《数学(职业模块-工科类)》课件-《数学(职业模块-工科类)》课件-第四、五章

逻辑代数又称为布尔代数，是设计开关电路与逻辑电路的重要理论依据，是学习计算机相关知识的重要基础．应用逻辑代数的方法可以使电路设计和程序开发简便化，从而解决许多实际问题．本章主要研究二进制、逻辑变量、真值表、逻辑运算及逻辑式的化简、逻辑图等概念，并通过实例介绍它们的应用．4.1二进制在生活中，我们经常与数字打交道，且数字有着不同的计数方法．人们平时用的是十进制计数方法，那么什么是进制？生活中除了十进制，还有其他进制吗？4.1.1二进制与十进制及其转换1．二进制与十进制人们最常用、最熟悉的进位制是十进制．十进制是用“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”十个数码符号（或称为数码）放到相应的位置来表示数，如2015．数码符号在数中的位置叫做数位．计数制中，每个数位上可以使用的数码符号个数叫做这个计数制的基数．十进制的每个数位都可以使用十个数码符号，因此，十进制的基数为10．每个数位所代表的数叫做位权数．十进制数的进位规则是“逢10进位1”．十进制的位权数如表4-1所示．位置整数部分小数点…第3位第2位第1位起点位权数…102101100表4-1十进制数的意义是各个数位的数码和与其位权数乘积之和．例如，．在电路中，电子元件与电路都具有两种对立的状态，如电灯的“亮”与“不亮”、电路的“通”与“断”、信号的“有”与“无”．采用数码0和1来表示相互对立的两种状态十分便捷，因此，在数字电路中普遍应用二进制．二进制的基数为2，每个数位只有两个不同的数码符号0和1，进位规则是“逢2进位1”．二进制的位权数如表4-2所示．位置整数部分小数点…第3位第2位第1位起点位权数…222120表4-2二进制数1010的意义是．为了区别不同进制的数，通常用下标指明基数，如(1010)2

表示二进制中的数，(2015)10表示十进制中的数．2．二进制与十进制的转换若要将二进制数转换为十进制数，只需将二进制数按权展开后，将各乘积项的积算出来，再将各项积相加即可．例如，，即．将十进制数换算为二进制数，其实质就是把十进制数化成2的各次幂之和的形式，并且各次幂的系数只能取0和1，通常采用的是“除2取余法”（余数只有0和1）．具体方法是：第一次除以2所得余数是转换后所得二进制数的最低位，第二次除以2所得余数是转换后所得二进制数的倒数第二位，……，依次类推，最后一次除以2且商为0时，所得余数是二进制数的最高位．例如，将十进制数23转换为二进制数．

读取顺序按照从下往上读的读取方向，可得．例1将下列自然数表示成它各个数位的数码与其乘积之和的形式．（1）； （2）．解（1）．（2）．例2将二进制数转化成十进制数．解例3将十进制数转化成二进制数．解

读取顺序按照从下往上读的读取方向，可得4.1.2二进制的加法与乘法我们对十进制数的算术运算非常熟悉，例如，，．那么二进制的算术运算是怎样的呢？实际上，二进制数的算术运算也非常简单，它与十进制数的算术运算十分相似，它的基本运算是加法运算和乘法运算．二进制数的基数为2，进位规则是“逢2进位1”，故二进制数的加法运算法则为（1）；（2），；（3）（逢2进位1，向高位进位1）．二进制的乘法运算法则为（1）；（2），；（3）．例4

