高层建筑基础分析与设计-教学课件-袁聚云-4本科-2011秋-第四章-高层建筑地基模型梁改

2024/11/612024/11/61袁聚云教授梁发云副教授赵程讲师同济大学地下建筑与工程系2011年高层建筑基础2024/11/62

第四章地基模型第一节概述

地基模型:

描述地基土应力和应变关系的数学表达式。合理地选择地基模型是基础工程分析与设计中的一个重要问题，要根据建筑物荷载的大小、地基性质以及地基承载力的大小合理选择地基模型。所选用的地基模型应尽可能准确地反映土体在受到外力作用时的主要力学性状，同时还要便于利用已有的数学方法和计算手段进行分析。2024/11/63地基模型类型主要有：线性弹性地基模型非线性弹性地基模型本章将介绍这三种地基模型弹塑性地基模型粘弹性地基模型粘塑性地基模型准弹性地基模型内时地基模型等。2024/11/64第二节线性弹性地基模型线性弹性地基模型：地基土在荷载作用下，应力-应变关系为直线关系，可用广义虎克定律表示。用矩阵表示：为弹性矩阵。

2024/11/652024/11/66线弹性地基模型适用条件：

实际的基础刚度大多是介于柔性基础和绝对刚性基础二种极端情况之间。当建筑物荷载较小，而地基承载力较大时，地基土应力应变关系可采用线弹性地基模型分析。常用的三种线性弹性地基模型：文克勒（Winkler）地基模型弹性半空间地基模型分层地基模型

文克勒地基模型和弹性半空间地基模型正好代表线性弹性地基模型的两个极端情况。2024/11/671.文克勒地基模型

模型描述：假定地基是由许多独立的且互不影响的弹簧组成，即假定地基任一点所受的压力强度p只与该点的地基变形s成正比，而p不影响该点以外的变形。表达式为：k─地基基床系数,表示产生单位变形所需的压力强度，kN/m3；p─地基上任一点所受的压力强度，kPa；s─p作用点位置上的地基变形，m。2024/11/68适用条件：地基土越软弱，土的抗剪强度越低，文克勒地基模型就越接近实际情况。优点：计算简便，k选择得当，可获得较满意结果。存在问题：忽略了地基中的剪应力。按文克勒地基模型，地基变形只能发生在基底范围内，而基底范围外没有地基变形，与实际情况不符，使用不当会造成不良的后果。基床系数：地基土基床系数值可参考经验表格。也可采用现场载荷板试验等成果获得(表4-1)。2024/11/692024/11/6102.弹性半空间地基模型

模型描述：将地基视作均匀、各向同性的弹性半空间体。(1)集中荷载Q

当Q作用在弹性半空间体表面上时，根据布西奈斯克(Boussinesq)公式求得位于距离荷载作用点O为r的点i竖向位移为：2024/11/611(2)均布荷载作用下矩形面积的中点竖向位移对上式进行积分求得：P─矩形面积a×b上均布荷载p的合力，kN；Fii为积分后得到的系数。2024/11/612优点：弹性半空间地基模型具有能扩散应力和变形的优点，比文克勒地基模型合理些。存在问题：弹性半空间地基模型的扩散能力往往超过地基的实际情况，造成计算的沉降量和地表沉降范围都较实测结果为大，也未能反应地基土的分层特性。地基的压缩层厚度实际上是有限的，而且即使是同一种土层组成的地基，其变形模量也随深度而增加，因而是非均匀的。弹性半空间地基模型优点及存在问题2024/11/6133.分层地基模型分层地基模型即是我国地基基础规范中用以计算基础最终沉降的分层总和法。按分层总和法，地基最终沉降s等于压缩层范围内各计算分层在完全侧限条件下的压缩量之和，算式如下：

