初一数学(人教版)实际问题与一元一次方程(六)-1教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ07SXRJ057学科数学年级七年级学期第一学期课题实际问题与一元一次方程（六）—电话计费问题（方案选择）教科书书名：数学七年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2012年6月教学人员姓名单位授课教师田悦北京师范大学附属实验中学指导教师黄婉华北京市西城区教育研修学院教学目标教学目标：1.知识与技能：正确理解问题情境，分析问题中的数量关系，找出合适的相等关系，借助表格、式子分析，选择适当的等量关系，建立一元一次方程；2.过程与方法：体验建立方程模型解决问题的一般过程；逐步感悟分类是一种重要的思想，为什么要分类，如何分类，如何确定分类标准，体会方程思想，增强应用意识和应用能.3.情感态度价值观：在问题的解决中，体会数学学习的过程与方法，感受到数学在生活中的价值，产生对数学学习的兴趣，并能用数学的眼光看待世界.教学重点：建立方程模型解决电话计费问题教学难点：由实际问题抽象出数学模型的探究过程教学过程时间教学环节主要师生活动复习回顾梳理旧知创设情境探究3电话计费问题月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费（元/min）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费学习新知问题引申二、例题教学提问1：理解表格中这些数据的含义吗？先来看方式一，先交58元，可以打150分钟，超过150分钟的部分，每分钟收0.25元主叫时间为100分钟，费用是多少呢？主叫时间为200分钟，费用是多少呢？（58+（200-150）×0.25）再来看方式二，先交88元，可以打350分钟，超过350分钟的部分，每分钟收0.19元主叫时间为200分钟，费用是多少呢？（200在350以内收费88元）通话时间450分钟，费用是多少呢（88+（450-350）×0.19）？月使用费用固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费；被叫免费。由此可知，计费与主叫时间有关，计费时首先要看主叫时间，时间不超过限定时间，即主叫时间小于或等于限定时间，这时只收“月使用费”。主叫时间超过限定时间即主叫时间大于限定时间，这时收“月使用费”加按超时量计算的超时费150小于350（定性分析），方式一的限定时间短0.25大于0.19，说明超过限定时间后，方式一比方式二增长的快（超时费的比较）问题2：时间相同时，两种方式费用分别时多少呢？费用显然与主叫时间相关，可以从具体的问题入手，先来看两个问题当主叫时间为100min时，两种方式的费用各是多少？（方式一；58，方式二：88）当主叫时间为350min时，两种方式的费用各是多少？（方式一：58+（350-150）×0.25=108,方式二：88）通过计算，同学们对电话计费问题有什么新的认识吗？（时间不同时收费不同，有时候方式一费用少，有时候方式二费用少，费用与主叫时间有关）借助图再来认识一下两种收费方式：t150t1500加超时费0.25元/分t0t0350加超时费0.19元/分现在来看探究3的第一问设一个月内用移动电话主叫时间为tmin.（t是正整数）.根据上表，列表说明，当t在不同时间范围内取值时，按方式1和方式2如何计费？问题3：如何列表呢？表中要体现哪些信息呢？时间相同方式一和方式二收费不同，所以要按不同方式分类；通过前面的分析知道，费用和时间相关，时间不同计费方式不同，我们还要根据时间分类.从方式和时间两个维度分类，图表可以如下建立：主叫时间方式一计费/元方式二计费/元再来具体的看时间分类，把两种收费方式的对应图合在一起，在一个时间轴下呈现可以发现1503501503500加超时费0.25元/分固定收费58元（350分钟以内）加超时费0.19元/分两个主叫限定时间150min.350min是不同时间范围的划分点，我们可以把时间分成5段。边界值单独讨论，主叫时间方式一计费/元方式二计费/元小于150150大于150且小于350350大于350通过前面计算，我们知道主叫时间是100，200，350，450时的费用，能计算出两种方式的费用，但只是四个具体主叫时间对应的情况，当主叫时间是其他时间时，费用是多少呢？主叫时间影响费用，计算费用要用到主叫时间，主叫时间又是变化的，怎么办呢？