专题11规律探索-11

数字周期：

【经典例题1】观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,

解答下面问题：2+22+23+24+...+22015-1的末位数字是（）

A.OB.3C.4D.8

【解析】B

练习1-1观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,,

根据其中的规律可得70+7'+72+...+72019的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

【解析】A

练习1-2观察下列等才=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,■■■.

解答下列问题：3+32+33+3”+...+3202。的末尾数字是（）

A.OB.2C.3D.9

【解析】D

【经典例题2】如图，点。为正六边形的中心，P,Q分别从点A（l,0）同时出发，

沿正六边形的边按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点。的速

度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（）

A.（一2，2）B.（1,0）C.（一2，-2JD.（-1,0）

【解析】由题意可得：OA^OB=AB=1

正六边形的周长为1x6=6

•••点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度

二第一次相遇的时间为6+（1+2）=2S

此时点P的路程为1x2=2,点P，Q第一次相遇的地点为点C

依次类推，得出：

点P,Q第二次相遇的地点为点E,

点P,Q第三次相遇的地点为点A,

点P,Q第四次相遇的地点为点C,

•••点P，Q两点的相遇是3次一循环,

2020=3x673+1

.•.第2020次相遇的地点为点C

...OC=OA=1,4coM=30°

/.CM==—OC=—

2222

c(-g,

故选：A.

练习2-1如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为4-2,0),8(1,

2),C(l,-2).已知M—1，0),作点N关于点A的对称点M,点、Ni关于点B

的对称点M，点N2关于点C的对称点点M关于点A的对称点M,点M

关于点6的对称点M，……，依此类推，则点心020的坐标为

［解析］(T,8)

练习2-2如图，已知菱形ABC。的顶点为4（一小，0）,ZDAB=60°,若动点P

从点A出发，沿A>B>C>D>A>B>…的路径，在菱形的边上

以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2020秒时，点P的坐标为

［解析］（0，-1）

练习2-3已知：如图，等边三角形0A8的边长为2小，边OA在x轴正半轴上,

现将等边三角形OAB绕点。逆时针旋转，每次旋转60°,则第2020次旋转结束

后，等边三角形中心的坐标为.

口I3

1-11_____

［解析］（0，—2）

练习2-4如图，将正六边形ABCDEF放置在平面直角坐标系内，A（-2,0）,点3在

原点，把正六边形ABCDE/沿x轴正半轴作无滑动的连密翻转，每次翻转60。,

经过2020次翻转之后，点。的坐标是

\.（4038,0）B.（4038,243）

C.14037币）D.（4040,2不）

【解析】B

练习2-5如图，在平面直角坐标系中，四边形Q4BC关于x轴对称，

ZAOC=60°,ZABC=90。，=2,将四边形OABC绕点。逆时针旋转90°后得到

四边形OA^iG，依此方式，绕点。连续旋转71次得到四边形。4田7c71，那么点

玛|的坐标是（）

A.（0,V3+l）B.（3,0）C.e6-1）D.（-3,0）

【解析】连接AC交x轴于F点，

已知NABC=90°,ZAOC=60°,OA=2

•••四边形OABC关于％轴对称，

...AC垂直于OB,ZCBO=ZABO=45°,FB=AF,ZAOF=ZCOF=30°,

.•.OF=G，FB=1,

，。8=百+1

•••将四边形。钻。绕点。逆时针旋转90。，旋转71次

四边形。钻C最后会旋转到y轴的负半轴上，

•,•点勒的坐标是仅，-6-1）.

练习2-6如图，矩形04BC的顶点。（0,0）,8（-2,2g）,若矩形绕点。

逆时针旋转，每秒旋转60。,则第2017秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）

A.(-1,G)B.(-1,-3)C.(-2,0)D.(1,-3)

【解析】•••四边形OABC是矩形，AC、OB是对角线

BD=OD

•矩形0ABe的顶点。(0,0),5(-2,26),

：.D(-1,6),

过。作轴于点E,

,：D(-1,百)，。门"由

,DE=6,OE=I,

tanZZ)OE=—=6,

OE

...NOOE=60。，

V60°x2017-?360°=336-,

6

；-X360°=60°,

6

又.旋转336周时，。点刚好回到起始位置，

第2017秒时，矩形绕点。逆时针旋转3369周，此时。点在x轴负半轴上,

6

•/DO=ylOE2+DE2=可=2

,此时。点坐标为（-2,0）,

练习2-7如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°

后得到正方形依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形

04201832018c2018,如果点A的坐标为（1,0）,那么点历018的坐标为（）

A.(1,1)B.(0,应)C.(_a,0)D.(-1,1)

【解析】•••四边形0ABe是正方形，04=1,

：.B(1,1),

连接OB,在RtXOAB中，由勾股定理得：OB=夜，

由旋转性质得：OB=OBI=OB2=OB3=,

ABi(0,夜)，&(-1,1),83(-夜，0),...»