Hi─基底下第i分层土的厚度；

Esi─基底下第i分层土的对应于p1i～p2i段的压缩模量；─基底下第i分层土的平均附加应力；

n─压缩层范围内的分层数。2024/11/6142024/11/615

分层地基模型能较好地反映地基土扩散应力和变形能力，能较容易地考虑土层非均质性沿深度变化和土层分层。分层地基模型的计算结果比较符合实际情况。分层地基模型仍系弹性模型，未能考虑土的非线性和过大的地基反力引起地基土的塑性变形。分层地基模型优点及存在问题：2024/11/616地基土的加载应力-应变关系实测曲线呈非线性，这与地基土应力-应变关系线性假设关系不一致。1963年，康德尔(Konder)根据试验结果提出土的应力-应变关系为曲线型。1970年，邓肯(Duncan)和张(Chang)根据这个关系并利用摩尔-库仑强度理论导出了非线性弹性地基模型的切线模量公式，即邓肯─张模型。

第三节非线性弹性地基模型2024/11/617邓肯─张模型认为：在常规三轴试验条件下土的加载和卸载应力-应变曲线均为双曲线。表示如下式。─偏应力,常规三轴试验中为轴向压力；─常规三轴试验中的轴向主应变；─常规三轴试验中的周围压力；a、b─均为试验参数。2024/11/618a和b值的物理意义：对于确定的周围应力，a和b值为常数。Ei─初始切线模量；─偏应力的极限值，即当→∞时的偏应力值。2024/11/619

切线模量

地基土在荷载作用下的应力-应变分析中需知土的模量，邓肯-张通过对双曲线函数取偏导，得到用来计算地基中任一点的切线模量Et的公式为：2024/11/620

定义破坏比：

破坏时的偏应力，根据摩尔-库仑破坏准则可表示为内摩擦角和黏聚力c的函数，即：

─破坏时的偏应力，砂性土为─曲线峰值；粘性土为=15%~20%对应的值，见图。2024/11/621

把式(1-29)、式(1-30)和式(1-31)代入式(1-28)，得：

式中：，，，，即是确定切线模型的5个试验参数。

根据围压可得一系列a和b值，分析

和关系得到：

─单位与相同的大气压力。邓肯-张还建立了常规试验条件下轴向应变与侧向应变的非线性关系，求导同样可得切线泊桑比。但是在实际应用中，通常用定值泊桑比来分析。2024/11/622邓肯-张模型是非线性弹性地基模型，在计算中要采用增量法，能用于建筑与地基基础共同作用的研究，并获得与实际相符的结果，该模型的主要缺点是忽略了应力路径和剪胀性的影响。把土的应力应变曲线视作非线性弹性是不合理的，实际上土的卸载与加载路线是不重合的。该模型在荷载不太大的条件下(即不太接近破坏的条件下）可有效地模拟土应力应变的非线性,在高应力水平下不合适。非线性弹性地基模型集中反映在和的求解。计算时，切线模量所需的5个试验常数可用常规三轴试验获得。邓肯-张模型是建立在广义虎克定律的弹性理论基础上的，容易为工程界接受，模型所用参数物理意义明确，只需常规三轴试验即可获得，适用土类较广，已为岩土工程界所熟知，并得到了广泛应用，成为最为普及的土体本构模型之一。非线性弹性地基模型优点及存在问题：

2024/11/623一、塑性增量理论塑性增量理论假定土的应变可分成可恢复的弹性应变{εe}和永久变形的塑性应变{εp}两部分。总应变{ε}可表示为：第四节弹塑性地基模型若以增量形式表示，则{ε}——总应变向量；{εe}——弹性应变向量；

{εp}——塑性应变向量。

2024/11/624{δεe}可用广义虎克定律求得，即式中：E，v——卸荷再加荷的模量和泊桑比。上式用矩阵形式表示可简写成式中：[De]的为弹性矩阵，其含义见线弹性地基模型。2024/11/625{δεp}可用塑性应变增量理论计算，塑性应变增量理论包括三部分：①关于屈服条件或屈服面理论；②关于流动规则理论；③关于加工硬化(或软化)定律理论。(一)屈服准则及屈服面*

