寒假作业06等腰（等边）三角形-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业06等腰（等边）三角形的性质与判定1.等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形.腰：相等的两边；底边：不相等的那条边；顶角：两腰的夹角；底角：腰与底边的夹角.2.等腰三角形的性质与判定：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称等边对等角）.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）.判定：若一个三角形的两角相等，则这个三角形是等腰三角形（简称等角对等边）.3.等边三角形的性质与判定：等边三角形：有三条边相等的三角形是等边三角形.性质：等边三角形的三条边和三个角都相等，且每个角都等于60°.判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.判定2：有两个角是60°的三角形是等边三角形.判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.1．下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（

）A．， B．C． D．三个角的度数之比是【答案】D【解析】A．∵，，∴，∴不是等腰三角形，故选项A错误；B．∵，，∴，，，∴不是等腰三角形，故选项B错误；C．∵，，∴，∴，而无法判断与的大小，∴不是等腰三角形，故选项C错误；D．∵三个角的度数之比是，∴三个角的度数分别是，，，∴是等腰三角形，故选项D正确.故选D．2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（

）A．或 B． C． D．或【答案】D【解析】①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，由题意可知，∴；②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，由题意可知，∴．综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或，故选D．3．等腰三角形的两条边长分别为3，7，则等腰三角形的周长为．【答案】17【解析】根据题意，①当腰长为时，，不能构成三角形；②当腰长为时，，符合题意，周长，故答案为：．4．如图，为等边三角形，为边上的高，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．(1)在图①中，作的平分线；(2)在图②中，以点为顶点作三角形，使所作三角形的面积等于面积的．【解析】（1）的平分线如图1所示.

图1图2（2）如图2，（或）即为所求.5．如图，在中，，．作出边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．(1)下列结论正确的是（填序号）．①平分；②；③的周长等于；④．(2)结论正确的说明理由．【解析】（1）如图所示，结论正确的是：①②③，故答案为：①②③.（2）理由如下：∵，，∴，∵是边的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，∴BD平分，故结论①正确；∵，∴，∴，∵，∴，故结论②正确；∵，，∴的周长为：，故结论③正确；∵，∴，∵，∴，故结论④错误；综上所述：正确的结论是①②③．6．已知是上一点.(1)用无刻度的直尺和圆规作图，过点作于点，延长交延长线于（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：是等腰三角形．【解析】（1）作图如下：（2），，，，，，，而，，为等腰三角形．7．如图，在中，，且．(1)在边的延长线上求作点，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的作图条件下，若，求的度数．【解析】（1）如图所示.（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴.8．已知：如图，中，，平分，平分，过D作直线平行于，分别交，于点E，F．(1)求证：是等腰三角形；(2)求的周长．【解析】（1）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形.（2）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴的周长为：．9．如图，点D，E，F在等边的边上，且．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．【解析】（1）∵是等边三角形,∴，∵，∴，∴，∴，同理，∴是等边三角形；（2）由（1）可知：是等边三角形，∴，在和中，，∴，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∵cm，∴cm，∴．10．如图，在中，，于点D，平分，分别与交于点E，F．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．【解析】（1）∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形；（2）∵，∴，∴，由（1）知是等边三角形，，∴，∴，∴，，，．11．如图，在中，点D、E在上，．(1)从①，②中，选择一个作为条件，另外一个作为结论，构成一个真命题，并证明；条件：，结论：(填序号)．(2)在(1)的条件下，当时，求的度数．【解析】（1）条件：；结论：；证明：∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，，∴，∴．12．如图，在等边中，是边上的高，，在下列结论中：①；②；③；④．正确的是．（填序号）【答案】①②③④【解析】∵等边中，是边上的高，∴，，，，在与中，，∴，故①正确；∵，∴，在与中，，∴，故③正确；∵在与中，，∴，故②正确；同理，∵，∴，故④正确，故答案为：①②③④．13．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点P，于Q．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，，求的长．【解析】（1）∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，∴，∴；（3）由（2）知．∵，∴，∴，∴，∴，即．14．如图，过等边的顶点在内部作射线，（且），点A关于射线的对称点为点，直线交于点，连接，．(1)依据题意，补全图形；(2)在（且）变化的过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出的大小；(3)连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并给予证明．【解析】（1）补全图形如图1所示.

（2）不发生变化，；点A关于射线的对称点为点，，，是等边三角形，，，，，，，，，不发生变化，；（3）线段，，之间的数量关系为：；证明：如图，在上取一点，使，连接，，是等边三角形，，，，，，，，点A关于射线的对称点为点，，，，，，则．15．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【答案】6【解析】∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3，∴AB=AC，当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形的三边关系，可知此时构不成三角形，不符合题意，所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3时，腰AB的长为6．故答案为6．16．如图1，是等边三角形的边所在直线上一点，是边所在直线上一点，且与不重合，若，则称为点关于等边三角形的反称点，点称为反称中心．在平面直角坐标系中，(1)已知等边三角形的顶点的坐标为，点A在第一象限内，反称中心在直线上，反称点在直线上．①如图2，若为边的中点，在图中作出点关于等边三角形的反称点，并直接写出点的坐标：；②若，求点关于等边三角形的反称点的坐标；(2)若等边三角形的顶点为，，反称中心在直线上，反称点在直线上，且，请直接写出点关于等边三角形的反称点的横坐标的取值范围：_________（用含的代数式表示）.【解析】（1）①如图2，过点作，垂足为，

，，∵点的坐标为，，∵点是的中点，，，，，，，，，∴点的坐标为，故答案为：；②∵等边三角形的两个顶点为，，，．是等边三角形的边所在直线上一点，且，∴点与坐标原点重合或点在边的延长线上，如图3，若点与坐标原点重合，，．是边所在直线上一点，且与不重合，点的坐标为，如图4，若点在边的延长线上，，．

图4为等边三角形，．．．，∴点与点重合．这与题目条件中的与不重合矛盾，故这种情况不合题意，综上所述：；（2），，，，，∴点在的延长线上或在的延长线上，如图5，点在的延长线上，过点A作，过点作，图5，，，，，，，，，点的坐标为，，如图6，点在的延长线上，过点A作，图6同理可得：点的横坐标的取值范围：，综上所述：点的横坐标的取值范围是：或，故答案为：或．17．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】等腰三角形有一个内角为，∴这个等腰三角形的底角是，故选C．18．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】∵，∴，∵若，又，∴与满足“”的关系，无法证明全等，因此无法得出，故A是假命题；∵若，∴，在和中，，∴，∴，故B是真命题；若，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，故C是真命题；若，则在和中，，∴，∴，故D是真命题.故选A．19．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动s．【答案】1【解析