高一期末模拟卷数学

高一期末模拟卷数学

一.选择题（共8小题）

I.我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”,

它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若E为A尸的中点，

EG=XAB+|1AD，贝I」入+尸（）

4

2.平行四边形A8CO中，£为AO边上的中点，连接BE交AC于点G,若质=入屈+四而，贝ij入+卜=（）

3.一圆台的两底面半径分别为2,4,高为4则该圆台外接球的表面积为（）

A.48nB.64nC.65TTD.68Tt

4.如图所示为一个平面图形采用斜二侧画法得到的直观图，其图形是一个边长为I的菱形，则它的平面图形的面

积为（）

C.返

5.攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六角、

八角等结构，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的

屋顶轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2a,则

该正六棱锥底面内切圆半径与侧棱长之比为（）

A.V3sinCLB.VScosClC.2sinaD.2cosa

6.已知点M是△然€*的边8C的中点，点E在边AC上，且箴=2瓦，则向量而=（）

A.AAC+IABB.1AC+1ABC.I-TC-AABD.IAC+^AB

23622663

7.在正匹棱锥P-ABC。中，已知刑=A8=2,O为底面ABC。的中心，以点0为球心作一个半径为2返的球,

3

则该球的球面与侧面PCD的交线长度为（）

A.返兀B.逅兀C.逅兀D.逅兀

6432

8.正三楂锥P-ABC的底面边长为入门，侧棱长为班，若球“与正三楂锥所芍的棱都相切，则这个球的表面积

为（）

A.-117TB.（44-16a）兀C.9天D.327r

42

二.多选题（共4小题）

9.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格.若同一组中数据用该组

区间中点作为代表，则下列说法中正确的是（）

A.成绩在［70,80）分的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

10.已知两条不重合的直线。和力两个不重合的平面a和0,则下列说法

不正确的为（）

A.若《〃。，b//a>则a〃力

B.若qua,则a,8为异面直线

C.若。〃b,aua,则。〃a或。ua

D.若aua,bua,a//p,b〃0,则a〃0

11.在△ABC中，ZA=90°,A5=3,AC=4,点O为线段AB上靠近A端的三等分点，E为CO的中点，则下列

结论正确的是（）

A.毒=得■而哈正

B.标与标的夹角的余弦值为至

17

C.标近=-学

2

D.△4EO的面积为2

12.已知正四棱锥的侧面积为幺回，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是（）

A.棱锥的高与底面边长的比为返

2

B.侧棱与底面所成的角为60°

C.棱锥的每一个侧面都是等边三角形

D.棱锥的内切球的表面积为（8-4畲）兀

三.填空题（共4小题）

13.某次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.则参加测试的总人数

为,分数在［80,90）之间的人数为

14.中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面

体为“鳖膝”，如图所示的鳖脯A8CZ）中，A8_L面8cO,CDLBC,若CD=1,

4。=的，且顶点4，B，C,。均在球。上，则球O的表面积为.

15.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽屹，古称“角黍二如图，是由六个边长为3的正

三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面

体的体积为;若该六面体内有一球，则该球体积的最大值

16.在平面五边形ABCDE中，连接对角线AD,已知四边形A8C。是边长为2的正方形，△4DE是正三角形，将

△沿直线AD折叠，使得二面角B-AD-C为直二面角，则四棱锥E-ABCD的外接球的表面积

为.

20.用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.

21.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段：［40,50),［50,

60),［60,70),…，［90,100］后得到如下频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，分别求小众数，中位数；

(2)估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均数；

(3)月分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在［70,90)分数段抽取的人数是多

少？

40SO60708090100成辅

22.如图，在四棱锥P-ABCO中，AD//BC,平面APD_L平面ABC。，PA=PD,七在40上，且4B=BC=CO=

DE=EA=2.

(1)求证：平面PEC_L平面PBD；

(2)设直线PB与平面PEC所成的角为？L,求平面AP8与平面PEC所成的锐二面角的余弦值.

6

高一期末模拟卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”,

它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若E为A尸的中点，

EG=XAB+|1AE，贝入+尸()

A.AB.旦C.2D.A

2535

【解答】解：以E为坐标原点，E尸所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图直角坐标系,

设|ER=1.由E为A尸的中点，

可得E(0,0),G(1,1),A(-1,0),B(1,-1),D(0,2),

所以成=(1,1),AB=(2,-1),AD=(L2)，

因为函:入至十|1而，所以(1,1)=入(2,-1)+n(1,2),

'2入+四=1,

解得，则X+|l=4-

-X+2=1,■5

故选：D.