计算：．解根据二进制数的加法运算法则得即例5计算：．解根据二进制数的乘法运算法则得即4.2.1逻辑变量与基本运算1．逻辑与观察两个开关相互串联的电路，如图4-1所示．由串联电路的性质可知，只有当开关A，B同时闭合时，电灯S才会亮；只要有其中一个开关没有闭合（开关A没有闭合或开关B没有闭合）或者两个开关都没有闭合，电灯S就不会亮．图4-1将开关A，B与电灯S的状态列表，如表4-3所示．可以看到，电灯S是否亮，取决于开关A，B的状态，它们之间具有因果逻辑关系．逻辑是指事物的因果关系，即事件的发生和决定该事件发生的条件之间的因果关系．开关A的状态开关B的状态电灯S的状态闭合闭合亮闭合断开不亮断开闭合不亮断开断开不亮表4-3开关A，B与电灯S的状态都是只取两种状态的变量，这样的变量叫做逻辑变量，用大写字母A，B，S，……表示．逻辑变量只有两种取值“0”和“1”．这里的“0”和“1”叫做逻辑常量，仅代表两种对立的逻辑状态，无数量上的大小关系．例如，灯的“亮”与“灭”、电路的“通”与“断”．规定：开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯不亮”为“0”，则表4-3可表示为表4-4．开关A的状态开关B的状态电灯S的状态111100010000表4-4AB11100100当决定事件发生的条件全部具备时，这件事才会发生，这样的逻辑关系叫做与逻辑关系．在两个开关相互串联的电路中，如图4-1所示，只有当开关A，B同时闭合时，电灯S才会亮，这种逻辑关系叫做逻辑变量A与逻辑变量B的逻辑乘法运算（“与”运算）．其中，S叫做A，B的逻辑积，记作

（或），简记为AB=S，读作“A乘B”或“A与B”．“与”运算的运算法则如表4-5所示．

表4-5开关A的状态开关B的状态电灯S的状态1111010110002．逻辑或观察两个开关相互并联的电路，如图4-2所示．规定：开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯不亮”为“0”．将开关A，B与电灯S的状态列表，如表4-6所示．图4-2表4-6AB11100100当决定事件发生的条件有一个具备时，这件事就会发生，这样的逻辑关系叫做或逻辑关系．在两个开关相互并联的电路中，如图4-2所示，当开关A和开关B至少有一个闭合时，电灯S就会亮，这种逻辑关系叫做逻辑变量A与逻辑变量B的逻辑加法运算（“或”运算）．其中，S叫做A，B的逻辑和，记作A+B=S（或），读作“A加B”或“A或B”．“或”运算的运算法则如表4-7所示．表4-7开关A的状态电灯S的状态10013．逻辑非观察电灯与开关相并联的电路，如图4-3所示．规定：开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯不亮”为“0”．将开关A与电灯S的状态列表，如表4-8所示．图4-3表4-8A10我们将事件的发生和条件的具备总是相反的逻辑关系叫做非逻辑关系，即条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生．在电灯与开关相并联的电路中，如图4-3所示，当开关A“合上”时，电灯S就不亮；当开关A“断开”时，电灯S就会亮，这种逻辑关系叫做逻辑变量A的逻辑“非”运算．其中，S叫做A的逻辑非，记作，读作“A的非”．表4-9中和代表的含义是什么？“非”运算的运算法则如表4-9所示．表4-9例1填补表4-10的空白．解根据“与”运算、“或”运算、“非”运算的运算法则，将计算结果填进表4-10中，如表4-11所示．AB11100100AB110011100110011010001100表4-10表4-11逻辑代数式和普通代数式有什么异同？由常量1，0以及逻辑变量经逻辑运算构成的式子叫做逻辑代数式，简称逻辑式．例如，等都是逻辑式．这里，表示常量的1和0及单个变量都可看作是逻辑式．实数运算的先后顺序是“先乘除，后加减”，逻辑运算也有它的优先次序．逻辑运算的优先次序依次为“非运算”“与运算”“或运算”，对于有括号的逻辑式，要先算括号内的逻辑式．例如，的运算顺序应为：先计算，再计算，，然后计算，最后计算．4.2.2逻辑式与真值表将各逻辑变量的取值代入逻辑式，经过运算，可以得到逻辑式的一个值（0或1）．例如，，当时，有；当时，有．AB111100010001列出A，B的一切可能取值与相应逻辑式的值的表，叫做逻辑式的真值表．例如，表4-12为逻辑式的真值表．如果对于变量A，B，C的任何一组取值，两个逻辑式的值都相同，则这样的两个逻辑式叫做等值逻辑式．等值逻辑式可用等号“=”联结，并称为等式，如．需要注意的是，这种相等是状态的相同．

