菱形与梯形-中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

菱形与梯形-中考数学一轮复习精讲+热考

题型（专题测试）（解析版）

专题27菱形与梯形

（满分：100分时间：90分钟）

班级姓名学号分数

一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）

1.（内蒙古呼和浩特市•中考真题）命题①设.迨。的三个内角为A、B、C且

燃X嘎瑞翁白心令扁萨金管啥箴，则汽、，门、，中，最多有一个锐角；②顺次连接

菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始

评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，

中位数和方差都不发生变化.其中错误命题的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3

个

【答案】B

【分析】

①设a、尸、/中，有两个或三个锐角，分别判断有两个锐角和有三个锐角时

矛盾，并且说明有一个锐角的情况存在即可；②利用中位线的性质和矩形的判定

可判断；③根据评分规则和中位数、方差的意义判断.

【详解】

解：①设a、,6、/中，有两个或三个锐角，

若有两个锐角，假设a、，6为锐角，

贝i」A+B〈90°,A+CV90。，

•,.A+A+B+C=A+180°<180°,

.•.A<0°,不成立,

若有三个锐角，同理，不成立，

假设A<45°,B<45°,贝iJa<90°,

•••最多只有一个锐角，故命题①正确；

②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,

，HG〃EF,HE〃GF,

二四边形EFGH是平行四边形，

VAC1BD,

/.HE1HG,

...四边形EFGH是矩形，故命题②正确;

③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，

但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所

变化，

故命题③错误；

综上：错误的命题个数为L

故选B.

2.（黑龙江牡丹江市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，0是菱形WTO

对角线：的中点，.少.轴且.二…将菱形绕点。旋转，

使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（)

A.心内B.（2.-,.

.ij/-.：：D.U：二/或i：

【答案】D

【分析】

分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求

解.

【详解】

解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，

A、B、C均在坐标轴上，如图，

VZBAD=60°,AD=4,

•,.ZOAD=30°,

/.0D=2,

,"AO=_J，=OC，

...点C的坐标为（0,-八6）,

同理：当点C旋转到y轴正半轴时,

点C的坐标为（0,：4），

二点C的坐标为（0,或（0,二「），

故选D.

3.（浙江绍兴市•中考真题）如图，点。为矩形的对称中心，点£从点

/出发沿向点8运动，移动到点8停止，延长&9交。于点石则四边形

/人:尸形状的变化依次为（）

A.平行四边形一正方形一平行四边形一矩形

B.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形

C.平行四边形一正方形一菱形一矩形

D.平行四边形一菱形一正方形一矩形

【答案】B

【分析】

根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形形状的变化情况.

【详解】

解：观察图形可知，四边形卞形状的变化依次为平行四边形一菱形一平行四

边形一矩形.

故选：B.

4.（江苏南通市•中考真题）下列条件中，能判定口48。是菱形的是（）

A.AC=BDB.ABX.BCC.AD=BDD.AC

LBD

【答案】D

【分析】

根据菱形的判定条件即可得到结果；

【详解】

解：•••四边形力8。是平行四边形，

...当时，四边形力8。是菱形；

故选：D.

5.（西藏中考真题）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形

的是（）

A.ZADB=90°B.OA=OBC.OA=OCD.AB

=BC

【答案】D

【分析】

根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可.

【详解】

A、平行四边形ABCD中，ZADB=90°,

不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；

B、•.•四边形ABCD是平行四边形，

.,.OA=OC,OB=OD,

VOA=OB,

/.AC=BD,

二平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合

题意；

C、・・・四边形ABCD是平行四边形，

/.OA=OC,不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意：

D、•.•四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,

二平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；

故选：D.

6.（内蒙古呼伦贝尔市•中考真题）如图,在：中，SD岸分别是边（-S

上的中线，纥一UE于点点“〈分别是"—.的中点，若，1ST,X-6,

则四边形DEYX的周长是（）

A.14B.20C.22D.28

【答案】B

【分析】

根据已知条件证明四边形MNDE为菱形，结合OB和OC的长求出MN,OM,

OE,计算出EM,可得结果.

【详解】

解：:BD和CE分别是AABC的中线，

.,.DE=：BC,DE〃BC,

和N分别是OB和OC的中点，OB=8,0c=6,

.•.MN=：BC,MN〃BC,OM=4-OB=4,ON=4-OC=3,

四边形MNDE为平行四边形，

VBD1CE,

平行四边形MNDE为菱形，

.,.0E=0N=3

•收=飙”闻，螂

，DE=MN=EM=DN=5,

二四边形MNDE的周长为20,

故选B.

