湖北省部分重点中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学（理）试卷

湖北省部分重点中学20172018学年度下学期高一期中考试数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.的内角所对的边分别为,,,则（）A．B．C．或D．或2.若不等式的解集是，那么的值是（）A.1B.2C.3D.43.已知等差数列{an}满足a3=3，且a1，a2，a4成等比数列，则a5=（）A．5 B．3 C．5或3 D．4或34.设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为（）A．5 B．3 C．6 D．45.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣n，则（）A．Sn=2n+1﹣1 B．an=2n﹣1 C．Sn=2n+1﹣2 D．an=2n+1﹣36.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定7.在等差数列中，，则等差数列的前13项的和为（）A、24B、39C、52D、1048.设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（）A． B．8 C．9 D．109.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．510.下列函数中，最小值为4的函数是（）A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+4logx311.已知的面积为，AC＝，，则的周长等于（）A．B．C．D．12.已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前n项和为Sn，则Sn的取值范围是（）A．[1，） B．[1，] C．[，2） D．[，2]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知数列，，2，，……，则是该数列的第项．14.函数y=2﹣x﹣的值域为．15.设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．16.在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18~22题每题12分,共70分,解答题必须有解题过程）17.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设a=4，c=3，cosB=．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．18.已知不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（1）计算a、b的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．19.已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Sn．20.某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．21.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．22.已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设bn=an•2﹣n，Tn为数列{bn}的前n项和．①求Tn的表达式；②求使Tn＞2的n的取值范围．

湖北省部分重点中学20172018学年度下学期高一期中考试数学试卷答案（理科）1.C2.C3.C4.A5.B6.B7.C8.C9.D10.C11.A12.A13.714.（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）15.16.10.解：A．x＜0时，y＜0，不成立；B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．D．x∈（0，1）时，log3x，logx3＜0，不成立．故选：C．12.解：：∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），∴f（x+2）=f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，又∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，∴a1=f（1）=1，∴数列{an}是首项为1、公比为的等比数列，∴Sn=∈．故选：A．15.解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．16.解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．17.解：（1）∵a=4，c=3，cosB=．∴由余弦定理可得：b===．………5分（2）∵a=4，c=3，cosB=．∴sinB===，∴S△ABC=acsinB==．…………10分18.解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴方程ax2+bx﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；………………6分（2）由（1）得不等式为x2﹣x﹣＞0，即2x2﹣x﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根为：x1=﹣，x2=1；因而不等式x2﹣x﹣＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞1}．…………12分19.解：（Ⅰ）由题设知公差d，d≠0，由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，则=，解得：d=1或d=0（舍去），an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，故{an}的通项an=n；……6分（Ⅱ）由题意知=2n，由等比数列前n项和公式得Sn=2+22+23+…+2n==2n+1﹣2，数列{}的前n项和Sn=2n+1﹣2．…………12分20.解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，…2分整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．…4分∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．…5分（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，…7分等价于x＞25时，有解，…9分∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元…11分∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．…12分21.解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．…………6分（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．…………12分22.解：（1）∵数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*，∴（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=1（n≥2，n∈N*，），∴a2﹣a1=1，∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴an=n+1；…………4分（2）∵an=n+1；∴bn=an•2﹣n=（n+1）2﹣n，∴Tn=2×+3×+…+n+（n+1）…（1）=2×+3×+…+n+（n+1）…（2）（1）﹣（