1．屈服准则屈服准则可用以判断弹塑性材料被施加一应力增量后是加载还是卸载，亦即是判断是否发生塑性变形的准则，加载时δεe和δεp都会产生；而卸载时仅产生δεe

。*参考文献：《高等土力学》，李广信主编，清华大学出版社，20042024/11/626对于A点，加载时dq>0，同时产生δεe和δεp；卸载时dq<0，仅产生δεe<0。对于A’点，无论荷载q增加或减少，都不会产生δεp，仅产生δεe

。土被从O点逐渐加载至A点，则A点为屈服点，随着应变增加，B、C成为新的屈服点。当应力状态在屈服点上时，即意味着加载时有塑性变形δεp产生，卸载时只有弹性变形δεe

。当应力状态减小到屈服点以内时，应力增量只引起弹性变形，总塑性应变εpA

不变。屈服点与塑性应变相关。2024/11/6272．屈服函数

在一般应力状态下，屈服准则可用函数来表示，即f(I1,I2,I3,k)=0或

f(σij，k)=0

其中，f为屈服函数；I1,I2,I3为应力不变量；σij为应力张量；k为反映材料塑性性质的参数，一般为塑性应变的函数，称为硬化参数。对于硬化材料，塑性变形通常改变屈服面的大小、形状和位置，此时要用加载面(又称后继屈服面)来判断一点的应力状态是否达到了塑性状态。在应变软化的土中，破坏后的屈服面不断地收缩，最后收缩的屈服面就与残余破坏面相一致。2024/11/6283．屈服面与屈服轨迹屈服准则用几何方法来表示即为屈服面和屈服轨迹。许多模型都假设土是各向同性的，因此，屈服函数可在三维应力空间中表示成为曲面，称为屈服面，见图(a)。屈服面与任一个二维应力坐标平面的交线就是屈服轨迹。图4-10(a)为一种最简单的圆锥形屈服面；图(b)和(c)分别表示它在p~q平面和π平面上的轨迹。图4-102024/11/6292024/11/629由于在增量的弹塑性模型中，超越目前屈服面的应力变化都将引起新的屈服，并产生新的屈服面，所以屈服面和屈服轨迹是一系列曲面族或曲线族(见图4-10(a))。如果应力状态A位于某一屈服面f1(见图4-10(b))，在应力增量δσ下超载了当前的屈服面f1，使屈服面变化到f2

，是加载过程，将发生弹性和塑性应变增量δεe和δεp；如果应力增量使应力状态A点向当前屈服面f1内运动，则是卸载过程，将只发生弹性变形δεe

。屈服面不是一个固定面，而是不断扩大的，甚至从一种形式变成另一种形式。破坏面与屈服面的关系：破坏面可以认为是屈服面的极限状态，但不应该把破坏面和屈服面两者等同起来。通常认为，如果应力变化跨过屈服面时，变形将包括弹性变形与塑性变形两部分。2024/11/6302024/11/630

(二)流动规则(正交定律)

流动规则是塑性应变增量与应力两者相对大小之间的关系的定律塑性应变增量理论规定塑性应变增量的方向是由应力空间的塑性势面g决定：在应力空间中，各应力状态点的塑性应变增量方向必须与通过该点的塑性势面相垂直。所以流动规则也叫做正交定律。

任何加工硬化(或软化)材料在不同应力状态下含有不同的塑性能量Wp，把主应力空间含有同量塑性能的点连起来，就会形成一个面，称为塑性势面。塑性势函数是应力状态的函数，可表示为2024/11/6312024/11/631这一规则实质上是假设在应力空间中一点的塑性应变增量的方向是唯一的，即只与该点的应力状态有关，与施加的应力增量的方向无关，亦即式中dλ——一个确定塑性应变大小的试验参数。2024/11/6322024/11/632