7.（浙江台州市•中考真题）如图，已知线段AB,分别以A,B为圆心，大于「

同样长为半径画弧，两弧交于点C,D,连接AC,AD,BC,BD,CD,则下列

说法错误的是（）

A.AB平分NCADB.CD平分NACBC.AB±CDD.AB=CD

【答案】D

【分析】

根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分

一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案

【详解】

解：由作图知AC=AD=BC=BD,

四边形ACBD是菱形，

...AB平分NCAD、CD平分/ACB、AB1CD,

不能判断AB=CD,

故选：D.

8.（山东威海市•中考真题）如图，在平行四边形/8U。中，对角线孑「一.会,

.4-：。，£-6,。为〃门的中点，£为边"匚上一点，直线交CD于点F,

连结沙，,二.下列结论不成立的是（）

A.四边形小、为平行四边形

B.若"则四边形.%£；为矩形

C.若达_。则四边形露为菱形

D.若--曰，则四边形.小乩为正方形

【答案】D

【分析】

根据平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判

断即可得解.

【详解】

A.V四边形ABCD是平行四边形

:.DC

•••。为,；;C的中点

DO二RO

在士不。与△三。中

―1）0--EHU

-DO-20

'-DOr--BOE

又—f

四边形Dig；为平行四边形,

故A选项正确;

则当,4--$时，二一心

•..四边形。8为平行四边形

，四边形.旧出为矩形，

故B选项正确；

C；出一3回：0

是力8中点

,/独一十

:.DE-就-鸵

•••四边形为；£,为平行四边形

四边形.％&•为菱形，

故C选项正确；

D.当・让-13时与二三一:•.时矛盾，则。《不垂直于力8,则四边形戈.乩,不为

矩形，则也不可能为正方形，故。选项错误，

故选：D.

9.（内蒙古通辽市•中考真题）如图，「是的中线，四边形一•:二是平行

四边形，增加下列条件，能判断YE半是菱形的是（)

A.一河：B.――工C..iS-JCD."_

【答案】A

【分析】

根据菱形的判定方法逐一分析即可.

【详解】

解：A、若一%（：_顿，则AD=BD=CD=AE,•.•四边形ADCE是平行四边形，

则此时四边形ADCE为菱形，故选项正确；

B、若_D.正-式：，则四边形ADCE是矩形，故选项错误；

C、若一V〜乩，则NADC=90°,则四边形ADCE是矩形，故选项错误；

D、若卷一,话,而AB>AD,贝UAEWAD，无法判断四边形ADCE为菱形，故

选项错误.

故选A.

10.（广西来宾市•九年级三模）如图，在口中，£是8U的中点，且N/I尾

=ZDCE,则下列结论不正确的是（）

A.S&AFD=2S&EFBB.BF=DF

C.AE=DCD./AEB=/ADC

【答案】A

【分析】

根据已知条件即可推出滔△必尸,推出选项/符合题意，选项8不符合题

意；推出四边形/氏二。为等腰梯形，得出选项C。不符合题意即可.

【详解】

解：•.•平行四边形28。中，

:.XBEFSXDAF,

•••£是86•的中点，

BF-.FD=BE-.AD,

：.BF='^DF,故选项8不符合题意；

/.SWAFD=4SIEFB，故选项A符合题意；

'：AAEC=ADCE,AD//BC,

，四边形/&N为等腰梯形，

：.AAEC=AC,AE=DC,故选项U不符合题意；

•••N/EB+N板'=180。，//田/。=180。，AAEC=AC,

：.AAEB=AADC,故选项。不符合题意；

故选：4

二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

11.（江苏淮安市•中考真题）菱形的两条对角线长分别是6和8,则菱形的边

长为.

【答案】5

【分析】

根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.

【详解】

解：因为菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长为.不二=5.

故答案为5.

12.（辽宁大连市•中考真题）如图，菱形WCO中,一」.二-则73C-

【答案】】8

【分析】

利用菱形的性质可得到NBAC=NBCA=/ACD=4T，再利用三角形的内角和

定理即可求解.

