江苏南通市崇川初级中学2024-2025学年八上数学网络提高班面积问题专项训练【含答案】

江苏南通崇川初级中学2024-2025学年网络提高班八上数学面积问题专项训练一．选择题（共3小题）1．如图，在直角扇形ABC内，分别以AB和AC为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D，整个图形被分成S1，S2，S3，S4四部分，则S2和S4的大小关系是（）A．S2＜S4 B．S2＝S4 C．S2＞S4 D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）A． B．1+ C．2 D．2+3．如图，若△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、BC、AC为边的正方形，则图中阴影部分面积之和的最大值是（）A．9 B．8 C．7 D．6二．填空题（共5小题）4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．5．如图，长方形ABCD被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积为．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为cm2．7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，分别以AC、BC为边作正方形AEDC、BCFG，则△BEF的面积是cm2．8．如图，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角边YZ＝1，XZ＝2，则六边形ABCDEF的面积为．三．解答题（共4小题）9．在边长为a的正△ABC，点P，Q，R分别在边BC，CA，AB上运动，并保持BP+CQ+AR＝a．设BP＝x，CQ＝y，AR＝z，△PQR的面积为S（1）用x，y，z表示S；（2）求S的最大值；（3）求PQ，QR，RP在S取得最大值时的值．10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°．设P＝BC+CD，四边形ABCD的面积为S．（1）试探究S与P之间的关系，并说明理由；（2）若四边形ABCD的面积为9，求BC+CD的值．11．已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，AE＝2DE，AE＝3，BE＝4，CE＝5，求△ABC的面积．12．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝1，CD＝3，将△ABD沿AB折叠得到△ABE，将△ACD沿AC折叠得到△ACF，延长EB和FC交于点G．（1）判定四边形AEGF的形状，并证明你的结论；（2）求△ABC的面积．

参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．【解答】解：设AB＝AC＝2a，根据题意得，S2＝S扇形ACB﹣S半圆AB﹣S半圆AC+S4＝﹣2××π×a2+S4＝S4，所以S2＝S4．故选：B．2．【解答】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE＝CD＝，∴△ABC的面积＝•BC•AE＝××（2+2）＝2+．故选：D．3．【解答】解：如图，把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，∵四边形ACHD为正方形，∴∠ACH＝90°，CA＝CH＝CH′，∴A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，∴S△CHF＝S△BCH′＝S△ABC，同理：S△ADE＝S△BGI＝S△ABC，所以阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，又∵AB＝2，AC＝3，∴当AB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝＝3，S阴影部分面积＝3S△ABC＝3×3＝9，故选：A．二．填空题（共5小题）4．【解答】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积＝π×4+π×1﹣4×2÷2＝π﹣4．5．【解答】解：设未知的三块面积分别为x，y，z（如图）则，即由①+②解得y＝85故答案为856．