这种情况下，我们可以借助数字、字母这样的工具，把各个时间段的费用表示出来，就像探究三第一问中设主叫时间为t,然后用t表示费用：主叫时间t/分方式一计费/元方式二计费/元t小于1505888t=1505888t大于150且小于35058＋0.25(t－150)88t=35058＋0.25(350－150)＝10888t大于35058＋0.25(t－150)88＋0.19(t－350)再看问题（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法问题4：通过观察列表，你可以确定哪一个时间范围内哪种方式更划算吗？主叫时间t/分方式一计费/元方式二计费/元t小于15058（计费少）88t=15058（计费少）88t大于150且小于35058＋0.25(t－150)88t=35058＋0.25(350－150)＝10888（计费少）t大于35058＋0.25(t－150)88＋0.19(t－350)t小于150min,t等于150min，t等于350min这三种情况可以确定当t小于或等于150时。按方式一的计费少。当t大于350时。按方式二的计费少。时间分成几段，分别去研究，分类可以帮助解决综合变化问题追问：当t大于150且小于350时和t大于350时这两个时间范围内的情况是怎样的呢？。①当t小于或等于150时。按方式一的计费少。②当t从150增加到350时，按方式一的计费，由58元增加到108元，而方式二的计费一直是88元。因此当t大于150并且小于350时，可能在某主叫时间按方式1和方式按2的计费方式相等（类比两个人跑步，方式一落后，方式二领先，方式一的速度快，中间一定存在某个时间点，两人相遇，即方式一和方式二费用相等），数学里面的相等对应着一个等式，式子中含有字母t，由此得到了一个方程：58＋0.25(t－150)=8858＋0.25t－37.5=880.25t=67.5t=270当t=270分时，两种计费方式的费用相等，都是88元，主叫时间大于150min小于270min时，哪种方式更划算呢？方式二是88元不变，方式一是从58元逐渐增加到88元的，或者我们计算269min时，方式一会比88元减少0.25元所以主叫时间大于150min小于270min时，按方式一的计费少于按方式二的计费。如果主叫时间大于270min且小于350min,按方式一的计费多于按方式2的计费。③当t等于350时。按方式二的计费少。④当t>350分时，两种计费方式哪种更合算呢？t大于350时，方式一的计费方式还可以看作108元加上超过350min部分的超时费（0.25（t-350））,方式二的计费为88元加上超过350min部分的超时费（0.19（t-350））对比两式对应的各项，可以看出方式二计费少或者t等于350时，按方式二的费用88元比方式一费用108元少。t大于350时，超过限定时间另付费的单价方式二0.19小于方式一0.25，方式二增加的速度慢，所以方式二计费少刚才是分段研究的，综合以上分析，现在概括的说可得：t小于150，t等于150，t大于150小于270时，方式一划算，所以t小于270分时，选择方式一划算；t大于270小于350,t=350,t大于350时，方式二划算，t大于270分时，选择方式二省钱．课堂小结小结：请回顾电话计费问题的探究过程，并回答以下问题：探究解题的过程大致包含哪几个步骤？找出关键点，分类讨论，列方程电话计费问题的核心问题是什么？t=270是怎么算出来的？方程分类，解释实际问题方程t=270电话计费问题方程t=270电话计费问题实际问题抽象成数学问题电话计费问题的核心是建立模型，建立模型的关键有两个，一是应用分类思想对不同情况分别进行分析，二是发现并利用相等关系确立方程模型，其中分类思想是解决综合性问题时的重要策略，需要学生在适当条件下具有较强的分类意识和确定分类节点的能力，同时本节课问题中的相等关系比之前的问题具有更强的隐蔽性，需要同学们根据数量间的大小变化来确定和解决，这增加了列方程的难度。我们在探究过程中用到了哪些方法，你有哪些收获？分类讨论（初步分类，再分类），方程思想巩固练习利用我们在“电话计费问题”中学会的方法，探究下面的问题：用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元.在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页，每页收费0.1元.如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）分析：页数不同导致费用不同，所以设复印页数为x页这个问题比较复杂，借助表格分析和整理数据如下。复印页数x誊印社复印费用/元图书馆复印费用/元x小于200.12x0.1xx等于200.12×20＝2.40.1×20＝2x大于202.4＋0.09(x－20)0.1x解答：设复印页数为x页（1）当x小于20时，0.12x大于0.1x恒成立，图书馆价