【详解】

•.•四边形为菱形

...AC平分NDCB,DCAB

/.ZBAC=ZBCA=ZACD=IO:

；•在:中,ZABC=；SC-ZBAC-ZBCA=ISO-40-40c=106：

故答案为：「二。

13.（内蒙古鄂尔多斯市•中考真题）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在

第一象限内，边BC与x轴平行，A,B两点的纵坐标分别为6,4,反比例函数

y=（x>0）的图象经过A,B两点，若菱形ABCD的面积为2及，则k的值

【答案】12

【分析】

过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E,根据A,B两点的纵坐标分别为

6,4,可得出横坐标，即可表示AE,BE的长，根据菱形的面积为2、拒，求得

AE的长，在Rt^AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值.

【详解】

解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E,

•.•BC〃x轴,

AAE1BC,

•••A,B两点在反比例函数y=：(x>0)的图象，且纵坐标分别为6,4,

AA（三，6）,B（二，4）,

64

/.AE=2,BE=，-"，

46U

•.•菱形ABCD的面积为2、万，

，BCxAE=2、「，即BC=4,

*'•AB—BC~9

在RtaAEB中，BE=Jj~?"=L

.,.k=12,

故答案为：12.

14.（辽宁营口市•中考真题）如图，在菱形中，对角线/C8。交于点

O,其中。4=1,OB=2,则菱形的面积为.

【答案】4

【分析】

根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案.

【详解】

解：'：OA=1,08=2,

：.AC=2,BD=4,

二菱形的面积为；X2X4=4.

故答案为：4.

15.（陕西中考真题）如图，在菱形力8。中，48=6,N8=60°,点£在

边/。上，且/£=2.若直线/经过点£将该菱形的面积平分，并与菱形的另

一边交于点月则线段）的长为.

【答案】2『.

【分析】

过点力和点£作/3,8G于点G和”可得矩形ZGH£再根据菱

形力8。中，AB=6,N6=60°,可得8G=3,AG=3、&=EH,由题意可得,

FH=FC-HC=2-1=1,进而根据勾股定理可得）的长.

【详解】

解：如图，过点力和点营作4G，8c斤于点G和”

得矩形AGHE,

：.GH=AE=2,

•.•在菱形中，AB=6,N8=60°,

:.BG=3,AG=3「=EH,

：.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1,

•.•用平分菱形面积，

:.FC=AE=2,

：.FH=FC-HC=2-1=1,

在Rt△册/中，根据勾股定理，得

*於H-FF=7F^1=2'尸•

故答案为：2『.

三、解答题（共5小题，每小题10分，共计50分）

16.（广东广州市•中考真题）如图，工dD中，黝懒口蜀旗豳.

（1）作点〃关于的对称点匚；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕

迹）

（2）在（1）所作的图中，连接i,火，连接“；‘，交：于点》

①求证：四边形.寸二。是菱形；

②取火.的中点.：，连接。三，若。工‘，2^-10,求点上到小的距离.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析：②”.

1?

【分析】

（1）过点4做的垂线交上「于点"，在；4的延长线上截取，即

可求出所作的点.关于的对称点U；

（2）①利用盘缄瀚，一G得出利用以及

得出四边形一喈（?0是菱形；

②利用。£为中位线求出4：的长度，利用菱形对角线垂直平分得出。。的长度,

进而利用工・工0子求出.=0的长度，得出对角线，式.的长度，然后利用面积法求

出点，.到京，的距离即可.

【详解】

（1）解：如图：点C即为所求作的点；

（2）①证明：

•••.*）_.二，'「'，

乂•-4。--4。，

••.图雄嬲睡曲娜幼；

；.米一二6,

二四边形.4Uj是菱形；

②解：•.•四边形/是菱形，

AAO»CO,BG-DO,

乂

为EC的中点，

USE，

'：AO-CO,

•••DE为，4r的中位线，

0E^~,

■

-

••.iSA?»

.••菱形的边长为13,

纪，25

在三•上支力中，由勾股定理得：/=蠲售「1涕，即：翩金画二？噌，

二_'4,

设点E至广―的正』为人利用面积相等得：

*辘优解®鬻《，

曾

解得：

即三到q的距离为三

17.（湖北黄石市•中考真题）如图，反比例函数•-T的图象与正比例函

数：-：的图象相交于.」：「、8两点，点U在第四象限，BC〃x轴.

