高考数学（理）北师大版单元提分练（集全国各地市模拟新题重组）单元检测六数列

单元检测六数列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{bn}中的b2，b3，b4，则数列{bn}的通项公式为()A．bn＝2n B．bn＝3nC．bn＝2n－1 D．bn＝3n－12．A．138B．95 C．23D．1353．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．4eq\r(2)B．6 C．7D．5eq\r(2)4．设{an}是公差不为0的等差数列，满足aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)＝aeq\o\al(2,6)＋aeq\o\al(2,7)，则该数列的前10项和S10等于()A．－10B．－5 C．0D．55．(2018届长春一模)在等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为()A．6B．7 C．8D．96．A．9B．8 C．7D．67．(2017·亳州质检)已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则eq\f(S3－S2,S5－S3)的值为()A．2B．－2 C．3D．－38．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于()A．2n－1 B．eq\f(1,2n－1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－19．(2017·长沙二模)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d不可能是()A．2B．3 C．4D．510．(2018·九江模拟)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，则使得eq\f(an,bn)为整数的正整数n的个数是()A．2B．3 C．4D．511．正项等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2017＝a2016＋2a2015.若aman＝16aeq\o\al(2,1)，则eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)的最小值等于()A．1B.eq\f(3,5) C.eq\f(3,2)D.eq\f(13,6)12．(2017·西安模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)成立，若数列{an}满足f(an＋1)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋an)))＝1(n∈N＋)，且a1＝f(0)，则下列结论成立的是()A．f(a2013)>f(a2016)B．f(a2014)>f(a2017)C．f(a2016)<f(a2015)D．f(a2013)>f(a2015)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn,2a7－a8＝5，则S11＝________.14．(2017·天津模拟)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则eq\f(a2,a1)＝______.16．(2017·吉林调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{xn}：满足xn＋1＝xn－eq\f(fxn,f′xn)，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列{xn}为牛顿数列，设an＝lneq\f(xn－2,xn－1)，已知a1＝2，xn>2，则{an}的通项公式an＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知{an}是等差数列，其中a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an－20，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．18．(12分)(2018·西安模拟)数列{an}，{bn}的每一项都是正数，a1＝8，b1＝16，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，n＝1,2,3，….(1)求a2，b2的值；(2)求数列{an}，{bn}的通项公式．19.(12分)(2017·河南息县检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋eq\f(1,2)an＝1(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝logeq\f(1,3)(1－Sn＋1)(n∈N＋)，令Tn＝eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)，求Tn.20．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且eq\f(8,a1)＋eq\f(6,a2)＝eq\f(5,a3)＞0，S6＝eq\f(63,32).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝－log2an，cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.21.(12分)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N＋，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2an)))，求数列{bn}的前n项和Sn.22．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N＋，在数列{bn}中，b1＝1，bn＋1＝2bn＋3，n∈N＋.(1)求证：{bn＋3}是等比数列；(2)若cn＝log2(bn＋3)，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,cncn＋1)))的前n项和Rn；(3)求数列{anbn}的前n项和Tn.