360+45=8,每8次一循环，20184-8=252...2,

，点&018的坐标为(7,1).

故答案为：D.

练习2-8将直角三角形纸板0A8按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，OB

在X轴上，0B=4,0A=26将三角形纸板绕原点。逆时针旋转，每秒旋转

60。，则第2019秒时，点A的对应点4的坐标为()

(3,-百)C.(-3,73)D.(0,2

丛)

【解析】360-60=6,

即每6秒一循环，

2019-6=336...3,

即2019秒时，点A与其对应点4关于原点O对称，

•.•04=4,ZAOB=30°,

可得：43,G),

.•.第2019秒时，点A的对应点4的坐标为(-3,一6),

故答案为：A.

练习2-9如图，在AQ钻中，顶点。(0,0),A(-3,4),B(3,4),将AOAB与正方

形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°，则第70次旋转结束时,

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3))D.(3,-10)

【解析】•••A(-3,4),5(3,4),

AB=3+3=6,

•••四边形ABCD为正方形，

AD-AB-6,

.,.0(—3,10),

•.•70=4x17+2,

...每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于AOAB与正方形ABCD组成的

图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°,

...点D的坐标为(3,-10).

故选D.

练习2-10如图,在平面直角坐标系中，将正方形0ABe绕点。逆时针旋转45°

后得到正方形OAiBICl,称为一次旋转，依此方式，……,绕点。连续旋转2

019次得到正方形QA2019B2019c2019,如果点A的坐标为(1,0),那么点

82019的坐标为.

【解析】由旋转及正方形性质可得：

51(0,a),&(-1,1),&(一及,0),&(-1,-1),85(0,一⑸,氏(1,

T),&(夜，0),……

，360+45=8,

2019-8=252....3,

二点&019落在X轴负半轴上,

即民019（—V2,0）,

故答案为：（一下,0）.

练习2-11平面直角坐标系中，菱形ABC。如图所示，Q4=3,点。在线段

的垂直平分线上，若菱形A8CD绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒45。，则第

70秒时点。的对应坐标为（）

A.(20,3)B.(-273,-3)C.(3,-2@D.卜3,2⑹

•四边形A8CO是菱形,

・AB=AD9

•点D在线段AB的垂直平分线上,

•AD=BD，

・43=4）=,即△A3。为等边三角形,

.ZDAB=ZABO=^)°,

在RtAAOB中,

nA

Vsin60°=—,

AB

AB=AD=―—=—T=-=2-\/3

，sin60°yj3,

2

•.•360+45=8（秒），70+8=8……6,

45°X6=270°,

...第70秒时点。的位置与第6秒时点。的位置相同，设点。此时的对应点为

连接OD,ED',

ZDOD'=360°-270°=90°,

二易证:△AODQAED,O,

：.D'E=OA=3,OE=DA=2yfi,

：.。'（3,-2月，即第70秒时点D的对应坐标为（3,-2月）.

二故选：C.

练习2-12如图，点3为*轴上一点，以。8为边作等腰三角形。区4,且

45=08=2,ZAB（9=150°.现将△084绕点。逆时针旋转，第1次旋转30。,

第2次旋转60。，第3次旋转30。，第4次旋转60。……依此进行下去，则第60

次旋转结束后点A的坐标为（）

A.(2+>/^,-1)B.卜2-61)C.^0,—\/6—>/2jD.(>/6+V2,oj

【解析】如图，由题意可得：△084旋转8次回到原位置，

过4作49,08于2

\AB=OB^2,430=150°,

：.ZAOB=ZBAO=\50,

...ZAB。=30°,

AD=1,BD=V22-l2=g,

OD=2+\[?>,

A（2+6,l）,

由60+8=7…4,

所以，与A4重合，

而4与A关于原点成中心对称,

，》（-2-6

练习2-13已知：如图，等边三角形。出的边长为2百，边Q4在x轴正半轴上，

现将等边三角形。钻绕点。逆时针旋转,每次旋转60。,则第2020次旋转结束后,

等边三角形中心的坐标为（）

A.B.(0,-1)C.\/3,—ljD.(0,-2)

【解析】过点B作BD±OA于D,过点0作OFLAB于F,BD与OF相交于点

E,则点E是等边三角形的中心.