表4-12ABA+B1110000101001001101000001111例2用真值表验证逻辑式与是否相等．解列出真值表，如表4-13所示．可用看出，对于逻辑变量A，B的任何一组取值，与的值都相等，所以表4-13例3如图4-4所示电路中，灯S的状态能否用开关A，B，C的逻辑运算来表示？试给出结果．分析由图4-4可知，这个电路是开关A，B，C相并联的电路，三个开关中至少有一个“合上”时，电灯S才会亮，故使用逻辑加法运算．解由题意可知，图4-44.3.1逻辑函数与逻辑图反映逻辑变量之间关系的函数叫做逻辑函数．逻辑函数的自变量是逻辑变量，称为输入逻辑变量；逻辑函数的因变量也是逻辑变量，称为输出逻辑变量，它们的取值范围均为0和1．与普通代数相类似，逻辑函数可以写作．

其中，逻辑变量A，B，C是逻辑函数的自变量，逻辑变量Y是逻辑函数的因变量，f是逻辑函数的对应法则．逻辑函数一般用逻辑式来表示，如．能够实现逻辑运算的电路叫做逻辑门电路．我们把能实现逻辑乘运算的门电路叫做“与”门；能实现逻辑加运算的门电路叫做“或”门；能实现逻辑非运算的门电路叫做“非”门．“与”门电路、“或”门电路、“非”门电路是三种基本逻辑门，它们的图示如图4-6所示．图中A，B为输入逻辑变量，Y为输出逻辑变量．

（a）“与”门

（b）“或”门

（c）“非”门用门电路连接逻辑线路的图叫做逻辑图．逻辑函数可以用逻辑图来表示，画逻辑图的方法为按照逻辑运算的优先次序，顺次连结各门电路．图4-6例1画出逻辑函数的逻辑图．分析按照逻辑运算的优先次序，顺次联结各门电路图示．解逻辑函数的逻辑图如图4-7所示．图4-7普通代数有加、减、乘、除、乘方、开方等多种运算，但是逻辑运算只有“与”“或”“非”三种基本运算．与普通代数相类似，逻辑代数也有许多运算律．逻辑代数常用的运算律如下．（1）基本的“与”运算、“或”运算、“非”运算的运算律如表4-15所示．4.3.2逻辑代数的运算律名称运算律0-1律自等律重叠率互补律还原律表4-152）其他运算律如表4-16所示．上述运算律都可以通过真值表进行验证．任何数学逻辑门电路都可以用逻辑函数来表示．逻辑函数越简单，实现起来越节省器材，且可靠性也高，所以大多数时候要对逻辑函数进行化简．利用表4-15和表4-16中的运算律，可以化简函数．化简逻辑函数的一般步骤如下．（1）去括号：将被加项中的括号去掉；（2）减项数：使被加项的项数最少；（3）减次数：基本逻辑变量出现的次数最少．名称运算律交换律结合律分配率吸收率反演律

表4-16例2化简下列逻辑式．（1）；（2）；（3）．解（1）（反演律）（结合律）（重叠律）（2）（吸收律）（3）（交换律）（重叠律）（交换律）（分配律）（互补律）对于一个给定的逻辑函数，它的表达式的形式多种多样，那是否存在一种表达形式用起来最方便？4.4.1逻辑函数的最小项表达式由三个逻辑变量可以构成许多乘积项，如等，其中有一类乘积项具有如下特征：（1）每一项只有3个因子，而且包含了全部的三个变量；（2）每个变量作为因子在各项中只出现一次．具备这两个特征的项叫做这三个逻辑变量的逻辑函数的最小项．一般地，n个逻辑变量一共有个最小项，如逻辑变量A，B，C的最小项有个．为了书写方便，给最小项进行编号，一般用表示第i个最小项．在输入变量顺序确定后，将某一最小项中的原变量记为1，反变量记为0，由此形成一个二进制数，此二进制数对应的十进制数即为i．最小项最小项编号二进制赋值m0000m1001m2010m3011m4100m5101m6110m7111三个逻辑变量A，B，C的个最小项对应的编号及对应的二进制数如表4-17所示．表4-17利用真值表可以验证，最小项具有以下性质（以三个逻辑变量为例）．（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0．（2）所有最小项的和为1，即（3）任意两个最小项的积为0．例如，（4）只有一个因子不同的两个最小项，叫做逻辑相邻的最小项．它们的和可以消去一个因子，合并成一项．例如，任意一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的形式，叫做最小项表达式（“与—或”表达式）．例如，为了获得逻辑函数的最小项表达式，应首先将给定的逻辑函数转化为若干乘积项之和的形式，然后再利用基本公式

