≈QUOTE(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|cos90°=0(J);重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|·sin37°=5×9.8×QUOTE×0.6=98(J).答案:0988.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满意3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为.

【解析】如图,D为BC边的中点,则=QUOTE(+).因为3--=0,所以3=2,所以=QUOTE,所以S△ABM=QUOTES△ABD=QUOTES△ABC.答案:1∶3四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,已知在△ABC中,BE,CF分别为AC,AB边上的高,而且BE与CF相交于点O,连接AO并延长,与BC相交于点D.求证:AD⊥BC.【证明】因为BE⊥AC,所以·=0,即·=0,因此·=·①因为CF⊥AB,所以·=0,即·=0,因此·=·②由①-②可得·-·=0,因此·=0,从而·=0,故BC⊥OA,即AD⊥BC.10.一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地,因大雾无法着陆,故转向C地飞行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A,C两地相距2000km,求飞机从B地到C地的位移.【解析】方法一:由题意得||=1000km,||=2000km,∠BAC=60°,所以||2=|-|2=+||2-2||·||·cos60°=20002+10002-2×1000×2000×QUOTE=3×106,所以||=1000QUOTE所以||2+||2=||2,所以∠ABC=90°.取AC的中点D,由||=2||且∠BAD=60°,知为正南方向,有∠ABD=60°,于是∠DBC=30°.所以飞机从B地到C地的位移的大小为1000QUOTEkm方法二:建立如图所示的平面直角坐标系,并取a=500,则=(2acos150°,2asin150°)=(-QUOTEa,a),=(4acos210°,4asin210°)=(-2QUOTEa,-2a),所以=(-QUOTEa,-3a),||=2QUOTEa,即||=1000QUOTE(km).又cos∠ACB==QUOTE=QUOTE,所以∠ACB=30°.结合图形可知的方向为南偏西30°,所以飞机从B地到C地的位移的大小为1000QUOTE1.如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是(写出全部正确的序号).

①绳子的拉力不断增大;②绳子的拉力不断变小;③船的浮力不断变小;④船的浮力保持不变.【解析】设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向的夹角为θQUOTE.则|F|cosθ=|f|,所以|F|=QUOTE.因为θ增大,cosθ减小,所以|F|增大.因为|F|sinθ增大,所以船的浮力减小.答案:①③2.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边上靠近A点的一个三等分点,试问:在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?【解析】以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由于AB=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3,4),C(6,0).则=(3,-4),由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点.所以=Q