•••等边三角形OAB的边长为26

/.0D=6，NAOF=30°

.•.DE=tan30°OD

OE=2

依题意可知：OE每次逆时针旋转60。，那么每6次又回到原位置.

2020+6=336…4

£4（0,-2）

故选：D

练习2-14如图，将边长为1的正方形Q4PB沿x轴正方向连续翻转8次，点P依

次落在点片，鸟，鸟，外…，则点尸9的横坐标是（）

A.5B.6C.7D.9

y

I4

/P---BC----P■=-r-*-P-----**

''、；''、；'、、；'、、;

XI\I\IX•

\।\|X।\••••

_____________:「Ss-丫

练习2-15如图，矩形A3CD的两边BC、8分别在x轴、V轴上，点C与原点重

合,点A（-l,2）,将矩形ABCD沿x轴向右翻滚,经过一次翻滚点A对应点记为A,,

经过第二次翻滚点A对应点记为为…以次类推，经过2020次翻滚后点A对应点

A2020的坐标为（）

A;------Dr---------

-8（Q-0''x

A.（2524,2）B,（2524,1）

C.（3029,2）D.（3029,1）

【解析】观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，

2020+4=505,

•.•点A（-1,2）,矩形的周长为：2（1+2）=6,

,经过2020次翻滚后点A对应点A2020的坐标为（6x505-1,2）,即（3029,2）.

故选C.

练习2-16如图所示，矩形43CO的两边BC、CD分别在x轴、V轴上，点。与

原点重合，点A的坐标为G1,2）,将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过第1次翻

滚点A对应点记为4,经过第2次翻滚点A对应点记为人……依此类推，经过

第5次翻滚后点A对应点记为人的坐标为（）

K

A,—D……

B0(C)X

A.(5,2)B.(6,0)C.(8,1)D.(8,0)

【解析】如下图所示:

小

AL

/I：1；1A5

一——:,***।r---

f1__。1bWAi■I_____0、X

由题意可得上图，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标对应上图中的坐标，故

A5的坐标为：（8,1）.

故选：C.

练习2-17如图，线段。4,08分别从与％轴和丁轴重合的位置出发，绕着原点。

顺时针转动，已知04每秒转动45。，08的转动速度是每秒转动30。，则第2020

秒时，与0B之间的夹角的度数为（）

B'

-o'AX

A.90°B.145°C.150°D.165°

［解析】第2020秒时，线段OA旋转度数=2020x45°=909000,

线段OB旋转度数=2020x30。=60600。，

9090()°^360°=252……180°,60600°^360°=168……120°,

此时OA、OB位置如图所示，

OA与OB之间的夹角度数=270°-120。=150°.

故选：C.

练习2-18在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形。45c绕点。顺时针旋转

45。后得到正方形04AG，依此方式，绕点。连续旋转202()次得到正方形

%02o3202oGo20,那么点A2020的坐标是()

''I22)L22J

【解析】•••四边形OABC是正方形，且OA=1,

AA(0,1),

•••将正方形OABC绕点O顺时针旋转45。后得到正方形OAIBIC”

发现是8次一循环，所以2020+8=252…余4,

故点AO2O~A,即4()20坐标是(°，-1),

故选:A.

【经典例题31在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点。

出发，按“向上一向右一向下一向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长

度，其移动路线如图所示，第一次移动到点4,第二次移动到点4……第〃次

移动到点4,则点A2019的坐标是()

A.(1010,0)B.(1010,1)C.(1009,0)D.(1009,1)

y

(4iA2AiAtAg

OJ4JA4AyAgA12X

【解析】4(0,1),A2(1,1),A3(1,0),4(2,0),4(2,1),4

(3,1)，…，

由智能机器人移动的规律看出：每移动4次将在x轴上向右前进2个单位长度,

V2019-4=504...3,

；•完成504次移动后，机器人回到x轴，离坐标原点的距离为：504X2=1008个

单位长度，

接下来机器人还需继续按规律移动3次，再次到达x轴，水平前进了1个单位长

度，此时离坐标原点的距离为：1008+1=1009个单位长度，

•••A2019的坐标是(1009,0).