(1)求攵的值；

(2)以4、为边作菱形星《0,求。点坐标.

【答案】(1)k=2；(2)D点坐标为Q+：/,2).

【分析】

(1)根据题意，点TL：;，在正比例函数J-＞上，故将点.〕：=，代入正比例函

数:二：•中，可求出a值，点A又在反比例函数图像上，故k值可求；

(2)根据(1)中已知A点坐标，则B点坐标可求，根据两点间距离公式可以

求出AB的长，最后利用已知条件四边形ABCD为菱形，BC〃x,即可求出D

点坐标.

【详解】

(1)根据题意，点41「;，在正比例函数j二二•上，故将点此二，代入正比例函

数:二二中，得a=2,故点A的坐标为(L2),点A又在反比例函数图像上，设

反比例函数解析式为：=＞二『小，将AQ,2)代入反比例函数解析中，得k=2.

故k=2.

(2)如图，A、B为反比例函数与正比例函数的交点，故可得--二工，解得11,

T,如图，已知点A坐标为(1,2),故点B坐标为(-1,-2),根据两点间

距离公式可得AB=皤项i.博疆，根据已知条件中四边形ABCD为菱形，故

AB=AD=：v"AD〃BC〃x轴，则点D坐标为(1+：丫，«,2).

故点D坐标为(l+：v，f,2).

18.(上海中考真题)已知：如图，在菱形28。中，点£下分别在边48、

/。上，BE=DF,%的延长线交。力的延长线于点G,U尸的延长线交84的延

长线于点H.

(1)求证：XBEC-XBCH：

(2)如果求证：AG=DF.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)先证明△Q&AU8E进而得到NO8N8UE再由菱形对边。BH,

得到N〃=NOa；进而NBCE=NH即可求解.

(2)由得至U,再利用/GBC,平行线分线段成比例定

理得到包=三，再结合已知条件即可求解.

A3BC

【详解】

解：•四边形是菱形，

:.CD=CB,乙D=^B,CDAB.

,:DF=BE,

.・"/△gSAS),

:.乙DCF二乙BCE.

:CDBH,

:.乙H=乙DCF,

:.乙BCE=AH.且N8=N8,

:.&BEJBCH.

©:BR=ABAE,

:AGBC,

•:DF=BE,BC=AB,

:.BE=AG=DF,

^AG=DF.

19.（湖北咸宁市中考真题）如图，在二二mcr中，以点8为圆心，，：;」长为半

径画弧，交次;于点E,在二上截取疔-3E,连接守.

（1）求证：四边形「.是菱形；

（2）请用无刻度的直尺在二一后UP内找一点"，使一七叼-£：（标出点户的位

置，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据四边形ABCD为平行四边形，得出AF〃BE,由作图过程可知AF=BE,

结合AB=BE即可证明；

（2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接AE和BF,交点即为点P.

【详解】

解：（1）根据作图过程可知：AB=BE,AF=BE,

•••四边形ABCD为平行四边形，

，AF〃BE,

VAF=BE,

四边形ABEF为平行四边形，

VAB=BE,

平行四边形ABEF为菱形；

（2）如图，点P即为所作图形，

•••四边形ABEF为菱形,则BF_LAE,

AZAPB=90°.

20.（福建中考真题）如图，点E二分别在菱形的边丁，上，且

tE-3F.

求证:.

【答案】详见解析

【分析】

根据菱形的性质可知AB=AD,zB=zD,再结合已知条件BE=DF即可证明

幽除曲瞬后即可求解.

【详解】

解：证明：・••四边形.妗CD是菱形,

菱形与梯形

【知识要点】

知识点一菱形

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：

1、菱形具有平行四边形的所有性质；

2、菱形的四条边都相等；

几何描述：•四边形ABCD是菱形/.AB=BC=CD=AD

3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。

几何描述：•••四边形ABCD是菱形

，AC_LBD,AC平分/BAD,CA平分/BCD,BD平分NCBA,DB平分NADC

I)

B

3、菱形.既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交

点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。

菱形的判定：

1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、四条边相等的四边形是菱形。

3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD,则菱形的面积公式是：$=底

义高，S=-xACxBD

r2

知识点二梯形

梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直

角的梯形叫直角

梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形

等腰梯形性质：

1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；

2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；

3）等腰梯形的两条对角线相等；

4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。

等腰梯形判定：

1）两腰相等的梯形是等腰梯形；

2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

梯形的面积公式：面积=1x（上底+下底）X高

解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；

2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中;

3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形；

4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线

于一点，构成三角形.并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.

