2025版新教材高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图象与性质学案新人教A版

4.3三角函数的图象与性质必备学问预案自诊学问梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),π2,1,(π,0),3π2,-1,(2π,0).(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象续表函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR

值域

R周期性2π

奇偶性

奇函数单调递增区间22kπ+π2

kkπ+π2(续表函数y=sinxy=cosxy=tanx单调递减区间2k2kπ+3π2

对称中心(kπ,0)(k∈Z)k(k∈Z)kπ2,0(对称轴x=kπ(k∈Z)(x=kπ)3.三角函数的周期函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(x∈R,其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期均为T=2πω;函数y=Atan(ωx+φ)x∈R,且ωx+φ≠π2+kπ,k∈Z,其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0的周期为T=π1.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期2.协助角公式:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中tan考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)y=cosx在第一、其次象限内是单调递减的.()(2)若y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值是k+1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.()(4)函数y=sinx图象的对称轴方程为x=2kπ+π2(k∈Z).((5)函数y=tanx在整个定义域上是增函数.()2.(2024北京房山二模,3)函数f(x)=sinπxcosπx的最小正周期为()A.1 B.2 C.π D.2π3.(2024山东淄博一模,5)函数f(x)=sin(x+θ)在[0,π]上单调递增,则θ的值可以是()A.0 B.π2 C.π D.4.函数f(x)=sin2x-π4在区间0,π2上的最小值为()A.-1 B.-22 C.22 D5.函数y=tanx2+π3的单调递增区间是,最小正周期是关键实力学案突破考点三角函数的定义域【例1】(1)函数y=1tanx-1(2)函数y=lg(sinx)+cosx-12解题心得三角函数与基本初等函数的组合或复合,其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.对点训练1函数y=lg(sin2x)+9-x2的定义域为考点三角函数的值域、最大(小)值【例2】(1)函数f(x)=3sin2x-π6在区间0,π2上的值域为()A.-32,32 B.-32C.-332,332 D.-(2)函数f(x)=sin2x+3cosx-34x∈0,π2的最大值是.

解题心得求三角函数值域、最大(小)值的方法:(1)利用sinx和cosx的值域干脆求.(2)形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最大(小)值).(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.对点训练2(1)(2024河北衡水调研)已知函数f(x)=sinx+π6,其中x∈-π3,a,若f(x)的值域是-12,1,则实数a的取值范围是.

(2)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为.

考点三角函数的性质(多考向探究)考向1三角函数的单调性及其应用【例3】(1)已知函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是()A.kπ-π12,kπ+5π12,k∈B.kπ+5π12,kπ+11π12,kC.kπ-π3,kπ+π6,k∈ZD.kπ+π6,kπ+2π3,k∈(2)(2024湖南湘潭三模,文10)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在x∈[a,2](a<0)上的最大值为1,且单调递增,则2-a的最大值为()A.6 B.7 C.9 D.8解题心得1.求较为困难的三角函数的单调区间时,首先把三角函数式化简成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,然后求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,留意要把ω化为正数.2.已知函数在某区间上单调求参数ω的范围的解法:先确定出已知函数的单调区间,再利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解.对点训练3(1)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间0,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω等于()A.23 B.32 C.2 D(2)函数f(x)=sin-2x+π3的单调递减区间为.

考向2三角函数的周期及其应用【例4】(1)(2024全国1,理7,文7)设函数f(x)=cosωx+π6在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为()A.10π9 B.7π6 C.(2)若函数f(x)=2tankx+π3的最小正周期T满意1<T<2,则自然数k的值为解题心得若求最小正周期,可把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,则最小正周期为T=2π|ω|;奇偶性的推断关键是解析式是否为y=Asinωx或y=Acos对点训练4(2024河南试验中学4月模拟,4)在函数:①y=cos|2x|;②y=|cosx|;③y=cos2x+π6;④y=tan2x-π4中,最小正周期为π的全部函数为A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③考向3三角函数的对称性及其应用【例5】(1)已知函数f(x)=asinx+cosx(a为常数,x∈R)的图象关于直线x=π6对称,则函数g(x)=sinx+acosx的图象(A.关于点π3,0对称B.关于点2π3,0对称C.关于直线x=π3D.关于直线x=π6(2)若函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)图象的一个对称中心为Mπ9,0,距离点M最近的一条对称轴为直线x=5π18,则ω=.解题心得三角函数图象的对称性包括轴对称和中心对称,求三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象的对称轴及对称中心,要把(ωx+φ)看作一个整体,若求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=π2+kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的对称中心,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;对于f(x)=Acos(ωx+φ),若求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的对称中心,只需令ωx+φ=π2+kπ(k∈Z),求对点训练5(1)(2024湖北武汉调研)设函数f(x)=sin12x+θ-3cos12x+θ|θ|<π2的图象关于y轴对称,则θ=()A.-π6 B.π6 C.-π3(2)(2024河北衡水中学三模,理15)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象关于点3π8,0对称,且fπ4<0,则fπ8=.

考向4三角函数性质的综合应用【例6】(1)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,且f(-x)=fA.f(x)在0,B.f(x)在π4C.f(x)在0,D.f(x)在π4(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M3π4,0对称,且在区间0,π2上是单调函数,则ω=,φ=.