故选C

练习3-1如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm,一个微型机器人由点

A开始按ABCDE/CG4…的顺序沿正方形的边循环移动，当微型机器人移动了

2021c加时，它停在点.

GD

【解析】•••两个正方形的边长都为1cm,

，从A开始移动%cm后回到点A,

,.•2021+8=252…5,

移动2021cm时停在点尸处.

故答案为：F.

练习3-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,1),8(-1,1),C(-

1,-3),。(2,-3),点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿4-

8-C-。-A…的规律在图边形A8CD的边上循环运动，则第2019秒时点尸的

A.(1,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(2,

-1)

【解析】由点A(2,1),B(-1,1),C(-1,-3),D(2,-3),

可知ABCD是长方形，

，AB=CD=3,CB=AD=4,

点P从点A出发沿着A-B-C-D回到点A所走路程是：3+3+4+4=14,

•.•2019+14=144余3,

.•.第2019秒时P点在B处，

.,.P(-1,1)

故选C.

练习3-3根据下图中箭头指向的规律，从2018到2019再到2020,箭头的方向是

()

练习3-4如图所示，一动点从半径为2的。。上的A0点出发，沿着射线A0。

方向运动到上的点A］处，再向左沿着与射线A1。夹角为60。的方向运动

到。。上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到。。上

的点A3处，再向左沿着与射线A3。夹角为60。的方向运动到。。上的点A4

处；……按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是一

【解析】由图分析可知，4点与A)点重合，

2017-6=336.......1,

即点A2017与4重合，

的半径为2,

...点A2017与点A0间的距离是4.

练习3-5如图，动点P从(0,3)出发，沿如图所示的方向(看图中的编号)运动，

每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2020次碰到矩

形的边时，点P的坐标为()

A.(1,4)B.(5,0)C.(6,4)D.(8,3)

y

练习3-6如图I,弹性小球从点P(0,1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正

方形。ABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形

的边时的点为PG2,0),第2次碰到正方形的边时的点为P2,……，第〃次

碰到正方形的边时的点为Pn,则点「2019的坐标是()

A.(0,1)B.(-4,1)C.(-2,0)D.(0,3)

【解析】根据图象可得：Pi(-2,0),P2(-4,1),P3(0,3),P4(-2,4),P5(-4,0),P6(0,l),

PI(-2,0)

2019-6=336....3,

即P2019(0,3),

故答案为：D.

练习3-7如下面的图，在平面直角坐标系中，将4"O绕点A顺时针旋转到4

AB/C/的位置，点8、O分别落在坊、G处，点为在x轴上；再将』AB/G绕着点为

顺时针旋转到4A/BQ2的位置，点。2在x轴上；再将/A/B/G绕着点C2顺时针旋

转到4位2c2的位置，点为在x轴上；…；依次进行下去.若点哈以0,4),则

^2020的坐标为.

练习3-8如图，在平面直角坐标系中，A4O3的顶点A为。1),8为(1,0).第1次

变换：先将AAOB关于x轴对称，再向右平移1个单位长度，得到冉；第2次

变换：先将AA。声关于x轴对称，再向右平移1个单位长度，得到凶2。2员

依此规律，得到△4020°2020/nt).则点4()20的坐标是()

A.(2019,-1)B.(2020,-1)C.(4040,1)D.(2020,1)

【解析】VA(0,1),B(l,0),

，OA=1,OB=1,

/.OiAi=l,A,(1,-1),

OBi=OB+BBi=2,

:.A?(2,1),同理可得A3(3,-1)……,

An(n,(-1)n)

所以A2020(2020,1),

故选：D

练习3-9如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且

按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点

4(0,2)变换到点4(6,0),得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点4变换到

点4(6,0),得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点4(10,46)，

得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点4变换到点A5(10+12，L0),得到等

腰直角三角形⑤；依此规律…，则第20三个等腰直角三角形的面积是.22。2。.

练习3-10如图，在平面直角坐标系中，将△AB。绕点A顺指针旋转到△AeG

的位置，点8、。分别落在点5、G处，点自在x轴上，再将△ABiG绕点囱

顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点。2在4轴上，将443c2绕点Q顺时针旋转

到△A282c2的位置，点A2在光轴上，依次进行下去...，若点A6，0),B(0,

'：OA=-,。3=4,ZAOB=9Q°,

3

13

在放△BO4中，由勾股定理得：AB=y,

可得：Bi(10,4),84(20,4),&(30,4),...