(三)加工硬化规律加工硬化规律就是屈服面的大小、形状和位置的变化规律。加工硬化规律比较复杂，一般用简化的模型近似表示。目前广泛采用的硬化模型是等向硬化模型和随动硬化模型。等向硬化模型。假设，在塑性变形过程中，加载面作均匀扩大，即加载面仅决定于一个硬化参量q，通常硬化参量q可取为塑性功或等效塑性应变。随动硬化模型。假设，在塑性变形过程中，加载面的大小和形状不变，仅整体地在应力空间中作平动。在加载过程中，如果在应力空间中应力矢量的方向(或各应力分量的比值)变化不大，则等向硬化模型与实际情况较接近，且由于等向硬化模型便于数学处理，所以应用较为广泛。2024/11/6332024/11/633加工硬化规律认为材料的应力状态正处在某一个屈服面上。这个屈服面可用下式表示式中：k为硬化参数，可当作塑性功Wp的函数。当硬化参数k增减时，屈服面可扩张或收缩。流动规则中的dλ也是塑性功Wp的函数，令式中，h假定是应力的函数。由于则有2024/11/6342024/11/634根据Euler齐次函数定理。当函数g为n阶齐次方程时，有故有

2024/11/6352024/11/635

由流动规则，有

上式就是塑性增量应变-应力关系式通常屈服函数f及塑性势函数g都是先假定，再通过与试验结果比较，来验证假定是否正确。屈服函数f可假定与破坏条件f*类同，破坏条件f*是通过破坏试验测定的。塑性势面若假定与屈服面重合，即f=g，则这种规律称相适应的流动规则，若f≠g，则称不相适应的流动规则。2024/11/636

三、拉特－邓肯(Lade-Duncan)弹塑性地基模型

弹塑性地基模型的种类较多，拉特－邓肯(Lade-Duncan)弹塑性地基模型是其中的一种。拉特和邓肯于1975年提出了适合砂土的弹塑性地基模型，该模型已在上海高层建筑基础分析中作了一些应用和探讨。拉特和邓肯根据砂料的真三轴压缩试验结果，提出一个数学模型。该模型假定砂的破坏条件为：式中I1和I3为第一应力不变量和第三应力不变量。2024/11/637拉特一邓肯采用的加工硬化条件为：不同的K值产生的屈服面是一些锥体，它们和π平面相交形成的曲线见图4-13。

2024/11/6382024/11/638

塑性势函数g采用类似破坏条件的形式：

上式中参数K2值，假定对于某一个定值f时是常数。在π平面上，塑性势面和破坏面有相同的形状。从上二式可以得到塑性应变与应力间的关系为

流动规则为2024/11/6392024/11/639

式中：dλ，K2——与土性有关的试验参数。其值分别表示塑性应变增量的绝对大小与相对大小。从上式可知，该模型考虑了砂土的剪胀性。2024/11/6402024/11/640

式中：νp——塑性泊桑比。也就是在破坏时横向塑性应变增量和竖向塑性应变增量之比值。由上式得：若利用常规三轴试验成果，则上式为

K2值的确定根据上式，令对于不同的σ1及σ3值，可得到确定的K2值。2024/11/6412024/11/641

dλ的确定硬化规律指出从试验资料分析可求得不同σ3值的一组f-Wp曲线(见图4-14)，且第二主应力σ2对试验曲线影响甚微。从常规三轴试验求取的f与Wp关系可用下式表示：

式中：ft——试验常数，不同周围应力σ3得到的一组ft-Wp曲线延伸的交点。α,β——试验参数。2024/11/6422024/11/642

将式微分后可得根据塑性增量理论注意到

可得2024/11/6432024/11/643有了dλ和K2的表达式，即可求得应变增量与应力水平、应力增量的确定关系。拉特－邓肯弹塑性地基模型不是采用现场土样，因此该模型不能马上用于岩土工程的分析计算。同济大学高层建筑地基基础课题组针对拉特－邓肯地基模型的缺陷，用现场土进行弹塑性地基模型的研究，提出上海土弹塑性地基模型，并已用于上海高层建筑基础的分析计算。2024/11/644荷载面积划分为m个矩形网格，任意网格的面积为Fj。在任意网格j的中点作用集中荷载Rj，反力列向量记作{R}：

网格中点的位移记作位移列向量{s}：第五节地基的柔度矩阵和刚度矩阵2024/11/645

反力列向量{R}和位移列向量{s}的关系：式中：[