5）平移腰。过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形。

考查题型一探索菱形的性质

典例1.（湖北黄冈市•中考真题）若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的

度数之比为（）

A.4:1B.5:1C.6:1D.7:1

变式1-1.（甘肃金昌市•中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的

菱形构成，根据实际需要可以调节力E间的距离，若4E间的距离调节到60。机，

菱形的边长AB=2（）cm,则ND钻的度数是（）

I）

於六

I«小（掣*

w

H

A.90°B.100°C.120°D.150°

变式1-3.（贵州贵阳市•中考真题）菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱

形的周长是（）

A.5B.20C.24D.32

变式1-4.（黑龙江鹤岗市•中考真题）如图，菱形ABCO的对角线AC、3。相

交于点。，过点。作于点H,连接OH,若。4=6,OH=4,则菱形

A5CD的面积为（）

A.72B.24C.48D.96

变式1-4.（山东日照市•中考真题）已知菱形的周长为8,两邻角的度数比为L

2,则菱形的面积为（）

A.8百B.8C.46D.273

变式1-5.（贵州遵义市•中考真题）如图，在菱形A8CD中，AB=5,AC=6,过

点。作。ELBA,交班的延长线于点E,则线段DE的长为（）

121824

A.—B.—C.4D.—

555

考查题型二证明四边形是菱形

典例2.（湖南娄底市•中考真题）如图，ABC。中，BC^IAB,ABA.AC,

分别在边8C、AD上的点E与点F关于4c对称，连接EF、AE、CF、DE.

（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；

（2）求证：AEYDE

变式2-1.（山东滨州市•中考真题）如图，过DABCD对角线AC与BD的交点E

作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC.CD、DA于点P、M、Q、N.

（1）求证：PBEgQDE；

（2）顺次连接点P、M、Q、N,求证：四边形PMQN是菱形.

变式22（江苏宿迁市•中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F在AC上,

且AF=CE.求证：四边形BEDF是菱形.

考查题型三菱形性质与判定的综合

典例3.（黑龙江绥化市•中考真题）如图，在心.ABC中，8为斜边A6的中

线，过点。作DELAC于点E,延长。E至点F,使印=DE,连接ARCE,点

G在线段上，连接EG,且NCDE+NEGC=18（）o,EG=2,GC=3.下列结论:

①DE.BC；②四边形DBCF是平行四边形；③b=EG；④BC=2布.其中

正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式3-1.（内蒙古中考真题）如图，在中，NACB=90。，BC>AC,

按以下步骤作图：（1）分别以点AB为圆心，以大于的长为半径作弧，两

弧相交于M,N两点（点M在的上方）；（2）作直线MN交A8于点0,交BC

于点D；（3）用圆规在射线上截取=连接A£）,AE,8E,过点。作

OF±AC,垂足为F,交AD于点G.下列结论：

①CD=2GF；②BEP-82=m2；③SB°E=2SMG；④若AC=6,O尸+04=9,

则四边形AD5E的周长为25.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式32（四川南充市•中考真题）如图，面积为S的菱形ABCD中，点。为对

角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EFJ_BD于F,EG_LAC与G,

则四边形EF0G的面积为（）

变式3-3.（广东中考真题）已知菱形ABC。，E,F是动点,边长为4,

BE=AF,ZBAD=UQ°,则下列结论正确的有几个（）

①\BEC也MFC；②AECF为等边三角形

（3）ZAGE=ZAFC④若AF=1,则空

GE3

A.1B.2C.3D.4

考查题型四探索梯形的性质

典例4.（广东茂名市•九年级一模）如下图所示，在梯形ABC。中，己知

AB=1cm,CD=3cm,MDO的面积为15cm2,则梯形ABCD的面积是（）c/

考查题型五梯形性质与判定的综合

典例5.（江苏南通市模拟）如图，梯形ABCD中，AD〃BC,BA=AD=DC,点E

在CB延长线上，BE=AD,连接AC、AE.

（1）求证：AE=AC；

⑵若ABLAC,F是BC的中点，试判断四边形AFCD的形状，并说明理由.