将每个乘积项中缺少的因子补全即可．例1将逻辑函数表示为最小项表达式．解最小项表达式为4.4.2卡诺图及逻辑函数的卡诺图表示利用逻辑代数的运算律化简逻辑函数表达式，需要一系列的推导过程，一般是比较复杂的，但如果利用“卡诺图”来完成，就比较简单了．卡诺图是一张表，除了直接相邻的两个格称为相邻外，表中最左边一列的小方格与最右边一列的对应方格也称为相邻；最上面一行的小方格与最下面一行的对应方格也称为相邻，就像是把画有表格的纸（见图4-9（a））卷成筒（见图4-9（b），（c））一样．（a）（b）（c）图4-9将逻辑函数的每一个最小项用1个小方块表示，再将这些小方块进行排序，使得相邻的2个小方块中的最小项是逻辑相邻的最小项，这样的图形叫做卡诺图．如图4-10所示是2个逻辑变量的卡诺图．图4-10为了清楚地看出卡诺图与逻辑函数表达式之间的关系，我们将2个逻辑变量的卡诺图画成如图4-11所示的形式．图4-11例如，如图4-12所示是3个逻辑变量的卡诺图．因为卡诺图的每1个小方格都唯一地对应1个最小项，所以用卡诺图表示逻辑函数的步骤为：（1）将逻辑函数写成最小项表达式；（2）在表达式含有的最小项所对应的卡诺图小方格填入“1”，其余位置填入“0”．图4-12例2作出逻辑函数的逻辑图．分析首先将逻辑函数用最小项表达式表示，然后画出卡诺图．解在3个逻辑变量的卡诺图中，将对应的小方格中填入“1”，其余位置填入“0”，就得到逻辑函数的卡诺图，如图4-13所示．图4-13例3根据如图4-14所示的卡诺图，写出对应逻辑函数的最小项表达式．解对应逻辑函数的最小项表达式为图4-144.4.3利用卡诺图化简逻辑函数由于卡诺图中两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余取值都相同，所以可以合并相邻最小项．2个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消去1个取值不同的变量而合并为l项．如图4-15所示，将卡诺图中相邻的两个“1”圈起来，圈中的最小项为和，其中变量A不同，将其合并为1项，得．图4-15图4-164个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消去2个取值不同的变量而合并为l项．如图4-16所示，将卡诺图中相邻的4个“1”圈起来，圈中的最小项为，，，，其中变量A，B不同，将其合并为1项，得C．8个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消去3个取值不同的变量而合并为l项．如图4-17所示，将卡诺图中相邻的8个“1”圈起来，圈中的最小项为，，，，，，