2.平行四边形ABC。中，E为A。边上的中点，连接8E交AC于点G,若前:入蒜十四同，则入+黑=()

A.1B.苴C.—D.A

633

【解答】解：•・•四边形48CO为平行四边形，・・・AQ=8C,

•・,£为A。边上的中点，：,AE=^AD,

2

*：AD/；BC,：.AAEG^ACBG,

**•AG=-^-AC=~（AB+AE）=-i-AB+-^-AD»

3333

VAG=XAB+tlAE»

1o

•二人=U=^,A+p=^.

33

故选：C.

3.一圆台的两底面半径分别为2,4,高为4则该圆台外接球的表面积为（）

A.48nB.64nC.65TTD.68n

【解答】解：作出轴截面如图，

设圆台外接球的球心为0,半径为「，

则drZ-2Z+Vr2.42=4（或《产-：2=4+>/r2-42），

解得

4

，该圆台外接球的表面积为4TT/=65TT.

4.如图所示为一个平面图形采用斜二侧画法得到的宜观图，其图形是一个边长为I的菱形，则它的平面图形的面

A.2B.IC•华D.2A/2

【解答】解：由条件可知，菱形高为lXsin45。=返，

2

，直观图的面积为1义返=返，

22

••・其平面图形的面积返X2加=2.

2

故选：A.

5.攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六角、八角等结构，多见于亭阁式

建筑.如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的屋顶轮廓可近似看作一个正六楂锥，设正六棱锥的侧面

等腰三角形的顶角为2a,则该正六棱锥底面内切圆半径与侧棱长之比为()

A.VasinaB.C.2sinaD.2cosa

【解答】解：如图，正六边形是正六棱锥的底面，

等腰三角形是正六棱锥的侧面，

设侧棱SA=S8=/h底面边长底面内切圆半径OC=r,

ZASB=2a,

则△QA8是等边三角形，r=asin600巫a，

2

在侧面ASAB中，〃=2加ina,

,r=V3bsina,即^"Resina-

故选：A.

6.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且箴=2瓦，则向量而=()

M

A.-i-AC+^ABB.IAC+4ABC.4-AC-4-SD.IAC+^AB

23622663

【解答】解：由题意结合向量的加法法则可得：

EM=EC+CM

=1AC4CB

32

=2菽+2（CA4-AB）

32

=2位△菽+工标

322

="AC+—AB.

62

故选：B.

7.在正匹棱锥P-48co中，已知用=A8=2,0为底面ABC。的中心，以点0为球心作一个半径为2返的球,

3

则该球的球面与侧面PCD的交线长度为（）

A.返兀B.逅兀C.逅兀D.逅兀

6432

【解答】解：取CD的中点£则有0E_LC。，PEVCD,

因为朋=48=2,所以0E=l,PE=V3»

则OP=VPE2-0E2=V2,

△PCD为正三角形，球心0在平面PC。二的投影M即为△PCO的中心，

则0H=°P・°E乖,球的半径。尸=变3,

PE33

在RtAOM/中，则截面圆的半径M尸=近2_01=返,

3

在正二角形产中，以点M为圆心，作半径为返的圆，圆与二角形截得的二个部分，圆心角都为9。°,

3

故球的球面与侧面PCD的交线长度为截面圆周长的工，

4

所以该球的球面与侧面尸CZ）的交线长度为工X2兀XMF=—

46

故选：A.

p

8.正三棱锥尸-ABC的底面边长为2«,侧棱长为班，若球”与正三棱锥所芍的棱都相切，则这个球的表面积

为（）

A.-11JrB.（44-16V6）71C.9兀D.327T

42

【解答】解：设底面ABC的外接圆的圆心为0,连接P。，AO,延长A0交于M

球”与棱心和8C切于点M,N,设球”的半径为「，

则40=返义2谊=2,0"=返义2第-2=1,

32

而P0_L底面A8C,P0LA0,

可得月。="8-4=2,

在直角三角形OMN中，0"42_],1VY2b,

在直角三角形PMH中，PM=MH=r,

所以P。=/77+。“，即有2=近地,2_r

解得r=2yj~2-M，

2

则这个球的表面积为4TT，=47Tx（2V2-V3）=（44-16加）n,

二.多选题（共4小题）

9.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格.若同一组中数据用该组

区间中点作为代表，则卜.列说法中正确的是（)

A.成绩在［70,80）分的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

【解答】解：4选项，由频率分布直方图可得，成绩在［70,80）的频率最高，因此考生人数最多，所以选项A

正确，

6选项，由频率分布直方图可得，成绩在［40,60）的频率为0.25,囚此，不及格的人数为4000X0.25—1000,

所以选项3正确，

C选项，由频率分布直方图可得，平均分等于45X0.1+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.15+95X0.1=70.5（分）,

所以选项C正确，

D选项,因为成绩在［40,70）的频率为0.45,在［70,80）的频率为0.3,

所以中位数为70+10X"»-71.67（分），所以选项。错误，

0.3

故选：ABC.