答案精析1．A[设成等差数列的三个正数为a－d，a，a＋d，即有3a＝12，得a＝4，根据题意可得4－d＋1,4＋4,4＋d＋11成等比数列，即5－d,8,15＋d成等比数列，即有(5－d)(15＋d)＝64，解得d＝1(d＝－11舍去)，即有4,8,16成等比数列，可得公比为2，则数列{bn}的通项公式为bn＝b22n－2＝4×2n－2＝2n.故选A.]2．B[设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝－4，a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝2a1＋8d＝16，解得d＝3，∴S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10×(－4)＋5×9×3＝95，故选B.]3．D[由a1a2a3＝5得aeq\o\al(3,2)＝5，由a7a8a9＝10得aeq\o\al(3,8)＝10，又aeq\o\al(2,5)＝a2a8，∴aeq\o\al(6,5)＝aeq\o\al(3,2)aeq\o\al(3,8)＝50，∴a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)＝5eq\r(2)，故选D.]4．C[设等差数列的公差为d(d≠0)，因为aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)＝aeq\o\al(2,6)＋aeq\o\al(2,7)，所以(a4－a6)(a4＋a6)＝(a7－a5)(a7＋a5)，所以－2da5＝2da6，于是a5＋a6＝0，由等差数列的性质知a1＋a10＝a5＋a6＝0，所以S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝0，故选C.]5．C[因为等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，|a6|＝|a11|，且d>0，所以a6<0，a11>0，a6＝－a11，a1＝－eq\f(15,2)d，有Sn＝eq\f(d,2)[(n－8)2－64]，所以当n＝8时前n项和取最小值．故选C.]6．D[由等差数列的性质可得a3＋a7＝2a5＝－6，解得a5＝－3，又a1＝－11，设公差为d,所以a5＝a1＋4d＝－11＋4d＝－3，解得d＝2，则an＝－11＋2(n－1)＝2n－13，所以Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝n2－12n＝(n－6)2－36，所以当n＝6时，Sn取最小值，故选D.]7．A[设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.因为a1，a3，a4成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，解得a1＝－4d.所以eq\f(S3－S2,S5－S3)＝eq\f(a1＋2d,2a1＋7d)＝2，故选A.]8．D[∵a1＝1，Sn＝2an＋1，∴Sn＝2(Sn＋1－Sn)，化为Sn＋1＝eq\f(3,2)Sn.∴数列{Sn}是等比数列，首项为1，公比为eq\f(3,2)，则Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1，故选D.]9．B[由题设an＝1＋(n－1)d,81是该数列中的一项，即81＝1＋(n－1)d，所以n＝eq\f(80,d)＋1，因为d，n∈N＋，所以d是80的因数，故d不可能是3.]10．D[由等差数列的前n项和及等差中项，可得eq\f(an,bn)＝eq\f(\f(1,2)a1＋a2n－1,\f(1,2)b1＋b2n－1)＝eq\f(\f(1,2)2n－1a1＋a2n－1,\f(1,2)2n－1b1＋b2n－1)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(72n－1＋45,2n－1＋3)＝eq\f(14n＋38,2n＋2)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1)(n∈N＋)，故n＝1,2,3,5,11时，eq\f(an,bn)为整数．即正整数n的个数是5.]11．C[设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题设得q2＝q＋2，解得q＝2，q＝－1(舍去)，由aman＝aeq\o\al(2,1)qm＋n－2＝16aeq\o\al(2,1)得m＋n－2＝4，所以m＋n＝6，eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,6)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,m)＋\f(1,n)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋1＋\f(4n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(1,6)(5＋4)＝eq\f(3,2)，当且仅当eq\f(4n,m)＝eq\f(m,n)，即m＝4，n＝2时“＝”成立．故选C.]12．D[令x＝y＝0，得f(0)f(0)＝f(0)，解得f(0)＝1或f(0)＝0，当f(0)＝0时，f(x)＝0与当x<0时，f(x)>1矛盾，因此f(0)＝1，令y＝－x，得f(x)f(－x)＝f(0)＝1，所以当x>0时，0<f(x)<1，设x1>x2，则f(x2－x1)>1，f(x1)f(x2－x1)＝f(x2)，所以f(x2)>f(x1)，因此y＝f(x)为减函数，从而由f(an＋1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋an)))＝1＝f(0)，得an＋1＋eq\f(1,1＋an)＝0，所以an＋2＝－eq\f(1＋an,an)，an＋3＝an，f(a2013)＝f(a2016)，f(a2014)＝f(a2017)，f(a2016)＝f(a3)＝f(－2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝f(a2)＝f(a2015)，f(a2013)＝f(a3)＝f(－2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝f(a2)＝f(a2015)，故选D.]13．55解析2(a1＋6d)－(a1＋7d)＝a1＋5d＝a6＝5，S11＝eq\f(a1＋a11,2)·11＝11a6＝55.14．