解题心得1.已知三角函数的周期性、奇偶性推断其单调性的基本思路:依据给出的三角函数的周期性、奇偶性求出三角函数式中的参数,然后把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式再推断其单调性.2.有关三角函数性质的综合性问题,要留意结合函数图象,通过数形结合求解.对点训练6(1)(2024河北武邑中学三模,10)已知x0=π6是函数f(x)=cosπ2-3xcosφ+cos3xsinφ的一个微小值点,则f(xA.π6,πC.π2,5(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为4π,且∀x∈R,有f(x)≤fπ3成立,则f(x)图象的一个对称中心坐标是()A.-2π3,C.2π3,4.3三角函数的图象与性质必备学问·预案自诊学问梳理2.xx∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z[-1,1][-1,1]2ππ奇函数偶函数[2kπ-π,2kπ](k∈Z)[2kπ,2kπ+π](k∈Z)考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.Af(x)=sinπxcosπx=12sin2πx,故周期T=2π2π=13.D当θ=0时,f(x)=sinx在[0,π]上不单调,故A不正确;当θ=π2时,f(x)=cosx在[0,π]上单调递减,故B不正确;当θ=π时,f(x)=-sinx在[0,π]上不单调,故C不正确;当θ=3π2时,f(x)=-cosx在[0,π]上单调递增,故D正确.4.B由已知x∈0,π2,得2x-π4∈-π4,3π4,所以sin2x-π4∈-22,1,故函数f(x)=sin2x-π4在区间0,π2上的最小值为-22.5.2kπ-5π3,2kπ+π3(k∈Z)2π由kπ-π2<x2+π3<kπ+π2,k∈Z,得2kπ-5π3<x<2kπ+π3关键实力·学案突破例1(1)xx≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z(2)x2kπ<x≤π3+2kπ,k∈Z(1)要使函数有意义,则tanx-1即x故函数的定义域为xx≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z.(2)函数有意义,则sin即sin解得2所以2kπ<x≤π3+2kπ(k∈Z所以函数的定义域为x2kπ<x≤π3+2kπ,k∈Z.对点训练1-3,-π2∪0,π2由题意可知sin2x>得k解得-3≤x<-π2或0<x<π故函数y=lg(sin2x)+9-x2的定义域为-3,-π2∪0,π2例2(1)B(2)1(1)当x∈0,π2时,2x-π6∈-π6,5π6,sin2x-π6∈-12,1故3sin2x-π6∈-32,3,即此时函数f(x)的值域是-32,3.(2)由题意可得f(x)=-cos2x+3cosx+14=-cosx-322+1.∵x∈0,π2,∴cosx∈[0,1].∴当cosx=32,即x=π6时,f(x)取最大值为对点训练2(1)π3,π(2)-12-2,1(1)由x∈-π3,a,知x+π6∈-π6,a+π6,∵当x+π6∈-π6,π2时,f(x)的值域为-12∴由函数的图象知π2≤a+π∴π3≤a≤π故实数a的取值范围为π3,π.(2)设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,sinxcosx=1-t22,且-2≤∴y=-t22+t+12=-12(t-1)当t=1时,ymax=1;当t=-2时,ymin=-12∴函数的值域为-12-2,1例3(1)C(2)D(1)f(x)=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6.由函数y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离为π,知函数y=f(x)的最小正周期T=π,所以T=2πω=π,解得ω=2,即f(x)=2sin2x+π6令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6((2)由题意可知,[a,2]⊆-π2ω,π2ω,f(2)=2sin2ω=1,2ω=π6则amin=-6,故2-a的最大值为8.对点训练3(1)B(2)kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)(1)∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点,∴当0≤ωx≤π即0≤x≤π2ω时,y=sinωx当π2≤ωx≤3π2,即π2ω≤x≤3π2ω由f(x)=sinωx(ω>0)在区间0,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减知,π2ω=π(2)求函数f(x)=sin-2x+π3的单调递减区间,只需求f(x)=sin2x-π3的单调递增区间.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π故所给函数的单调递减区间为kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)例4(1)C(2)2或3(1)由题图知f-4π9=cos所以-4π9ω+π6=π2+k化简得ω=-3+9k4(k∈Z因为T<2π<2T,即2π|ω|<2所以1<|ω|<2,解得-119<k<-79或19<k<59当且仅当k=-1时,1<|ω|<2.所以ω=32,最小正周期T=2(2)由题意知1<πk<2,即k<π<2k解得π2<k<π又k∈N,所以k=2或k=3.对点训练4Ay=cos|2x|=cos2x,该函数为偶函数,最小正周期T=2π2=π;将函数y=cosx在x轴下方的图象向上翻折即可得到y=|cosx|的图象,该函数的最小正周期为12×2π=π;函数y=cos2x+π6的最小正周期为T=2π2=π;函数y=tan2x-π4的最小正周期为例5(1)C(2)3(1)因为函数f(x)=asinx+cosx(a为常数,x∈R)的图象关于直线x=π6对称,所以f(0)=fπ3,所以1=32a+12,a=33,所以g(x)=sinx+33cosx=233sinx+π6,函数g(x)的对称轴方程为x+π6=kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+π3(k∈Z).当k=0时,对称轴为直线x=π3,所以g(x)=(2)函数f(x)=sinωx-3cosωx=2sinωx-π3,因为图象的一个对称中心为Mπ9,0,距离点M最近的一条对称轴为x=5π18所以5π18-π9故ω=2πT=对点训练5(1)A(2)-2(1)f(x)=sin12x+θ-3cos12x+θ=2sin12x+θ-π3,由题意可得f(0)=2sinθ-π3=±2,即sinθ-π3=±1,∴θ-π3=π2+kπ(∴θ=5π6+kπ(k∈Z∵|θ|<π2,∴当k=-1时,θ=-π(2)函数f(x)的图象关于点3π8,0对称,且函数f(x)周期为π,而x=π8距离x=3π8的长度为π4=T4,所以直线x=π又π8<π4<3π8,且fπ4<0,所以例6(1)A(2)23或2π2(1)题意知f(=2sinω