10.已知两条不重合的直线a和力两个不重合的平面a和0,则下列说法不正确的为（）

A.若a〃a,b//af贝！ja〃匕

B.若qua,"up,则a,〃为异面直线

C.若a〃b,aua,则b〃a或bua

D.若aua,bua,a〃0,〃〃乐则a〃0

【解答】解：对于4,若。〃a,/?〃a,则a〃b或。与力相交或。与〃异面，放4错误；

对于8,若aua,方u0,则小人的位置关系是平行、相交或异面，故B错误；

对于C,若a〃A,aua,贝或bua,故C正确；

对于。，若aua,bua,a〃0,b〃0,则Q〃0或a与0相交，添加条件。与b相交时，可得a〃仇故。错误.

故选：ABD.

11.在△45C中，NA=90°,A8=3,AC=4,点O为线段A3上靠近A端的三等分点，E为CO的中点，则下列

结论正确的是（)

标=看正总正

A.

标与标的夹角的余弦值为至

B.

17

C.AE-CD=

2

D.△4EO的面积为2

【解答】解：在△A8C中，ZA=900,A8=3,AC=4,

故以点4为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

则4(0,0),B(3,0),C(0,4),D(1,0),E(工，2)，

2

所以标吗，2),AB=(3,0),AC=(O,4)，EB=(p-2)，CD=(1,-4)，

对于A,因为看■建亭64(3,0)总(0,4)吗，2)，

所以AE=-1-AB+yAC»故诜项A正确：

对于B，AE-EB=(y,2)呜，-2)号

乙乙七

后邛，IEB|=M

9

所以AE与EB的夹角的余弦值为旧《五二反1依故选项8错误；

-2-><_2-

对于C,AE•CD=(y,2)•(1,-4)=^^，故选项C正确；

对于£),△AEO的面积为上XADXE=-^X1X2=1>故选项。错误.

2，2

12.已知正四棱锥的侧面积为砥，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是()

A.棱锥的高与底面边长的比为返

2

B.侧棱与底面所成的角为60°

C.棱锥的每一个侧面都是等边三角形

D.棱锥的内切球的表面积为(8-4畲)兀

【解答】解：设底面边长为2a,侧棱长为b,则S侧面=4x/x2aX庐?2^2=而即

aVb^a2^

22222

而V=yX(2a)2XVb-a-a又a7b-a=V3,

(a)=3a2-a6(0<a<Vs)f则/")=6。-6/=6。(1-6/4)=6。U+J)(l+«)-a),

易知函数/(〃)在(0,1)单调递增，在(1,如)单调递减，

・••当a=l时，f(a)取得最大值，此时棱桂的体积最大，且匕=2,

・•・底面边长为2,侧棱长为2,PE=V3,0P=V2,

，棱锥的高与底面边长的比为返，选项4正确；

2

侧棱与底面所成的角为NP8O,而sin/FB0=°P秀,则/尸8。=45°,选项8错误;

由于底面边长与侧棱长均为2,故侧面为笔边三角形，选项。正确;

设内切球的半径为八由于小&⑪电2,S^=4+4X(yX2X2X^)=4+4V3,

_3VW2_V2限近

；・S内=4兀•(旄y=(8-幺笈)加选项。正确•

故选：ACD.

c

■•填空题（共4小题）

13.某次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.则参加测试的总人数为

25,分数在［80,90）之间的人数为4

【解答】解：成绩在［50,60）之间的频数为2,结合频率分布直方图，得到分数在［90,100）之间的频数也是2,

所以2=10X0.008,解得〃=25,故参加测试的总人数为25人；

n

成绩在［80,90）之间的人数为25-（2+7-10+2）=4人.

故答案为：25；4.

14.中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖膈”，如图所示的鳖

儒ABC。中，CDYBC,若CO=1,AC=正,且顶点A,B,C,O均在球。上，则球O的表面

积为6ir.

