252圆与圆的位置关系（教学设计）高二数学选择性（人教A版2019）

2.5.2圆与圆的位置关系教学设计教学目标掌握圆与圆的位置关系及判定方法，培养数学抽象的核心素养能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，培养数学运算的核心素养能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，培养逻辑推理的核心素养教学重难点重点：能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．难点：能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，培养逻辑推理的核心素养学情分析与教材分析学情分析：本节课之前学生也已经学习了点与圆、直线与圆的位置关系的判断，掌握了根据图像特征得出判断点与圆、直线与圆位置关系的方法，因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，从这个角度说，新课的引入会比较容易和顺畅。教材分析：本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆与圆的位置关系。本节课是《人教A版必修二》的第四章第二节，这是一堂关于圆与圆位置关系判断的新授课。在本节课之前，学生已经学习了圆的方程、直线与圆位置关系的判断及简单应用。课本及教参的处理仍停留在学生初中已经学习了圆与圆位置关系的几何判断，所以并没有给出圆与圆位置关系的分类及运用圆心距与两圆半径和或差的大小来判断两圆位置关系，而事实上，现在的学生初中已经不再学习圆与圆的位置关系了，这就给本节课增大了些容量。随着直线方程、圆的方程的学习，本节课也相应地要将圆与圆的位置关系联系到圆的方程。用代数方法来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的常用方法，因此，增加了用代数方法来分析圆与圆的位置关系，这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力，其基本思想方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义。本节课的重点是研究两圆位置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关的实际问题。根据学生的基础，学习的自觉性和主动性，自主学习和探究学习能力，从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍。教学过程创设情境，引入新知教师：日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。新课探究思考：类比直线与圆的位置关系，请同学们思考：圆与圆有哪几种位置关系？学生：学生回顾已学，得到两圆位置关系，相离，外切，相交，内切，内含.预设：两个圆之间存在以下三种位置关系：(1)两圆相交，有两个公共点；(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．设计意图：通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系.探究：如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？师生：共同分析：可以类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，探究圆与圆的位置关系师生活动：（1）学生回顾初中所学圆与圆的位置关系的判定方法，类比直线与圆的位置关系的判定方法，自主归纳圆与圆的位置关系的判定方法.（2）教师巡视全班并展示部分学生的做法：预设：圆,圆,两圆的圆心距,则有位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系探究：类比直线与圆的位置关系的判断，是否可以用代数法判断呢？又如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？预设：代数法:圆,圆,两圆的方程联立得方程组,则有方程组解的情况2组1组0组两圆的公共点2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含设计意图：类比直线与圆的位置关系的研究圆与圆的位置关系.应用新知例5已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系．学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备.师生：共同分析：思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系．预设：解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组，得③由③，得．把上式代入①，并整理，得④方程④的根的判别式，所以，方程④有两个不相等的实数根，．把，分别代入方程③，得到，．因此圆与圆有两个公共点，，这两个圆相交．