同济大学线性代数y概要

2024/11/61第一章行列式2024/11/62§1

二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组2024/11/63当时，方程组有唯一解用消元法得2024/11/64记则有于是2024/11/65二阶行列式，记作也称为方程组的系数行列式。行标列标(1,2)元素2024/11/66对角线法则:主对角线副对角线2024/11/67例.解方程组解：2024/11/682.三阶行列式类似地，讨论三元线性方程组2024/11/69为三阶行列式,记作称2024/11/610对角线法则：2024/11/611例：2024/11/612§2全排列与逆序数定义1：把n个不同的元素排成的一列,称为这n个元素的一个全排列,简称排列。把n个不同的元素排成一列,共有Pn个排列。P3=3×2×1=62024/11/613例如：1,2,3的全排列123，231，312，132，213，321共有3×2×1=6种，即一般地，Pn=n·(n-1)·…·3·2·1=n!P3=3×2×1=62024/11/614标准次序：标号由小到大的排列。定义2：在n个元素的一个排列中，若某两个元素排列的次序与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的总和称为这个排列的逆序数。2024/11/615一个排列的逆序数的计算方法：设p1p2…pn是1，2，…，n的一个排列，用ti表示元素

pi的逆序数，即排在pi前面并比

t=t1

+t2

+…

+tnpi大的元素有ti个，则排列的逆序数为2024/11/616例4：求排列32514的逆序数。解：2024/11/617逆序数为奇数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。例如：123t=0为偶排列，312t=2为偶排列。321t=3为奇排列，2024/11/618§3

n阶行列式的定义观察二、三阶行列式，得出下面结论：每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。2.n阶行列式是n！项的代数和。3.每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性所确定。2024/11/619定义1：n!项的和称为n

阶行列式(n≥1)，记作2024/11/620例1：写出四阶行列式中含有因子的项。2024/11/621例2：计算四阶行列式D=

acfh+

bdeg–adeh–bcfg2024/11/622重要结论：(1)上三角形行列式2024/11/623(2)下三角形行列式2024/11/624(3)

对角行列式2024/11/625(4)副对角行列式2024/11/626行列式的等价定义2024/11/627§5

行列式的性质称DT

为D的转置行列式。设则D经过“行列互换”变为DT

2024/11/628性质1：行列式与它的转置行列式相等。2024/11/629证明：设则由行列式定义2024/11/630性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。互换s、t两行：互换s、t

两列：“运算性质”2024/11/631推论：若行列式有两行（列）相同，则行列式为0。2024/11/632性质3：用非零数k

乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数k

乘此行列式。“运算性质”用k

乘第i

行：用k

乘第i

列：2024/11/633推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。2024/11/634性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。2024/11/635性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等于如下两个行列式的和。2024/11/636性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。用数k乘第t

行加到第s

行上：用数k乘第t

列加到第s

列上：“运算性质”2024/11/637利用行列式性质计算：（化为三角形行列式）例1：计算2024/11/6382024/11/6392024/11/6402024/11/6412024/11/642例2：计算“行等和”行列式2024/11/6432024/11/644例10：设证明：02024/11/645证明：利用行的运算性质r

把化成下三角形，再利用列的运算性质c把化成下三角形，2024/11/646对D的前k行作运算r，后n列作运算c,则有2024/11/647例2024/11/648§6

行列式按行（列）展开问题：一个n

阶行列式是否可以转化为若干个

n－1阶行列式来计算？对于三阶行列式，容易验证：2024/11/649定义1：在n

阶行列式中，把元素所在的第i

行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫的余子式,记为称为(i,j)元素的代数余子式。做(i,j)元素,同时2024/11/650例如：考虑(2,3)元素(2,3)元素的余子式(2,3)元素的代数余子式2024/11/651定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即2024/11/6522024/11/653证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。(1)利用上一节例10的结论有2024/11/654(2)设D

的第i

行除了把D

转化为(1)的情形外都是0。2024/11/655先把D

的第i

行依次与第i–1行,第i–2行,···,第1行交换,经过i–1次行交换后得2024/11/656再把第j

列依次与第j–1列,第j–2列,···,第1列交换,经过j–1次列交换后得2024/11/657(3)一般情形,考虑第i

行2024/11/6582024/11/659例或者那么2024/11/660推论：行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即2024/11/661综上，得公式2024/11/662例12:证明范德蒙德(

Vandermonde)行列式2024/11/663证明：用数学归纳法(1)当n=2时,2024/11/664(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立,则2024/11/665=2024/11/666有个因子!2024/11/667例：2024/11/668例：设求2024/11/669解:2024/11/670例：2024/11/671D按第4列展开，然后各列的提出公因子=2024/11/6722024/11/673例：2024/11/674D2024/11/675例：2024/11/676D2024/11/6772024/11/678§7Cramer法则Cramer法则：如果线性方程组的系数行列式不等于零，2024/11/679即则线性方程组(11)有唯一解，2024/11/680其中2024/11/681证明：2024/11/682再把

n

个方程依次相加，得2024/11/683当

D≠0时,方程组(1)也即(11)有唯一的解于是2024/11/684例1：用Cramer法则解线性方程组。2024/11/685解：2024/11/6862024/11/687定理4：定理4’：如果线性方程组(11)的系数行列式D≠0

则(11)一定有解,且解是唯一的。如果线性方程组(11)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。Cramer法则也可以叙述为定理4的逆否命题是2024/11/688线性方程组非齐次与齐次线性方程组的概念:不全为零，则称此方程若常数项组为非齐次线性方程组；若全为零，则称此方程组为齐次线性方程组。2024/11/689齐次线性方程组易知，是(13)的解，称为零解。若有一组不全为零的数是(13)的解，称为非零解。2024/11/690定理5：定理5’：如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0则齐次线性方程组没有非零解。对于齐次线性方程组有如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0。2024/11/691例：问

l

取何值时，齐次线性方程组有非零解？2024/11/692解：因齐次方程组有非零解，则D=0故l=