【解答】解：由题意可■知，球0为鳖脯ABCO的外接球,

因为AB_L平面BCQ,BD,CQu平面6CQ,

所以4B_LgABLCD,

又CDLBC,ABCBC=B,AB,BCu平面ABC,

所以CD_L平面ABC,又4Cu平面ABC,

所以CD_LAC

取AO的中点E,连结5E,DE,

因为AB_LBC,所以BE=AE=OE,

同理可得，CE=AE=DE,

故点E与球。的球心O重合，

则球O的半径中

乙乙乙

所以球。的表面积为S主=4兀R2=6m

表

故答案为：6n.

15.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽吃，古称“角黍”.如图，是由六个边长为3的正

三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面

体的体积为2返；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为

【解答】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的校长为3,

如图，在棱长为3的正四面体S-ABC中，

取8C的中点O,连接SO,A。，作SOJ_平面ABC,垂足。在4。上，

则AD=SD="^^，0D-AD=^y-»SO=7sD2-OD2=V6,

・・・该六面体的体积为V=2噎BC=2X日4X3乂华~x加驾I

当该六面体内有一球，且该球的体积取得最大值时，球心为。，且该球与SZ）相切，过球心0作OE_L5。，则

0E就是球的半径,

■:SOXOD=SDXOE,

/TyV3_

.SOXOD-V6

•，°E二SD二丽一营

2

・・・该球体积的最大值为vW^X（堂）3=^^兀.

故答案为：迤；色色兀.

227

16.在平面五边形A8COE中，连接对角线AD,已知四边形A3CO是边长为2的正方形，△ADE是正三角形，将

△ADE沿直线4。折叠，使得二面角5-A0-C为直二面角，则四棱锥E-43CD的外接球的表面积为丝L.

一3一

【解答】解：如图,

正方形ABC。的边长为2,平面E4£>_L平面ABC。，

△班。为正三角形，设正方形ABC。的中心为G,三角形£4。的外心为“，

分别过G、H作平面4BCD与平面£4。的垂线，相交于O,则。为四棱锥E-4BCO的外接球的球心.

0G=^22-12-GC=Uc=^

则四棱锥E-A8CD的外接球的表面积为471R2=4兀X0C2二笙^

3

故答案为：282L

3

四.解答题（共6小题）

17.已知广(-2,1),b=(l,m),C=(2,n),

（1）若aj_b，且（a+b）//c，求实数m,〃的值；

（2）若〃=1,且（3-；）与石的夹角为6（T,求实数〃?的值.

【解答】解：(1)若则-2X1+1X〃?=O,解得m=2.

因为Z+E=(T,3>且(a+b)//c»

所以-1X〃=2X3,解得〃=-6,

所以m=2,n=-6.

,

⑵若〃=1,M7-a=(4,0)»*(c-a)b=4Xl+0Xm=4Ic-a1=4.

因为（3-Z）与E的夹角为60°,

(c-a)b41

所以cos60°

Ic-a|X|b|Hl+m?2

解得m=土时，

所以，，"的值为加或-灰.

18.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为小b,c,且c2・/・H=0.

（1）求证：C=2A；

（2）若a=2,求c的取值范围.

【解答】解：（1）证明：因为c?-/-必=0,

结合余弦定理，得・2aZ?cosC,

所以ab=B-2abcosC,即a=b-27cosC,

由正弦定理，得sinA=sin8-2sinAcosC=sin（A+C）-2sinAcosC

—sinCcosA-sinAcosC=sin(C-4),

因为AABC为锐角三角形，

所以A=C-A,BPC=2A；

(2)日⑴C=2A,

由正弦定理，得一^——,所以c=2acosA=4cosA,

sinAsinC

0<A<^

2

0<兀-3A<手，解得工三

由题意，得1<A<

64

0<2A<-^-

2

所以c=4cosAW(2V2»2^/3).

19.如图所示，在四棱锥P-A8CO中，a=PB=PD=AB=2,四边形A8CD为菱形，且/84。=60°.

（1）求证：8O_L平面MC；

（2）求三棱锥P-BCD的体积.

【解答】（1）证明：•・•四边形48CO为菱形，・・・4CJ_8。,

设AC与BD交于点F,连接PR如图所示，

•:PD=PB,：.PFLBD,

又TP尸AAC=尸，PF、ACu平面必C,

・・・8O_L平面PAC,

(2)解：由必=PB=PO=45=AO=2,ZBAD=60°,

得三棱锥P-A8£＞为正四面体，过P作底面垂线，垂足为。，

则0在A尸上，得A0=2_12=2^3f...尸0=4p人2.A02=J2?_隹2）,

xpoTx^X2X2X坐

32233

20.用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.

E

(a)(h)

【解答】解：(1)用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如图1所示:

分成六段：[40,50),[50,

60),［60,70),…，［90,100］后得到如下频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，分别