解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径．把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径，圆与圆的连心线的长为．圆与圆的两半径之和，两半径长之差．因为，即，所以圆与圆相交（图2.56），它们有两个公共点，．思考：画出圆与圆以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？QUOTE学生：回顾解题过程，并总结答案预设：当两圆相交时，两圆方程相减，所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线的方程。师生总结：求两相交圆的公共弦所在直线方程方法：将两圆的方程相减，消去x2与y思考：为什么不需要把圆与圆的两个公共点，的具体坐标求出来？学生：思考、交流、讨论，体会设而不求的重要数学思想；预设：本题只要判断圆与圆是否有公共点，并不需要求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根．思考：在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么?你能据此确定两圆是内切还是外切吗?如何判断两圆是内切还是外切呢?当时，两圆是什么位置关系?学生：与同桌讨论和思考，尝试着得出答案.预设：当时，它说明两个圆只有一个公共点，两圆相切但无法确定是内切，还是外切；当时，它说明两个圆没有公共点，两个圆相离，但无法确定是外离，还是内含.追问：如何判断两圆是内切还是外切（是外离还是内含）？学生：几何法跟踪练习：（1）代数法判断圆与圆的位置关系，若有公共点，求出公共点的坐标．师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；预设：依题意，联立方程组，将两方程相减并化简得，把代入第一个方程得到，解得，，从而，．所以圆与相交于两点与．（2）几何法判断圆与圆的位置关系，若相交，求出公共弦所在直线的方程．师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；预设：圆，即，所以，圆，即，所以，则，所以，即圆与圆相交.两圆的方程相减得：，即所以公共弦所在直线的方程为例6已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍．试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系．师生：共同分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系．师生：给出题目后，教师通过以下问题引导学生思考：（1）如何建立平面直角坐标系？有哪些几何对象需要用坐标表示？（2）问题中的几何对象之间有哪些关系，如何用坐标进行表示？（3）说说你对动点M的轨迹及轨迹方程的理解？预设：如图2.57，以线段的中点为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．由，得，．设点的坐标为，由，得，化简，得，即．所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆（图2.57)．因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，，又QUOTE𝑟1−𝑟2<𝑃𝑂<𝑟1+思考：如果把本例中的“倍”改为“倍”，你能分析并解决这个问题吗？学生：思考、讨论、交流，分析出答案；预设：由例6同理可得，点M的轨迹方程可化为：当时，方程化为：其轨迹为以为圆心，为半径的圆，与圆相交；能力提升题型一：求两圆相交时的公共弦长例题1（1）求圆与圆的公共弦长．预设：依题意，联立方程组，将两方程相减并化简得，把代入第一个方程得到，解得，，从而，．所以圆与相交于两点与,所以圆与的公共弦长为.方法总结：代数法求公共弦长联立两圆方程，解方程组，得出两交点的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求得公共弦长.（2）求圆与圆的公共弦长.预设：变形为，圆心为，半径为，与相减得到公共弦所在直线方程，即，整理得：，圆心到直线的距离为，故公共弦长为.方法总结：几何法求公共弦长先利用两圆方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后转化为求直线被圆截的弦长，经典直角三角形法.跟踪练习：求圆：及圆：的公共弦长.方法一：依题意，联立方程组，将两方程相减并化简得，把代入第一个方程得到，解得，，从而，，．所以圆与相交于两点与,所以圆与的公共弦长为.方法二：由题意圆：，即圆：，它的圆心、半径分别为，圆：及圆：的方程相减得，公共弦所在直线方程为：.而圆心到直线的距离为，且，所以两圆的公共弦长为.题型二：公切线条数问题例题2（1）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝．预设：因为两圆只有一条公切线，所以两圆位置关系为内切，圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，|C1C2|＝.