变式5-1.（上海杨浦区•九年级一模）如图，已知在梯形A8c。中，48〃CO,A8=12,

£）£2

CD=7,点E在边4。上，—过点E作EF〃阳交边8c于点F.

AE3

（1）求线段EF的长；

（2）设A3=a，AD-b，联结AF,请用「可量表不向量A/7.

变式5-2.（陕西九年级零模）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视

图如图所示，其中BA=CD,BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距

离分别为40cm、8cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm,那么横梁

EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）.

变式5-3.（景县模拟）（材料学习）

小学里已经学过：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形称为梯形，平行的

一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰.

如图（1）,在等腰三角形纸片ABC上，画底边的平行线。民可得到一个梯

形DBCE.由NB=NC,DE//3C,可知于是又

AB=AC,从而£>8=EC.

定义:像梯形DBCE,两腰相等的梯形称为等腰梯形.

几何语言：如图（1）,在梯形。8CE中，=，梯形。BCE是等腰梯

形.

图（1）

如果把图（1）的等腰三角形纸片ABC沿顶角平分线AM折叠，那么与AC重

合，由于=可知点。与点E重合，如图（）2,于是MB=MC,ND=NE.由

此，我们可以得到如下结论：

图（2）

（1）等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴，

（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等，

（3）等腰梯形的对角线相等.

（探究归纳）

利用等腰梯形与等腰三角形的内在联系，我们还可以研究：具备什么条件的梯形

是等腰梯形？

（1）如图（3）,在梯形ABC。中，AD//BC/B=4C,求证：梯形ABC。是

等腰梯形；

归纳提炼1；通过（1）的证明可知：的梯形是等腰梯形；

（2）如图（4）,在梯形ABCO中，AD"BC,AC=BD,求证：梯形ABC。是

等腰梯形.

归纳提炼2：通过（2）证明可知：的梯形是等腰梯形;

考查题型六利用辅助线解决梯形计算问题

典例6.（雷州市模拟）已知等腰梯形的大底等于对角线的长，小底等于高，则

该梯形的小底与大底的长度之比是（）

A.3:5B.3:4C.2：3D.1:2

变式6-1.（石家庄市模拟）如图所示，于点A,CD_L/4D于点。，ZC

=120°.若线段8c与CD的和为12,则四边形ABCD的面积可能是（）

A.2473B.30百C.45D.

2

变式6-2.（湖北随州市模拟）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四

边形，则这个四边形是等腰梯形的概率是（）

21

A.1B.—C.一D.0

55

变式6-3.（江苏苏州市模拟）如图,在梯形A8CD中，AD//BC,EF是梯形48co

的中位线，若ABEF的面积为4cm2,则梯形A8CD的面积为（）

C.16cm2D.20cm2

变式6-4.（甘肃兰州市•九年级期末）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则

等腰梯形的锐角为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

变式6-5.（四川成都市期末）如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,ZABC

=ZC,BD平分NABC,AD=2,ZC=60°,则BC=.

D

变式66（山东荷泽市模拟）已知：等腰梯形ABCD外切于为。0,AD〃BC,

若AD=4,BC=6,AB=5,则。0的半径的长为—.

菱形与梯形

【知识要点】

知识点一菱形

菱■而定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：

1、菱形具有平行四边形的所有性质；

2、菱形的四条边都相等；

几何描述：•••四边形ABCD是菱形.\AB=BC=CD=AD

3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。

几何描述：•••四边形ABCD是菱形

，AC_LBD,AC平分NBAD,CA平分NBCD,BD平分NCBA,DB平分NADC

3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交

点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。

菱形的判定：

1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、四条边相等的四边形是菱形。

3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD,则菱形的面积公式是：$=底

-：AC-

义局，S=-

知点—

梯信而定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直

角的梯形叫直角

梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形

等腰梯形性质：

1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；

2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；

3）等腰梯形的两条对角线相等；

4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。

等腰梯形判定：

1）两腰相等的梯形是等腰梯形；

2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

梯形的面积公式：面积=°X（上底+下底）X高

解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；

2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；

3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形；

4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线

于一点，构成三角形.并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.

5）平移腰。过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形。

6）过上底中点平移两腰。

【考查题型】

.岸索要先的性腰

・证明岫形墨要形

♦要形性88与初定的给台

专题27菱形与梯形学自侬

•挣蒙棒形的性8!