.,•点B2016横坐标为10080.

故答案为：D.

练习3-11如图，在直角坐标系中，已知点A(-3,0),B(0,4),对AOAB

连续作旋转变换，依次得到△1,△2,△3,A4,则△2019的直角顶点的

【解析】•••点A(-3,0)>B(0,4),

由勾股定理得：AB=5,

由图可知，三个三角形为一个循环，经历一次循环前进的水平距离为：12,

2019+3=673,直角顶点在x轴上，

673x12=8076,

...△2019的直角顶点的坐标为(8076,0).

故答案为：A.

【经典例题4】如图，一段抛物线>=-x(x-1)(OWxW/)记为啊，它与x轴的

交点为。，4,顶点为P/；将四绕点为旋转180。得到加2,交x轴于点为42,顶点

为舄；将加2绕点A2旋转180。得到啊，交X轴于点为为，顶点为舄；……，如此

进行下去，直至到叫2,顶点为匕，则顶点小的坐标为.

练习4-1在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60。的扇

形组成一条连续的曲线，点尸从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，

点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为？个单位长度/秒，

A.（2021,百）B.喈1,乎）

C.（2021,2^）D.（2021,0）

22

【解析】设第〃秒运动到P”（〃为自然数）点，

观察，发现规律：

P1（二，@）,22（1,0）,23（2，-立），24（2,0）,05（2,立），…，

222222

尸4"+1（一,），24"+2（—>0），P4n+3（一，-——），尸4"+4（一,0），

222222

V2021=4x505+l,

故选：B.

练习4-2如图，函数尸「,一?£,二?的图象记为C1,它与龙轴交于点

-2x+8（2<x<4）

。和点Al,将Cl绕点Al选择180。得。,交x轴于点A2……，如此进行下去，

若点尸（103,加）在图象上，则根的值是（）

A.-2B.2C.-3D.4

【解析】由图可知：横坐标每间隔8个单位，函数值相同，即函数图象重复

周期为8,103-8=12.......5,当45时，y=~2,

BfJm=—2,

故答案为：A.

【经典例题4】如图，已知点Ai的坐标为(0,1),点A2在x轴的正半轴上，且NAN2。

=30°,过点4作A2A3L4p42,交y轴于点4；过点4作A3A4，AM3，交x轴

于点A4；过点A4作A4A5_LA3A4,交y轴于点A5；.......；按此规律进行下去，则

点A2021的坐标为()

A.(0,31011)B.(-31011,0)C.(0,31010)D.(-31010,0)

【解析】通过解直角三角形可得出点A2的坐标，同理可得出点A3,A4,A5,A6,

4,…的坐标，

根据坐标的变化可得出变化规律"点4"+1的坐标为(0,32«)(«为正整数)”，

再结合2021=505x4+1即可得出点A2021的坐标，此题得解.

所以本题选C.

练习4-1如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行.从

内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,顶点依次用Ai,Az,A3,A4,...

表示，则顶点A55的坐标是()

A.(13,13)B.(-13,-13)C.(14,14)D.(-14,-14)

yk

练习4-2如图，在一单位为1的方格纸上，的44，AA3A4A，A&44…，都

是斜边在X轴上，斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形，若AAA24的顶

点坐标分别为4(2,0),4(1,-1),4(0,0),则依图中所示规律，4020的坐标为

A(1010,0)B.(1012,0)C.(2,1012)D.(2,1010)

【解析】•••各三角形都是等腰直角三角形，

，直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，

A2(1,-1)，A4(2,2),A6(1,-3),A8(2,4),A10(1,-5),A12(2,

6),...,

•.•2020+4=505,

二点A2020在第一象限，横坐标是2,纵坐标是2020+2=1010,

•••A2020的坐标为(2,1010).

故选：D.

练习4-3如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形。4凶2的直角边04在y

轴的正半轴上，且QAI=AIA2=1,以04为直角边作第二个等腰直角三角形QAM3,

以为直角边作第三个等腰直角三角形QAM4,…，依此规律，得到等腰直角

三角形0^2()17^2018＞则点^2017的坐标为

【解析】由题意知：4(0,1),4(1,1),。42=4必3=上，043=2,

•••4(2,0),

同理，AQ—2),4(0,—4),4(一4,一4),4(一8,0),4(一8,8),4(0,16)……

每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内，2017+8=252……1,

即点Azo”在y轴正半轴上，横坐标为0,

各点纵坐标的绝对值为：2。,2。⑵⑵2,22,23,23,……

2017-2=1008...1,

可得点A20I7的纵坐标为：2回8,

故答案为(0,21。。8).