所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.（2）已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的公切线条数是．预设：圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为3，则两圆的圆心距为，两圆外切两圆公切线的条数为3条．方法总结:两圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；(2)两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；(3)两圆相交时，只有2条外公切线；(4)两圆内切时，只有1条外公切线；(5)两圆内含时，无公切线．由圆与圆的位置关系，可以确定公切线的条数，由公切线的条数，可以判断圆与圆的位置关系。题型三：根据圆与圆的位置关系求参数范围例题3已知圆，圆．试求为何值时，两圆：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．预设：（1）由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径；若两圆内切，则，即，又，；若两圆外切，则，即，又，；若两圆相切，则或.（2）若两圆相交，则，即，又，，即当时，两圆相交.（3）若两圆外离，则，即

，又，，即当时，两圆外离.（4）若两圆内含，则，即，又，，即当时，两圆内含.方法总结：根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系（几何法），由此可构造方程或不等式求得结果.课堂小结随堂限时小练1．圆与圆的交点坐标为（

）A．和B．和C．和 D．和【详解】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以两圆的交点坐标为和,故选:C2．判断下列两个圆的位置关系：(1)；(2)．【详解】（1）由方程可知圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，因此两圆的圆心距，又因为，所以，故两个圆相交．（2）将两圆的方程化为标准方程，分别为，，由此可知圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，因此两圆的圆心距，又因为，所以，所以两圆内切．3．已知圆与圆.(1)求证：圆与圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程.【详解】（1）将圆：化为标准方程为，，，圆的圆心坐标为，半径为，，，两圆相交；（2）由圆与圆，将两圆方程相减，可得，即两圆公共弦所在直线的方程为.4．已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则【详解】圆的方程为，即①，又圆：②，②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为圆的圆心到直线的距离，所以．故答案为:.5．已知圆，圆，两圆公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【详解】圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，圆心距，，所以两圆相外切，公切线条数是3条.故选：C6．已知圆，圆，若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【详解】圆的方程可化为，则圆心为，半径；圆的方程可化为，则圆心为，半径.圆与圆有公共点，，，解得.故选：C课后作业布置作业1：完成教材：第98页练习1,2,3作业2：配套辅导资料对应的《圆与圆的位置关系》课后作业答案教科书习题2.5第98页第7，8，10题.练习（第98页）1．已知圆，圆，判断圆与圆的位置关系．1．解：圆的圆心坐标为，半径；圆的标准方程为，圆心坐标为，半径．因为，，所以，所以圆与圆外切．2．已知圆，圆，证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程．2．证明：联立两圆的方程QUOTE，得，，即．把代入，得．因为根的判别式，所以方程有两个实数根．因此圆与圆相交．由前面的解法可知，圆与圆的公共弦所在直线的方程为．习题2.5（第98页）1．判断直线与圆的位置关系．如果有公共点，求出公共点的坐标．1．解：（方法1）因为圆心到直线的距离，圆的半径长是10，所以直线与圆相切．圆心与切点连线所在直线的方程为．解方程组，得，因此，切点坐标是．（方法2）联立得方程组，消去，得，解得，所以，所以直线与圆有且只有一个公共点，所以直线与圆相切．2．求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：（1）圆心为，且与直线相切；（2）圆心在直线上，半径为2，且与直线相切；（3）半径为，且与直线相切于点．2．解（1）因为圆与直线QUOTE相切，所以圆心QUOTE到直线的距离即为圆的半径，即QUOTE，所以圆心为，且与直线QUOTE相切的圆的方程是．