.2形性！B与轲疣的绿合

.利脚I助战第决拂弦计算向塞

考查题型一探索菱形的性质

典例1.（湖北黄冈市•中考真题）若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角

的度数之比为（）

A.I1B.?1C.61D.-1

【答案】B

【提示】如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2,利用菱形的性质得到AB=4,

利用正弦的定义得到/B=30°,则NC=150°,从而得到NC：NB的比值.

【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2,

•••菱形的周长为16,

；.AB=4,

在RtZ\ABH中，sinB=J=二=±,

In•、

・SSQ•

.,.ZB=30°,

VAB/7CD,

/.ZC=150°,

AZC：NB=5：1.

故选：B.

变式1-1.（甘肃金昌市•中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的

菱形构成，根据实际需要可以调节•,二间的距离，若一间的距离调节到60■,

菱形的边长.姐=2%…,则.D4.S的度数是（）

/t

K

A.9/B.C.；20DD.15（P

【答案】C

【提示】如图（见解析），先根据菱形的性质可得幽E豳微耀器，再根据全

等的性质可得般管5辎吕瓢融，然后根据等边♦角形的判定与性质可得

多

^-60%最后根据平行线的性质即可得.

【详解】如图，连接AC

•••四边形ABCD是菱形

X魂E解〜踪碟幽敏0

•.•如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，aE-包;…

£密N忆段前^

堪

..15-SC-

二白C是等边三角形

..d®

:.O3C

•一D四-】即-4--60。_120：

故选：C.

变式1-3.（贵州贵阳市•中考真题）菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱

形的周长是（）

A.5B.20C.24D.32

【答案】B

【提示】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股

定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.

【详解】解：如图所示，根据题意得AO=；N-J,BO=|S

△.

•.•四边形ABCD是菱形，

/.AB=BC=CD=DA,AC±BD,

...△AOB是直角三角形，

,AB=^耨串财x，履营，

此菱形的周长为：5x4=20.

故选：B.

变式1-4.（黑龙江鹤岗市•中考真题）如图，菱形40的对角线.:相

交于点。，过点D作任于点；，连接。三，若必-5,--，则菱形

四的面积为（）

B

D

A.72B.24C.48D.96

【答案】C

【提示】根据菱形的性质得。为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积.

【详解】解：•.•四边形.步是菱形,

•••注！一。U，OB-OD，JCSD,

■••»♦»*■•■

•**HD=9产，

:.2D二20E，

•（）!!一1，

・•・初-3，

•・S-6，

：•dC=1二，

...菱形I-■（:）的面积L翼.辎鼻宽魂殿,辗.

故选：C.

变式1-4.（山东日照市•中考真题）已知菱形的周长为8,两邻角的度数比为L

2,则菱形的面积为（）

A.8,；3B.8C.4,；3D.2、万

【答案】D

【提示】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果.

【详解】解:如图，［两邻角度数之比为1：2,两邻角和为180°,

：.ZABC=60°,ZBAD=120°,

•.•菱形的周长为8,

...边长48=2,

...菱形的对角线/C=2,BD=2x2sin60°=2，万,

.•.菱形的面积=:ACBD=\x2x2、万=2、万.

故选：D.

变式1-5.（贵州遵义市•中考真题）如图，在菱形中，AB=5,/U=6,

过点。作DELBA,交BA的延长线于点E,则线段OF的长为（）

E

12C元「“C

AA-TB-TU4D-T

【答案】D

【提示】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等

面积法求菱形的高:%即可.

【详解】解：记AC与BD的交点为0,

二菱形.应力,，北二良

\

碗H愣1岁码

/.菱形的面积65-：二，

­.菱形的面积=.4,以

故选D.

考查题型二证明四边形是菱形

典例2.（湖南娄底市•中考真题）如图，二.选匚「中，三（?一二3,」f_二C，

分别在边三E、上的点£与点尸关于,对称，连接出、；.：.、CE、.

（1）试判定四边形.WXF的形状，并说明理由;

（2）求证：£一比

【答案】（1）四边形为菱形，理由详见解析；（2）详见解析

【提示】

（1）根据题意可证明圆&螂®徽藤，再由露鼻蜘鲜以蜷可得到四边形

一正CF是菱形；

（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解.

