2024高考数学考点专项突破椭圆的性质与应用含解析

椭圆的性质与应用单选题1、（2024年高考北京卷理数）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2=2b2 B．3a2=4b2C．a=2b D．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.2、（北京师范高校附属试验中学2024-2025学年高三第一学期12月月考）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A．x225+C．x216+【答案】D【解析】∵|AB|+|AC|+|BC|=18∴|AC|+|BC|=10>|AB|所以定点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的状况，即2a=10,c=4∴b2=9∴3、（2024年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（）A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．4、（河北省衡水中学2025届高三第一次摸底考试）已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.5、（河北省衡水中学2025届高三第十次模拟考试数学（理)试题）如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在其次象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且，即=可得e==．故答案为：．6、（2024年高考全国Ⅱ理数）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为等腰三角形，，所以，由的斜率为可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以，，故选D．7、（2024年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．8、（2025届河北省衡水中学高三上学期五调考试）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由椭圆定义可知：，，则，所以，因为，即，，即..二、多选题9、（2025届山东省临沂市高三上期末）已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（）A．C的焦距为B．C的离心率为C．圆D在C的内部D．的最小值为【答案】BC【解析】，，则C的焦距为，.设（），则，所以圆D在C的内部，且的最小值为.故选：BC.10、（2010栟茶中学期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是A．当点不在轴上时，△的周长是6 B．当点不在轴上时，△面积的最大值为 C．存在点，使 D．的取值范围是，【答案】．【解析】：由椭圆方程可知，，从而．据椭圆定义，，又，所以△的周长是6，项正确．设点，，因为，则．因为，则△面积的最大值为，项正确．由图可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．此时，，又，则△为正三角形，，所以不存在点，使，项错误．由图可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，，项正确，故选：11、（2024秋•漳州期末）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是A． B．离心率 C．△面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切【答案】【解析】：由椭圆可知，，，，所以左、右焦点为，，依据椭圆的定义，故正确；离心率，故错误；所以△面积的最大值为，故错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确；故选：．12、（2024•淄博一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则A．当时，的面积为 B．不存在使为直角三角形 C．存在使四边形面积最大 D．存在，使的周长最大【答案】【解析】：如图所示：，对于选项：当时，，，的面积为，故选项正确；对于选项：当时，可以得出，当时，，依据椭圆的对称性，存在使为直角三角形，故选项错误；对于选项：依据椭圆的对称性可知，当时，四边形面积最大，故选项正确；对于选项：由椭圆的定义得，的周长，，，当过点时取等号，，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大，此时直线的方程为，但是，所以不存在，使的周长最大，故选项错误；故选：．三、填空题13、（2025届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．【答案】．【解析】设，由直线的斜率为，知，且，即得，由及椭圆定义知，由余弦定理即可得，，即，化简得，故或3（舍）即．故答案为：14、（2024年高考全国Ⅲ卷理数）设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．15、（2024·浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．【答案】【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，所以．将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韦达定理解得，，三式联立，可解得离心率．故答案为：．16、（2025届浙江省杭州市高三3月模拟）设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满意的面积为则的取值范围是____.【答案】【解析】依题意，，所以，则，而，所以.由于，，依据二次函数的性质可知：，所以，所以，解得.故答案为：17、（2024年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．【答案】【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.18、（2025届浙江省中学发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】【解析】由题意可设，，线段中点为，且，可得为的重心，设，，由重心坐标公式可得，，，即有的中点，可得，，由题意可得点在椭圆内，可得，由，可得，即有.故答案为：.19、（2025届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两点，且，延长交双曲线右支于点，若，则该双曲线的离心率为_________【答案】【解析】取双曲线的右焦点,连接，延长交双曲线于，连接，（如图）由，可得四边形为矩形，设，由对称性可得：，，即有，由双曲线的定义可得：，①在直角三角形中，，可得，②由①②可得，即，代入①可得：，化简可得：，即有故答案为：20、（2024年高考浙江卷）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满意=2，则当m=___________时，点B横坐标的肯定值最大．【答案】【解析】设，，由得，，所以，因为，在椭圆上，所以，，所以，所以，与对应相减得，，当且仅当时取最大值．解答题21、（2024·浙江温州中学3月高考模拟）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点.（I）求与的关系式；（II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.【解析】（I）由，得，则化简整理，得；（Ⅱ）因点与点关于坐标原点对称，故的面积是的面积的两倍.所以当时，的面积取到最大值，此时，从而原点到直线的距离，又，故.再由（I），得，则.又，故，即，从而，即.22、（2024年高考全国Ⅰ卷理数）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【解析】（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.则，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.所以E的方程为+y2=1．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–3<n<3.由于直线PA的方程为y=（x+3），所以y1=（x1+3）.直线PB的方程为y=（x–3），所以y2=（x2–3）.可得3y1（x2–3）=y2（x1+3）.由于，故，可得，即①将代入得所以，．代入①式得解得n=–3（含去），n=.故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）．若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（，0）.综上，直线CD过定点（，0）.23、（2025届浙江省嘉兴市5月模拟）设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，．（1）求抛物线的方程；（2）过点作圆：的切线，，分别交抛物线于点．当时，求面积的最小值．【解析】（1）当时，，所以，故所求抛物线方程为.（2）点为抛物线上的动点，则，设过点的切线为，则，得，是方程（*）式的两个根，所以，，设，因直线，与抛物线交于点A，则得，所以，即，同理，设直线，则，，又，，所以令，，当且仅当，即时，取得最小值.24、（2024年高考全国Ⅱ卷理数）已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且．（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．【解析】（1）由已知可设的方程为，其中.不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.（2）由（1）知，，故，设，则，，故.①由于的准线为，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.所以的标准方程为，的标准方程为.25、（2024年高考全国Ⅲ卷理数）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．【解析】（1）由题设可得，得，所以的方程为.（2）设，依据对称性可设，由题意知，由已知可得，直线BP的方程为，所以，，因为，所以，将代入的方程，解得或.由直线BP的方程得或8.所以点的坐标分别为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.综上，的面积为.26、（2025届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆的离心率e满意，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．(1)求椭圆E的方程；(2)证明：为定值．【解析】（1）由解得或（