（2）因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为．因为圆的半径为2，且与直线相切，所以，解得或．所以圆心坐标为或．所以圆的方程为或．（3）设圆心坐标为，则圆心与点的连线垂直于直线，且圆心到直线QUOTE的距离等于半径，所以QUOTE，即QUOTE，解得，，或，．所以圆的方程为或．3．求直线被圆截得的弦的长．3．解（方法1）设直线与圆相交于，．把直线的方程与圆的方程联立，消去，得．根据一元二次方程根与系数的关系，有，．直线被圆截得弦长的长为（方法2）把圆的方程配方化成标准形式，得．圆心的坐标是，半径．圆心到直线的距离QUOTE，所以QUOTE．4．求圆心在直线上，与x轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程．4．解题提示：（1）圆心在直线上，其坐标满足方程；（2）圆与x轴相切，其半径为圆心纵坐标的绝对值；（3）给定弦长，利用公式．解：设所求圆的方程为，圆心到直线的距离，依题意，有，解此方程组，得，，或，，QUOTE．所以，所求圆的方程有两个，它们分别是或QUOTE．5．求与圆关于直线对称的圆的方程．5．解题提示：求解圆关于已知直线对称的圆的方程时要注意：（1）圆的半径不变；（2）两圆心关于已知直线对称．解：把圆C的方程化成标准形式，得，圆心坐标是．设与圆心关于直线对称的点的坐标是，则有，解此方程组，得，．所以与圆关于直线对称的圆的方程是．6．正方形的边长为，在边上取线段，在边的延长线上取．试证明：直线与的交点位于正方形的外接圆上．6．解：以正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意知，，，．所以，．所以直线的方程为，即．直线的方程为QUOTE，即．由QUOTE，解得，，即点的坐标为．（方法1）因为正方形的外接圆圆心为原点，半径为，且，所以点在正方形的外接圆上．（方法2）因为正方形的外接圆方程为，且，即点的坐标满足圆的方程，所以点在正方形的外接圆上．（方法3）易知点的坐标为，所以，所以QUOTE，所以，点在以为直径的圆上，即点在正方形的外接圆上．7．求经过点以及圆与交点的圆的方程．7．解：（方法1）如图．联立方程组QUOTE，解此方程组得，或，．即两圆交点为QUOTE或QUOTE．故线段的中点坐标是，直线的斜率．所以线段的垂直平分线的方程是．又线段的垂直平分线的方程是（x轴）．设两垂直平分线的交点为．把代入，得，所以圆心的坐标是，半径．所以所求圆的方程为，即QUOTE．（方法2）设经过圆与交点的圆的方程为QUOTE①．把点的坐标代入①式，得，解方程，得．把QUOTE代入方程①并化简得．所以经过点以及圆QUOTE与圆QUOTE的交点的圆的方程为QUOTE．8．求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程．8．解：（方法1）如图，设圆和圆相交于点，．解方程组QUOTE，得，或．所以，．因此弦的垂直平分线的方程是．将与联立，解得，QUOTE．设所求圆圆心为，则其坐标是．点与点的距离QUOTE．故所求圆的方程为，即．（方法2）设经过圆QUOTE和圆交点的圆的方程为QUOTE，即．其圆心坐标是．因为圆心在直线上，所以有，解得．所以所求圆的方程为QUOTE，即．9．求圆与圆QUOTE𝑥2+𝑦2−4𝑥+4𝑦−12=0的公共弦的长．9．解：（方法1）由方程与，消去二次项，得．把代入，得QUOTE，解得，．于是有，．所以两圆交点坐标是，，公共弦长为．（方法2）由方程与消去二次项，得QUOTE．圆心到直线的距离．如图．过点作弦的垂线，垂足是．因为圆心为的圆的半径是2，所以．在中，QUOTE，所以两圆公共弦长为．10．求经过点，且与圆相切于点的圆的方程．10．解：如图，把圆的方程化成标准形式，得，圆心坐标为，半径为，直线的方程为，弦的中点坐标是，直线的斜率是．所以线段的垂直平分线的方程是，即．设该垂直平分线与直线交于点，联立与，解得，．这就是所求圆的圆心的坐标，又因为，所以经过点，且与圆相切的于点的圆的方程是．11．如图，某台机器的三个齿轮，与啮合，与也啮合．若轮的直径为200cm，轮的直径为120cm，轮的直径为250cm，且．试建立适当的坐标系，用坐标法求出，两齿轮的中心距离（精确到1cm)．11．解：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．由已知，得，．点在以点为圆心，以圆与圆的半径和为半径的圆上，方程为①．又点在直线上，①式与联立，解得．所以点的坐标为，，两齿轮中心距离QUOTE．12．已知，，三点，点在圆QUOTE𝑥2+𝑦2=4上运动，求QUOTE𝑃𝐴2+𝑃𝐵2+𝑃𝐶2的最大值和最小值．12．解：如，设点的坐标是，则．注意到，上式化简为，由可得，所以的最大值是88，最小值是72．13．已知圆，直线，为何值时，圆上恰有三个点到直线的距离都等于l?13．解：由已知，圆的半径长是2．设在圆QUOTE上运动，圆心到直线的距离为，令，则．当时，与直线平行且距离等于1的直线是，．直线与圆QUOTE相切，切点到直线的距离是1；直线与圆相交，两个交点与直线的距离是1．因此，当时，圆QUOTE上有3个点到直线的距离都是1．