，，其中变量A，B，C不同，将其合并为1项，得C．图4-17总之，个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为l项．由此可见，用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图中找出相邻的最小项，即画圈，然后将圈中的最小项合并消去多余因子，从而得到逻辑函数的最简形式．为了保证将逻辑函数化到最简，画圈时必须遵循以下原则：（1）圈要尽可能大．这样消去的变量就多，但每个圈内只能含有（）个相邻项．（2）圈要尽可能少．因为圈越少，合并后的项越少．（3）有些方格可能多次被圈，但是每个圈内的方格，至少有一个不是其他圈所圈过的．例4如图4-18所示为逻辑函数的卡诺图，试写出化简后的逻辑函数表达式．解在卡诺图中用圈将相邻的1圈起来．观察左边的圈，圈中的最小项为和，其中变量A不同，将其合并为1项，得；观察右边的圈，圈中的最小项为和，其中变量C不同，将其合并为1项，得．因此，化简后的逻辑表达式为．图4-18例5化简逻辑函数．解对应的卡诺图如图4-19所示．观察上面的圈，圈中的最小项为，，，，其中变量B，C不同，将其合并为1项，得；观察下面的圈，圈中的最小项为，，，，其中变量A，B不同，将其合并为1项，得C．因此，化简后的逻辑表达式图4-19利用卡诺图化简逻辑函数的基本步骤是：（1）将逻辑函数写成最小项表达式；（2）画出函数的卡诺图；（3）在卡诺图中“圈1”；（4）消去各圈中以相反状态出现的变量；（5）写出化简后的逻辑函数表达式．逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，下面就来看看逻辑代数在实际生活中的一些应用．4.5应用举例ABCS11111101101110000111001001000000例1设计一个电路，由三个开关A，B，C（闭合为1，断开为0）控制一盏电灯S（灯亮为1，不亮为0），当至少两个开关闭合时，灯S才能亮．（1）写出这个电路的逻辑关系式；（2）化简逻辑关系式，并画出逻辑图．解（1）列出开关A，B，C及灯S的真值表，如表4-18所示．表4-18观察真值表4-18发现，只有在4种情况下灯S才亮，即（1）开关A闭合（），开关B闭合（），开关C闭合（）；（2）开关A闭合（），开关B闭合（），开关C断开（）；（3）开关A闭合（），开关B断开（），开关C闭合（）；（4）开关A断开（），开关B闭合（），开关C闭合（）．由此可知，在以下4种情况下，成立：（1）成立；（2）成立；（3）成立；（4）成立．因此，这个电路的逻辑表达式为(2)画出对应的卡诺图，如图4-20所示．在卡诺图中用圈将相邻的1圈起来．观察左边的圈，圈中的最小项为和，其中变量B不同，将其合并为1项，得；观察中间的圈，圈中的最小项为和，其中变量A不同，将其合并为1项，得；观察右边的圈，圈中的最小项为和，其中变量C不同，将其合并为1项，得．因此，化简后的逻辑表达式为．画出对应的逻辑图，如图4-21所示．图4-20图4-21例2写出逻辑图4-22的逻辑关系式，并将其化简，针对化简后的逻辑关系式，画出逻辑图．解由图4-22可知，逻辑关系式为将逻辑关系式写成最小项表达式为图4-22画出对应的卡诺图，如图4-23所示．在卡诺图中用圈将相邻的1圈起来．观察上面的圈，圈中的最小项为和，其中变量B不同，将其合并为1项，得；观察下面的圈，圈中的最小项为和，其中变量C不同，将其合并为1项，得．因此，化简后的逻辑表达式为画出对应的逻辑图，如图4-24所示．