【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO，在△EAO与△FCO中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴S阴影部分＝S△DOC＝S矩形ABCD＝×8×5＝10（cm2），故答案为：10．7．【解答】解：连接EC并延长交BF于点H，∵四边形AEDC、BCFG均是正方形，∴∠DCA＝∠BCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°，在△ABC与△DFC中，，∴△ABC≌△DFC（SAS），∴DF＝AB，∠CDF＝∠CAB，∴∠EDF＝∠EAB，在△EDF与△EAB中，，∴△EDF≌△EAB（SAS），∴EF＝EB，∴△BEF是等腰三角形，∵CF＝CB，∴△BCF是等腰三角形，∴EH是BF的垂直平分线，∵AC＝8cm，BC＝6cm，∴CE＝＝8cm，BF＝＝6cm，∴CH＝BF＝3cm，∴BH＝CE+CH＝8+3＝11cm，∴S△BEF＝BF•EH＝×6×11＝66cm2．故答案为：66．8．【解答】解：在Rt△XYZ中，根据勾股定理得：XY2＝YZ2+XZ2＝12+22＝5，∴XY＝．∴sin∠YXZ＝，sin∠XYZ＝，所以得：正方形AXZF的面积＝2×2＝4，正方形DEZY的面积＝1×1＝1，正方形BCYX的面积＝×＝5，△XYZ的面积＝×1×2＝1，△EFZ的面积＝×1×2＝1，又∠AXB＝360°﹣90°﹣90°﹣∠YXZ＝180°﹣∠YXZ，同理：∠DYC＝180°﹣∠XYZ，已知正方形AXZF、BCYX、DEZY，∴AX＝2，DY＝1，BX＝CY＝，∴△ABX的面积＝AX•BX•sin∠AXB＝AX•BX•sin（180°﹣∠YXZ）＝AX•BX•sin∠YXZ＝×2××＝1，同理：△CDY的面积＝CY•DY•sin∠XYZ＝××1×＝1．六边形ABCDEF的面积＝正方形AXZF的面积+正方形DEZY的面积+正方形BCYX的面积+△XYZ的面积+△EFZ的面积+△ABX的面积+△CDY的面积＝4+1+5+1+1+1+1＝14．故答案为：14．三．解答题（共4小题）9．【解答】解：（1）过点A与R作AD⊥BC于D，RE⊥BC于E，∵正△ABC的边长为a，∴在Rt△ABD中，sin60°＝＝，∴AD＝a，∴S△ABC＝BC•AD＝a2，∴在Rt△RBE中，sin60°＝＝，∵BP＝x，CQ＝y，AR＝z，∴RB＝a﹣z，∴RE＝（a﹣z），∴S△RBP＝BP•RE＝x•（a﹣z）＝x（a﹣z），同理：S△PQC＝y（a﹣x），S△ARQ＝z（a﹣y），∵x+y+z＝a，∴S△PQR＝S△ABC﹣S△RBP﹣S△PQC﹣S△ARQ，＝[a2﹣x（a﹣z）﹣y（a﹣x）﹣z（a﹣y）]，＝[a2﹣a（x+y+z）+xz+xy+yz]，＝（a2﹣a2+xy+xz+yz）＝（xy+xz+yz）；∴S＝xy+xz+yz；（2）∵3（xy+yz+xz）＝（xy+yz+xz）+2xy+2yz+2xz≤x2+y2+y2+z2+x2+y2+2xy+2yz+2xz＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz＝（x+y+z）2＝a2，∴xy+yz+xz≤a2，∴S＝（xy+xz+yz）≤×a2＝a2，∴当x＝y＝z＝a时，S的最大值为：a2；（3）当x＝y＝z＝a时，S取最大值，即：PQ＝QR＝RP＝a．10．【解答】解：（1）S＝P2，理由如下：连接BD，如图所示：∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴BD2＝AD2+AB2＝DC2+BC2；∵AD＝AB，∴2AD2＝DC2+BC2，∴S＝+＝+＝+＝（DC+BC）2＝P2；（2）根据题意得：P2＝9，∴P2＝36，解得：P＝6，或P＝﹣6（舍去），即BC+CD＝6．11．【解答】解：延长AD到F，使ED＝DF，连接BF，∴EF＝2DE，∵AE＝2DE，AE＝3，∴EF＝AE＝3，在△BDF与△CED中，，∴△BDF≌△CDE，∴BF＝CE＝5，∵BE＝4，∴BE2+EF2＝42+32＝52＝BF2，∴∠BEF＝90°，∴S△BCE＝S△BEF＝×3×4＝6，∵AE＝2DE，∴S△ABE+S△ACE＝2S△BCE＝12，∴S△ABC＝18．12．【解答】（1）解：四边形AEGF是正方形；理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠BAD，∠E＝∠ADB＝90°，AE＝AD，∠FAC＝∠DAC，∠F＝∠ADC＝90°，AF＝AD，∴AE＝AF，∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°，∴四边形AEGF是矩形，又∵AE＝AF