练习4-4如图，边长为1的菱形ABCO中，ZDAB=60°.连接对角线AC,以AC

为边作第二个菱形ACGOi,使NOiAC=60。；连接AG,再以AG为边作第三个

菱形AGQ02,使N£MG=60。；…，按此规律所作的第〃个菱形的边长

为

【解析】•••四边形ABC。是菱形ZDAB=60°,

：.AB=BC=1,NACB=NC4B=30。,

:.AC=坦AB=M,

同理可得：ACi=j3AC=(6)2,AC三币AC\=30=(Q)3,……

第〃个菱形的边长为：(由广，

故答案为：(石广.

练习4-5如图，在一个单位为1的方格纸上，2\44243,44以以5,4454/17,...,

是斜边在%轴上、斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形.若△4A2A3

的顶点坐标分别为4(2,0),A2(l,-1),4(0,0),则依图中所示规律，A2019的

横坐标为()

【解析】观察图形可知，奇数点在x轴上，偶数点在象限内，

所以A2019在x轴上，

Ai,4,49,43……，4"_3在x正半轴，4〃-3=2019,“=505.5,所以A2019

不在x正半轴上；

A3(0,0),\i(-2,0),Ai(-4,0),A15(-8,0)...,

3=4x0+3,7=4xl+3,11=4x2+3,15=4x3+3,....,2019=4x504+3,

/.-2x504=-1008,

即A2019的坐标为(—1008,0),

故答案为：A.

练习4-6如图所示,把多块大小不同的30。角三角板,摆放在平面直角坐标系中，

第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2,0）,ZABO

=30°,第二块三角板的斜边BBi与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点

Bi,第三块三角板的斜边B\B.与第二块三角板的斜边BB\垂直且交y轴于点&,

第四块三角板斜边以氏与第三块三角板的斜边以&垂直且交x轴于点按此

规律继续下去，则线段052020的长为（）

A.2x(V3)2020B.2x(V3)2021C.(73)2020D.(«)2021

【解答】解：由题意可得，

*/OB=OA・tan60°=2x«=2«,

：.B(0,273)，

VOB]=6)B»tan60°=2>/3xV3=2x(^3)2>

：.Bi(-2x(V3)2,0),

V6)B2=OBi4an60o=2x(5/3)3,

：.B2(0,-2x(V3)3),

4

V<?B3=OB2*tan60°=2x(V3),

.•.&(2x(V3)4,0),

二线段O&02。的长为2x（«）2021

故选：B.

练习4-7如图，一动点在第一象限及x轴、y轴上运动，且每秒移动一个单位长

度，在第1秒，它从原点运动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向运动[即(0,

0)—(0,1)一(1,1)-(1,0)一…],那么第35秒时该点的坐标是()

A.(5,1)B.(0,5)C.(5,0)D.(5,5)

/口=

'LJI____

【解析】C

练习4-8如图，正方形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，且A(-2,0),E(-3,0),

点尸从点A出发，在正方形ABCO的边上沿上A-3-C-。-A的方向以每秒及

个单位长度的速度运动，在总的上方作等腰直角三角形且PE=EF,则

第2019秒时，点尸的坐标为()

A.(-2,4)B.(-2,2)C.(-4,2)D.(-4,4)

【解析】在正方形ABCD中，A点坐标(-2,0),

正方形ABCD边长AB=2也，

又二•点P沿着A-B-C-D-A的方向，以每秒行个单位长度运动2019秒，

，点P所经过路程为20198，此时P点运动到BC中点，

...点P坐标为(1,1),点E坐标为G3,0),且APEF为等腰直角三角形，

•••点F坐标为(-4,4),

故选：D.

练习4-9如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形。4A2的直角边04在y轴

的正半轴上，且。4/=442=/,以。42作第二个等腰直角三角形OA2A3,以。A3作

第二个等腰直角三角形。43A4,……，依此规律，得到等腰直角三角形OA20"A2020,

则4020的坐标.

练习4-10如图，四边形ABC。是正方形，曲线D4囚…是由一段段90度

的弧组成的.其中：［