青岛 数学 八上 第2章《等腰三角形》课件

2．6

等腰三角形第2章图形的轴对称2．6.1等腰三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等腰三角形的性质等腰三角形的判定知识点等腰三角形的性质知1－讲11.性质1等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线.2.性质2等腰三角形的底边上的高、底边上的中线及顶角的平分线重合(简写成“三线合一”).已知等腰三角形的“一线”，则它具有另外“两线”的性质.知1－讲几何语言：如图2.6-1，在△ABC

中，①因为AB=AC，AD⊥BC，所以AD平分∠

BAC，BD=CD.②因为AB

＝AC，BD

＝DC，所以AD⊥BC，AD平分∠BAC.③因为AB＝AC，AD

平分∠BAC，所以BD＝DC,AD

⊥BC．知1－讲特别解读应用“三线合一”的前提必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合，若是一腰上的高与中线就不一定重合.知1－讲3.性质3等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).拓展：(1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等.(2)等腰三角形两底角的平分线相等.(3)等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.特别提醒适用条件：必须在同一个三角形中.知1－练例1[新考法方程建模法]如图2.6-2，在△ABC

中，AB=AC，点D，E

分别在AC，AB

边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠

A的度数.解题秘方：利用“等边对等角”及外角的性质将△ABC

中的三个角都用要求的∠A

来表示，利用三角形的内角和等于180°解决问题.知1－练

知1－练

知1－练1-1.[中考·滨州]如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，则∠C的大小为_________．30°

知1－练1-2.[中考·聊城]如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB

交AC

于点E，则∠FEC的度数是()A.120°B.130°C.145°D.150°B知1－练如图2.6-3，在△ABC

中，AB=AC，AD

平分∠

BAC.解题秘方：利用等腰三角形的性质——“三线合一”，将未知量转化为已知量.例2知1－练(1)若BC=3cm，求BD

的长；

知1－练(2)若∠BAD=50°，求∠B

的度数.解：因为AB=AC，AD

平分∠

BAC，所以AD⊥BC.所以∠ADB=90°.又因为∠BAD=50°，所以∠B=40°.知1－练2-1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥

BC于点D，若AB=6，CD

=4，则△

ABC的周长是()A.10B.14C.16D.20D知1－练例3如图2.6-4，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足为点M.试说明：CM=MD.解题秘方：由已知AM⊥CD

和结论CM=MD，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此连接AC，AD，构造等腰三角形.知1－练

知1－练3-1.如图，在△ABC中，AB=AC，D

是BC的中点，E，F分别是AB，AC

上的点，且AE

=AF，试说明：DE=DF．知1－练知1－练[母题教材P56例2]如图2.6-5，用尺规(无刻度直尺和圆规)作一等腰三角形，使其底边长为a，腰长为b，并作出顶角的平分线(保留作图痕迹，不必写出做法).例4知1－练解题秘方：作一个三角形，关键是确定三个顶点，由底边可确定两个顶点，以底边的两个端点为圆心、腰长为半径作弧，两弧的交点就是第三个顶点；根据角平分线的尺规作图方法作顶角的平分线即可.知1－练解：如图2.6-6，△ABC即为所求作的等腰三角形，AD是顶角的平分线.知1－练4-1.如图，AC⊥BC，∠ABC=40°.(1)尺规作图：在直线BC

上找一点P，使得△

ABP是等腰三角形.(要求保留作图痕迹，若有多个点，用P1，P2，P3，⋯表示)知1－练解：如图所示，P1，P2，P3，P4即为所求．知1－练(2)在(1)

条件下，∠ABP=__________.40°或140°知2－讲知识点等腰三角形的判定21.定义法有两边相等的三角形是等腰三角形.2.判定方法有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).几何语言：在△

ABC中，因为∠B=∠C，所以AB=AC.知2－讲3.等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定，即等边等角.知2－讲特别提醒“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.知2－练如图2.6-7，AD是△

ABC的边BC上的高，且AD平分∠BAC，试说明：△

ABC为等腰三角形.例5解题秘方：根据等腰三角形的定义来判定，只需说明有两边相等即可.知2－练

知2－练5-1.如图，在△ABC中，点D

是边BC

上的一点，点E

是边AC上的一点，且AB=AC=DC，BD=CE，连接AD，DE.知2－练(1)试说明：△ADE是等腰三角形;知2－练(2)若∠ADE=40°，求∠

BAC的度数.解：因为△ABD≌△DCE，所以∠BAD＝∠EDC.所以∠BAD＋∠BDA＝∠EDC＋∠BDA＝180°－∠ADE＝140°.所以在△ABD中，∠B＝180°－(∠BAD＋∠BDA)＝180°－140°＝40°.所以∠C＝∠B＝40°.所以∠BAC＝180°－40°－40°＝100°.知2－练如图2.6-8，在△

ABC中，P是BC

边上一点，过点P

作BC

的垂线，交AB

于点Q，交CA

的延长线于点R，若AQ=AR，试说明：△ABC

是等腰三角形.例6解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需说明三角形有两个内角相等即可.知2－练解：因为AQ=AR，所以∠R=∠AQR.又因为∠BQP=∠AQR，所以∠R=∠BQP.因为RP⊥BC，所以∠B＋∠BQP=90°，∠C＋∠R=90°.所以∠B=∠C.所以AB=AC.所以△

ABC是等腰三角形.知2－练6-1.如图，已知点D，E分别是△ABC

的边BA和BC

延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，且AF∥BC.知2－练(1)试说明：△ABC

是等腰三角形；解：因为AF平分∠DAC，所以∠DAF＝∠CAF.因为AF∥BC，所以∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB.所以∠B＝∠ACB.所以AB＝AC.所以△ABC是等腰三角形．知2－练(2)

作∠ACE

的平分线交AF