图4-23图4-24例3一个公司通过表决来确定一个新的企划案是否可行．若董事会高层领导甲、乙、丙三人中至少要有两个人同意，则新的企划案通过表决；但甲拥有否决权，只要甲不同意，则不通过．写出逻辑关系式，并画出逻辑图．解设A，B，C为逻辑变量（同意为1，不同意为0）分别表示甲、乙、丙三人，Y表示企划案（通过为1，不同意为0）．根据设计要求可知，逻辑关系式为画出对应的卡诺图，如图4-25所示．图4-25在卡诺图中用圈将相邻的1圈起来．观察左边的圈，圈中的最小项为和，其中变量B不同，将其合并为1项，得；观察右边的圈，圈中的最小项为和，其中变量C不同，将其合并为1项，得．因此，化简后的逻辑表达式为画出对应的逻辑图，如图4-26所示．图4-26算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础．在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具．听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．从数学发展的历史来看，算法并不是一个全新的概念．比如，在西方数学中很早就有了欧几里得算法，而中国古代数学中蕴含着更为丰富的算法内容和思想．在这一章里，我们将主要研究算法的概念、算法的几种基本逻辑结构和程序框图．本章知识是学习相关专业课程的基础．5.1.1算法的概念实际上，算法对我们来说并不陌生．回顾一元一次方程的求解过程，我们可以归纳出以下基本步骤．第一步：移项．将数字6从方程左边移到右边，得第二步：合并同类项，得第三步：系数化为1．方程两边同时除以3，得通过移项、合并同类项、系数化为1这三个步骤，可以解任意形如的一元一次方程．这些步骤也就构成了解一元一次方程的算法．算法（algorithm）这个词出现于12世纪，指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程．在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确的、有效的，而且能够在有限步之内完成．不难看出，算法具有以下特点：（1）确定性．算法中每一步操作内容的含义是确切的，能有效地执行，并且能得到确定的结果，而不能模棱两可，含混不清．（2）有限性．算法中执行的步骤应是有限的，不能无休止地执行下去．算法中可以有零个、一个或多个输入．（3）有序性．算法初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，只能执行完前一步才能进行下一步．（4）不唯一性．求解某个问题的解法不一定是唯一的，因此对于一个问题可能有不同的算法．（5）有一个或多个输出．一个算法必须有一个或多个输出．因为算法的目的是用来解决一个给定的问题，所以没有结果输出的算法是无效的，无意义的．按照这样的理解，我们可以设计出很多具体数学问题的算法．例1设计一个算法，求的值．分析实数的乘法满足结合律，可以将数字从左至右依次相乘．解算法如下．第一步：计算得到2．第二步：将第一步中的运算结果2与3相乘得到6．第三步：将第二步中的运算结果6与4相乘得到24．第四步：将第三步中的运算结果24与5相乘得到120．第五步：将第四步中的运算结果120与6相乘得到720．因此，5.1.2命题逻辑与条件判断在设计算法解决实际问题时，经常需要对表示步骤或程序的语句进行判断．例如，（1）3大于5．（2）如果对顶角相等，那么两直线平行．（3）是有理数．以上陈述句中，（2）陈述语句叙述的事情是真的；（1）（3）陈述语句叙述的事情是假的．一个能判断真假的陈述语句叫做命题．一个命题叙述的事情如果是真的，称其为真命题；如果是假的，称其为假命题．只用一句简单的陈述句表达的命题叫做简单命题．例如，命题（1）是简单命题，且是假命题．用“如果……，那么……”将两个简单命题联结起来所组成的新命题叫做复合命题，其中前半部分是命题的条件，后半部分是命题的结论．例如，命题（2）是复合命题，命题的条件是“对顶角相等”，命题的结论是“两直线平行”．由条件的正确可以推出结论的正确，所以这个复合命题是真命题．试举出生活中要先进行条件判断才能解决的问题．在研究实际问题时，经常会遇到由不同条件得到不同结论的问题．例如，儿童乘坐火车，若身高不超过，儿童可以免费乘车，无需购票；若身高高于，但不超过，儿童应该购买半价票乘车；若身高超过，儿童应该购买全价票乘车．上述问题的特点是：满足不同的条件，所得结论就不同，因此需要进行条件判断．其算法如下．第一步：测量儿童身高，得到数据h．第二步：条件判断．如果，那么儿童可以免费乘车；如果

，那么儿童应该购买半价票乘车；如果，那么儿童应该购买全价票乘车．第三步：给出问题的答案．且是真命题．（4）此句是一个陈述句，但叙述的事情是假的，所以是命题，而且是假命题．（5）对于该语句，若其叙述的事情为“真”，即“我正在说假话”为真，则这句话也应是假话，所以应为假命题，与假设矛盾；反之，若其叙述的事情为“假”，即“我正在说假话”为假，也就是“我正在说真话”，则这句话也应是真话，所以应为真命题，与假设矛盾．于是，这句话的真假无法确定，所以不是命题．例2判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，请说明是真命题还是假命题．（1）．（2）不准乱扔垃圾．（3）是的真子集．（4）4是质数．（5）我正在说假话．解（1）x的取值不确定，是一个不能确定真假的陈述句，所以不是命题．（2）此句是一个祈使句，不是陈述句，所以不是命题．（3）此句是一个陈述句，并且叙述的事情是真的，所以是命题，而例3写出形如的不等式解集的一个算法．解第一步：计算．第二步：条件判断．如果，表示方程