同理，当时，圆QUOTE上也有3个点到直线的距离都是1．综上所述，当时，圆上恰好有3个点到直线的距离都等于1．14．如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．（1）当时，求的长。 （2）是否存在弦被点QUOTE𝑃0平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由。14．解：（1）当时，直线的斜率，直线的方程为，即．把代入，得，即，解此方程得．所以QUOTE．（2）存在弦被点平分，当弦被点平分时，．直线的斜率为．所以直线的斜率为．根据直线的点斜式方程，得直线的方程为，即．15．已知点和以点为圆心的圆．(1)画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程；(2)设圆与圆QUOTE𝑄'相交于，两点，直线，是圆的切线吗？为什么？(3)求直线的方程．15．解：如图．（1）因为，是以为圆心的圆的直径的两个端点，所以以为圆心的圆的方程是，即．（2），是圆的切线．因为点，在圆上，且是直径，所以，．所以，是圆的切线．（2）两方程，相减，得，这就是直线的方程．复习参考题2（第102页）1．选择题（1）直线的一个方向向量是（）A．B．C．D．（2）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A．B．C．D．（3）与直线关于轴对称的直线的方程为（）A．B．C．D．1．答案：（1）A（2）C（3）B解析：（1）因为直线方程为，所以该直线的一个方向向量为，故选A．（2）已知直线的方程为0，设直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为，当时，，所以，所以直线的倾斜角的范围为，故选C．（3）因为点关于轴的对称点为，所以直线关于轴的对称直线为．故选B．2．已知下列各组中的两个方程表示的直线平行，求的值：(1)，；(2)，；(3)，．2．解析：(1)，即为，当时，与直线平行．(2)当时，两直线的方程分别为和，平行；当时，的斜率，的斜率，令，得，解得．综上可得，或．(3)当时，两直线方程分别为和，两直线不平行，所以；当时，的斜率，的斜率，令，解得或，经检验，当时，两直线重合不符合题意，当时，两直线方程分别为和，平行．综上，的值为1．3．已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直，求的值：(1)，；(2)，；(3)，．3．解析：（1）直线的斜率，直线的斜率，由得，解得．（2）当时，两直线的方程分别为和，互相垂直；当时，直线的斜率，直线的斜率，由知，时，两直线不垂直．综上可知，．（3）若两直线垂直，则，解得或．4．求平行于直线,且与它的距离为的直线的方程．4．解析：设所求直线的方程为，则直线与直线间的距离，由题意得，解得或．因此，与直线平行，且与它的距离为的直线方程是或．5．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，,且它的对角线的交点是，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．5．解析：由，解得，∴平行四边形的一个顶点坐标为．设对角线的另一个端点为，由中点坐标公式得，解得，∴顶点．由平行四边形的对边平行知，其他两边所在直线的斜率，，∴这个平行四边形其他两边所在直线的方程分别为，．整理得，．6．求下列各圆的方程：（1）圆心为，且过点；（2）过，，三点；（3）圆心在直线上，且经过原点和点．6．解析：（1）因为圆心为，且过点，所以半径，所以所求圆的标准方程为．（2）设圆的方程为，因为圆过点，，，所以，解得．所以所求圆的一般方程为（3）因为圆心在直线上，所以设圆心坐标为，半径为，故圆的标准方程为因为圆经过坐标原点和点，所以，解得，所以圆的标准方程为．7．为何值时，方程表示圆?并求半径最大时圆的方程．7．解析：当，即时，方程表示圆．此时圆的半径，所以当时，取得最大值2，所以当圆的半径最大时，圆的方程为．8．判断圆与圆是否相切．8．解析：由，得，即圆心，半径，由，得，即圆心，半径，因为|，，所以，所以圆与圆相内切．9．若函数在及之间的一段图象可以近似地看作线段，且，求证：．9．证明：如图，依题意可得点，的坐标分别为，，所以直线的方程是，其中．因为，所以当时，有．因为函数在及之间的一段图象可以近似地看作线段，所以有．10．求点到直线（为任意实数）的距离的最大值．10．解析：将化为，因为为任意实数，所以，解得．即直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为．11．过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，求直线的方程．11．解析：设直线夹在直线，之间的线段是，点、的坐标分别是，，且线段被点平分，则，，所以，．不妨设点在直线上，在直线上，所以，解得，即点的坐标是，所以直线的方程为，即直线的方程为．12．已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标．12．解析：如图，设关于直线的对称点为，则，解得，即，因为，所以的方