3解析设等差数列的公差为d(d≠0)，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，即d(d－2a1)＝0，解得d＝2a1，则eq\f(a2,a1)＝eq\f(a1＋d,a1)＝eq\f(a1＋2a1,a1)＝3.15.eq\f(2－2101,3)解析当n为奇数时，an＋1＝(－2)n，则a2＝(－2)1，a4＝(－2)3，…，a100＝(－2)99，当n为偶数时，an＋1＝2an＋(－2)n＝2an＋2n，则a3＝2a2＋22＝0，a5＝2a4＋24＝0，…，a99＝2a98＋298＝0，又a1＝0，∴S100＝a2＋a4＋…＋a100＝eq\f(2－2101,3).16．2n解析因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))＝a(x2－3x＋2)，f′(x)＝a(2x－3)，则xn＋1＝xn－eq\f(fxn,f′xn)＝xn－eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,n)－3xn＋2)),a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xn－3)))＝eq\f(x\o\al(2,n)－2,2xn－3)，则xn＋1－2＝eq\f(x\o\al(2,n)－2,2xn－3)－2＝eq\f(xn－22,2xn－3)，xn＋1－1＝eq\f(x\o\al(2,n)－2,2xn－3)－1＝eq\f(xn－12,2xn－3)，即eq\f(xn＋1－2,xn＋1－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xn－2,xn－1)))2，又因为an＝lneq\f(xn－2,xn－1)且a1＝2，所以an＋1＝2an，即数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等比数列，且通项公式为an＝2n.17．解(1)由a10＝30，a20＝50，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝30，,a1＋19d＝50，))解得a1＝12，d＝2，所以an＝2n＋10.(2)由bn＝an－20，得bn＝2n－10，所以当n<5时，bn<0;当n＝5时，bn＝0；当n>5时，bn>0.由此可知，数列{bn}的前4项或前5项的和最小．易知T4＝T5＝－20，故数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－20.18．解(1)由2b1＝a1＋a2，可得a2＝2b1－a1＝24.由aeq\o\al(2,2)＝b1b2，可得b2＝eq\f(a\o\al(2,2),b1)＝36.(2)因为an，bn，an＋1成等差数列，所以2bn＝an＋an＋1.①因为bn，an＋1，bn＋1成等比数列，所以aeq\o\al(2,n＋1)＝bnbn＋1，因为数列{an}，{bn}的每一项都是正数，所以an＋1＝eq\r(bnbn＋1).②于是当n≥2时，an＝eq\r(bn－1bn).③将②③代入①式，可得2eq\r(bn)＝eq\r(bn－1)＋eq\r(bn＋1)，因此数列{eq\r(bn)}是首项为4，公差为2的等差数列，所以eq\r(bn)＝eq\r(b1)＋(n－1)d＝2n＋2，于是bn＝4(n＋1)2.则an＝eq\r(bn－1bn)＝eq\r(4n2·4n＋12)＝4n(n＋1)，n≥2.当n＝1时，a1＝8，满足该式，所以对一切正整数n，都有an＝4n(n＋1)．19．解(1)由Sn＋eq\f(1,2)an＝1(n∈N＋)，得Sn＝1－eq\f(1,2)an，∴当n＝1时，S1＝1－eq\f(1,2)a1，得a1＝eq\f(2,3)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)an))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)an－1))＝eq\f(1,2)an－1－eq\f(1,2)an，eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,3)，∴{an}是等比数列，且公比为eq\f(1,3)，首项a1＝eq\f(2,3)，∴an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n.(2)由(1)及Sn＋eq\f(1,2)an＝1得，1－Sn＋1＝eq\f(1,2)an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n＋1，∴bn＝logeq\f(1,3)(1－Sn＋1)＝n＋1，∴eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,n＋1n＋2)＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)，∴Tn＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)＝eq\f(n,2n＋4).20．解(1)设数列{an}的公比为q，∵a3＝a1q2，eq\f(5,a3)＞0，∴a1＞0，∵eq\f(8,a1)＋eq\f(6,a2)＝eq\f(5,a3)，∴eq\f(8,a1)＋eq\f(6,a1q)＝eq\f(5,a1q2)，∴8q2＋6q－5＝0，∴q＝eq\f(1,2)或－eq\f(5,4)，∵S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(63,32)，∴a1＝1，q＝eq\f(1,2)，∴an＝a1qn－1＝eq\f(1,2n－1).(2)bn＝－log2an＝－log221－n＝n－1，cn＝anbn＝eq\f(n－1,2n－1)，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\f(0,20)＋eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋…＋eq\f(n－1,2n－1)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(0,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n)，∴eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(n－1,2n)＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))－eq\f(n－1,2n)＝1－eq\f(1,2n－1)－eq\f(n－1,2n)＝1－eq\f(n＋1,2n)，∴Tn＝2－eq\f(n＋1,2n－1).21．解(1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx.对任意n∈N＋，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得数列{an}的