存在两根（设），那么不等式的解集为；如果，表示方程有两个相等的根，那么不等式的的解集为

；如果，表示方程没有实根，那么不等式的解集为R．第三步：给出问题的答案．5.1.3算法的基本逻辑结构1．顺序结构由若干个依次执行的处理步骤组成的结构称为顺序结构．在算法的逻辑结构中，顺序结构是最简单的逻辑结构，也是任何一个算法都离不开的基本结构．例4已知直角坐标系中的两点和，写出求直线AB的方程与坐标轴围成面积的一个算法．解算法如下．第一步：取，，，．第二步：计算．第三步：在第二步结果中，令，得到y的值m，从而得到直线与y轴的交点．第四步：在第二步结果中，令，得到x的值n，从而得到直线与x轴的交点．第五步：计算．第六步：输出结果．2．条件结构如果在一个算法中需要进行条件判断，根据条件是否成立会有不同的处理步骤，那么，这种算法结构称为条件结构．例如，节中儿童乘坐火车购买车票的算法结构就是条件结构．例5写出对任意3个整数a，b，c求最大值的算法．解算法如下．第一步：令．第二步：判断是否成立，若成立，则令；否则值不变．第三步：判断是否成立，若成立，则令；否则值不变．第四步：输出．3．循环结构反复循环执行同一步骤的算法称为循环结构．例6设计一个算法，求100以内能被5整除的最小正整数．解设100以内的正整数按照由小到大的顺序组成一列数：算法如下．第一步：输入数据1．第二步：如果1能被5整除，则输出1；如果1不能被5整除，则返回第一步，输入下一个数2，直至输入的数能被5整除为止．第三步：输出结果．例7设计一个算法，求的值．分析通常我们按照逐一求和的方法来计算的值，然而，这个过程中包含重复操作的步骤，故可以用循环结构来表示．分析逐一求和的计算过程，可以发现每一步都可以表示为：第

步的结果第i步的结果．为了方便、有效地表示，我们用一个累加变量S来表示第一步的计算结果，把的结果仍记为S，从而第i步的结果表示为，其中S的初始值为0，i依次取．解算法一第一步：令．第二步：若成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法．第三步：

．第四步：，返回第二步．算法二第一步：令．第二步：．第三步：．第四步：若成立，则执行第二步；否则，输出S，结束算法．上一节我们学习了用自然语言描述算法的方法，这种方法符合人们的认知习惯，便于阅读，易于理解，但描述得不太简练，不够直观．这节课我们将要学习算法的图形语言——程序框图．5.2.1程序框图1．程序框图的基本图例我们把算法中每一步操作的内容写在框（即程序框）内，步骤之间的顺序关系用带箭头的线（指向线或流程线）连接成一个整体．这种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，叫做算法的程序框图（又叫做流程图），如图5-1所示．它是算法说明的一种图形语言．图5-1使用程序框图的规则如下：（1）使用规定的图形符号．（2）框图一般按照从上到下、从左到右的方向画．（3）开始框有一个出口；结束框有一个进口；判断框一般有一个进口，两个出口；其他框有一个进口，一个出口．（4）框图中的语句要简练、清楚．2．程序框图的基本结构根据算法的三种基本逻辑结构，相应的算法程序框图也有三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构．顺序结构：是最简单的算法结构．语句与语句之间，框与框之间是按照从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构，其一般形式如图5-2所示，先执行语句1，再执行语句2．图5-2条件结构：是指在算法中通过条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构．它的一般形式如图5-3或图5-4所示，其中P代表一个条件，当P成立（记作“Y”）时执行语句1；当P不成立（记作“N”）时执行语句2．图5-3图5-4循环结构：是指在算法中需要反复执行某项任务直到条件得到满足为止．它的一般形式如图5-5所示，其中当条件P成立时，进行循环体；当条件P不成立时，退出循环体．图5-5例1如图5-6所示是一个算法的程序框图．已知