【详解】

解：（1）四边形.正仁:为菱形，理由如下

由二一少UP可得aDBC，从而一

设X'与M相交于点O

♦.•点£与点尸关于"对称

在」OF和二COE中

ZGi?=-ACE

fOE=OF

；_QF=_C0£

•皿踊簟的

•••3-，大，又咨螟翳。

二四边形.正为菱形，

(2)'：.iB-.lC，据⑴EF.<C

又O.l-OC^BE-C£4，“一少

11

瓯三曲kX函就Fa踊

鬻段

•'•AE^DE-

变式2-1.(山东滨州市•中考真题)如图，过nABCD对角线AC与BD的交点

E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC.CD、DA于点P、M、Q、N.

(1)求证：PBE会一QDE；

(2)顺次连接点P、M、Q、N,求证：四边形PMQN是菱形.

BMC

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【提示】(1)由ASA证△PBEgZXQDE即可；

(2)由全等三角形的性质得出EP=EQ,同理△BME^^DNE(ASA),得出

EM=EN,证出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQ_LMN,即可得出结

论.

【详解】

(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

/.EB=ED,AB〃CD,

/.ZEBP=ZEDQ,

在aPBE和△QDE中，

：*££!=£D,

二口火

/.△PBE^AQDE(ASA)；

(2)证明：如图所示：

VAPBE^AQDE,

，EP=EQ,

同理：^BME丝Z\DNE(ASA),

.\EM=EN,

四边形PMQN是平行四边形,

VPQ1MN,

...四边形PMQN是菱形.

变式2-2.（江苏宿迁市•中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F在AC

上，且AF=CE.求证：四边形BEDF是菱形.

【答案】见解析

【提示】

由正方形的性质可得AB=AD=CD=BC,ZDAE=ZBAE=ZBCF=ZDCF=45°,

由"SAS"可证△ABEgAADE,ABFC^ADFC,AABE^ACBF,可得

BE=BF=DE=DF,可得结论.

【详解】

•••四边形ABCD是正方形，

.•.AB=AD=CD=BC,ZDAE=ZBAE=ZBCF=ZDCF=45°,

在ZSABE和aADE中，

/.△ABE^AADE(SAS),

，BE=DE,

同理可得△BFCgZ\DFC,

可得BF=DF,

VAF=CE,

.•.AF-EF=CE-EF,即AE=CF,

在ZXABE和4CBF中，

.15-BC

?-_5CF,

'AE-CF

/.△ABE^ACBF（SAS）,

，BE=BF,

.,.BE=BF=DE=DF,

四边形BEDF是菱形.

考查题型三菱形性质与判定的综合

典例3.（黑龙江绥化市•中考真题）如图，在三「T中，CD为斜边的中

线，过点。作区TC于点£延长）.至点尸，使连接了。二，

点G在线段上，连接EG，且^»皆&^0嬲虞瑜厘惠翎启交下列结

论：①。F-：；②四边形DS0F是平行四边形；③3-④"-入土其

中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4

个

【答案】D

【提示】根据直角三角形的性质知DA=DB=DC,根据等腰三角形的性质结合菱

形的判定定理可证得四边形ADCF为菱形，继而推出四边形DBCF为平行四边

形，可判断①②；利用邻补角的性质结合已知可证得NCFE=/FGE,即可判断

③；由③的结论可证得△FEG'AFCD,推出袋金簿，即可判断④.

【详解】•••在我亡；£。中，CU为斜边“S的中线，

/.DA=DB=DC.

•••比_aC于点£且

.-.AE=EC,

四边形ADCF为菱形，

.,.FC//BD,FC=AD=BD,

二四边形DBCF为平行四边形，故②正确；

.\DF=BC,

/.DE=；BC,故①正确；

个

•.•四边形ADCE为菱形，

，CF=CD,

/.ZCFE=ZCDE,

••,/CDE+NEGC=180»,而NFGE+NEGC=180>,

...NCDE=NFGE,ZCFE=ZFGE,

，EF=EG,故③正确;

VZCDF=ZFGE,ZCFD=ZEFG,

.,.△FEG-AFCD,

FD-

ABC=DF_j,/,故④正确；

综上，①②③④都正确，

故选：D.

变式3-1.（内蒙古中考真题）如图，在幻二TSC中,二UE-疗，EC>.1C,

按以下步骤作图：（1）分别以点-二为圆心，以大于，出的长为半径作弧，两

弧相交于X〈两点（点例在h；的上方）；（2）作直线交于点O,

交不.于点