高考数学理科二轮总复习练习专题六　立体几何第2讲

第2讲立体几何的综合问题1．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，则eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).2．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．答案eq\r(7)解析设新的底面半径为r，由题意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).3．(2017·江苏)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为2R，又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝eq\f(4,3)πR3，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).江苏高考对空间几何体体积的计算是高频考点，一般考查几何体的体积或体积之间的关系．对翻折问题和探索性问题考查较少，但是复习时仍要关注．热点一空间几何体的计算例1(1)已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为________．(2)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．答案(1)eq\f(2\r(6),3)π(2)96解析(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则πr2＝2π，πrl＝4π，解得r＝eq\r(2)，l＝2eq\r(2)，故高h＝eq\r(6)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×2×eq\r(6)＝eq\f(2\r(6),3)π.(2)用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96.思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时，一是可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差；二是把几何体通过“补形”，补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积．求解时注意不要多算也不要少算．跟踪演练1(1)(2017·江苏宿迁三模)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为________．答案eq\f(9\r(3),4)解析三棱锥P－ABA1的体积等于三棱锥B－APA1的体积，点B到面APA1的距离为eq\f(3\r(3),2)，△APA1的面积为eq\f(9,2)，故三棱锥P－ABA1的体积为eq\f(9\r(3),4).(2)(2017·江苏南京三模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为________．答案eq\f(1,3)解析几何体展开图如图所示：△ABD∽△ACC1，∴eq\f(BD,CC1)＝eq\f(AB,AC)，∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∴AC＝3，CC1＝3，∴BD＝1，则＝＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3).热点二翻折问题例2如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝eq\f(2,3)时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.(1)证明如图1，在等边三角形ABC中，AB＝AC.因为AD＝AE，所以eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，所以DE∥BC，所以DG∥BF.如图2，DG⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，所以DG∥平面BCF.同理可证GE∥平面BCF.因为DG∩GE＝G，所以平面DEG∥平面BCF，又因为DE⊂平面DEG，所以DE∥平面BCF.(2)证明如图1，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥FC，所以BF＝FC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).在图2中，因为BC＝eq\f(\r(2),2)，所以BC2＝BF2＋FC2，所以∠BFC＝90°，所以FC⊥BF.因为BF∩AF＝F，BF，AF⊂平面ABF，所以CF⊥平面ABF.(3)解因为AD＝eq\f(2,3)，所以BD＝eq\f(1,3)，AD∶BD＝2∶1，在图2中，AF⊥FC，AF⊥BF，所以AF⊥平面BCF，由(1)知平面DEG∥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，且GE⊥DG.在等边三角形ABC中，AF＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),2)，所以FG＝eq\f(1,3)AF＝eq\f(\r(3),6)，DG＝eq\f(2,3)BF＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＝GE，所以S△DGE＝eq\f(1,2)DG·GE＝eq\f(1,18)，所以VF－DEG＝eq\f(1,3)S△DGE·FG＝eq\f(\r(3),324).思维升华平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．跟踪演练2如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连结PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P－ABFED，且PB＝eq\r(10).(1)求证：BD⊥PA；(2)求四棱锥P－BFED的体积．(1)证明∵点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD∥EF.∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC.∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO.∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA，又PA⊂平面POA，∴BD⊥PA.(2)解设AO∩BD＝H，连结BO.∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝4，BH＝2，HA＝2eq\r(3)，HO＝PO＝eq\r(3)，在Rt△BHO中，BO＝eq\r(BH2＋HO2)＝eq\r(7)，在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO.∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，梯形BFED的面积S＝eq\f(1,2)(EF＋BD)·HO＝3eq\r(3)，∴四棱锥P－BFED的体积V＝eq\f(1,3)S·PO＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×eq\r(3)＝3.热点三探索性问题例3(2017·江苏无锡天一中学模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．(1)证明如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥平面ABB1A1.因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，AB1，B1C1⊂平面ADC1B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解当点F为C1D1的中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下：设A1B∩AB1＝O，连结EO，EF，B1F.易知EF∥C1D，且EF＝eq\f(1,2)C1D，B1O∥C1D且B1O＝eq\f(1,2)C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形．所以B1F∥OE.又因为B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.思维升华探索性问题，一般把要探索的结论作为条件，然后根据条件和假设进行推理论证．跟踪演练3在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)棱CC1上是否存在一点M，使BM⊥AB1？说明你的理由．(1)证明连结A1B，交AB1于点O，连结OD.∵O，D分别是A1B，BC的中点，∴A1C∥OD.∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)解当M为CC1的中点时，可使BM⊥AB1.证明如下：∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∴四边形BCC1B1是正方形．∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB.又∵∠BB1D＋∠BDB1＝eq\f(π,2)，∴∠CBM＋∠BDB1＝eq\f(π,2)，∴BM⊥B1D.∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C.∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM.∵AD∩B1D＝D，∴BM⊥平面AB1D.∵AB1⊂平面AB1D，∴MB⊥AB1.1．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．答案②④解析若α⊥β，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；在平面β与平面α，β的交线平行的直线一定与直线m垂直，故②正确；若α⊥β，则在平面β内，存在无数条与直线m垂直的直线，故③不正确；若α⊥β，显然④成立，若α，β不垂直，则在平面α内任作与m垂直的直线n，过n作平面γ⊥平面α交平面β于l，则可得l⊥m，从而④正确．2．(2017·江苏南京考前指导卷)如图正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别为边AC与BC的中点，现将△ABC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面DCB，则棱锥E－DFC的体积为__________．答案eq\f(\r(3),24)解析S△DFC＝eq\f(1,4)S△ABC＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22))＝eq\f(\r(3),4)，E到面DFC的距离h等于eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2).VE－DFC＝eq\f(1,3)×S△DFC×h＝eq\f(\r(3),24).3．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4，BD＝4eq\r(3)，AB＝2CD＝8.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(2)当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD?(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝4eq\r(3)，AB＝8，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.(2)解当CM＝eq\f(1,3)CP时，PA∥平面MBD.证明如下：连结AC，交BD于点N，连结MN.∵AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形．∵AB＝2CD，∴CN∶NA＝1∶2.又∵CM∶MP＝1∶2，∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN.∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD.A组专题通关1．(2017·江苏连云港期中)已知圆台的母线长为4cm，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的eq\f(1,2)，则这个圆台的侧面积是________cm2.答案24π解析如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC＝4cm，∠ASO＝30°，O1C＝eq\f(1,2)OA，设O1C＝r，则OA＝2r，又eq\f(O1C,SC)＝eq\f(OA,SA)＝sin30°，∴SC＝2r，SA＝4r，∴AC＝SA－SC＝2r＝4cm，∴r＝2cm.∴圆台的侧面积为S＝π(r＋2r)×4＝24π(cm2)．2．(2017·江苏海安中学质检)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.答案eq\f(1,4)解析V1＝VD－ABE＝VE－ABD＝eq\f(1,2)VE－ABP＝eq\f(1,2)VA－BEP＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)VA－BCP＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)VP－ABC＝eq\f(1,4)V2.3．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为不同直线，α，β为不重合平面)，则此条件为________．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊂α,l∥m,))⇒l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))⇒l∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,α⊥β,))⇒l∥α.答案l⊄α解析线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为l⊄α.4．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝3BC，过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与平面α的交点为Q，则eq\f(B1Q,QB)的值为________．答案2解析设A1Q∩DC＝P，则点P∈AB，因为AD∥BC，且AD＝3BC，所以eq\f(BC,AD)＝eq\f(BP,AP)＝eq\f(1,3)，又BB1∥AA1，BB1＝AA1，所以eq\f(BP,AP)＝eq\f(BQ,AA1)＝eq\f(BQ,BB1)＝eq\f(1,3)，从而BB1＝3BQ，即eq\f(B1Q,QB)＝2.5．设m，n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)答案①②⇒③(或①③⇒②)解析设过m的平面β与α交于l，∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l.∵n⊄α，l⊂α，∴n∥α.6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．答案eq\r(2)解析因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝eq\f(1,2)AC，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).7．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.(1)求证：B1C⊥AC1；(2)设点E，F分别是B1C，AA1的中点，试判断直线EF与平面ABC的位置关系，并说明理由．(1)证明连结BC1.在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1.因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，AB⊂平面AA1B1B，所以AB⊥平面BB1C1C.因为B1C⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1C.在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C.因为BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1.因为AC1⊂平面ABC1，所以B1C⊥AC1.(2)解EF∥平面ABC，理由如下：取BC的中点G，连结GE，GA.因为E是B1C的中点，所以GE∥BB1，且GE＝eq\f(1,2)BB1.因为F是AA1的中点，所以AF＝eq\f(1,2)AA1.在正方形AA1B1B中，AA1∥BB1，AA1＝BB1.所以GE∥AF，且GE＝AF.所以四边形GEFA为平行四边形．所以EF∥GA.因为EF⊄平面ABC，GA⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.8．如图，△BCD是等边三角形，AB＝AD，∠BAD＝90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B.(1)求证：平面GNM∥平面ADC′；(2)求证：C′A⊥平面ABD.证明(1)因为M，N分别是BD，BC′的中点，所以MN∥DC′.因为MN⊄平面ADC′，DC′⊂平面ADC′，所以MN∥平面ADC′.同理NG∥平面ADC′.又因为MN∩NG＝N，所以平面GNM∥平面ADC′.(2)因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B＝B，所以AD⊥平面C′AB.因为C′A⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A.因为△BCD是等边三角形，AB＝AD，不妨设AB＝1，则BC＝CD＝BD＝eq\r(2)，可得C′A＝1.由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A.因为AB∩AD＝A，所以C′A⊥平面ABD.B组能力提高9．如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC＝eq\r(6)，则五面体ABCDEF的体积为________．答案4解析作AO⊥BE，FO′⊥BE，连结OC，O′D.由BE⊥OA，BE⊥OC知，BE⊥平面AOC，同理BE⊥平面FO′D，∴平面AOC∥平面FO′D，故AOC－FO′D是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B－AOC和E－FO′D为大小相同的三棱锥，由题意得OA＝OC＝eq\r(3)，又∵AC＝eq\r(6)，∴△OAC与△O′FD为直角三角形，∴VABCDEF＝2VB－AOC＋VAOC－FO′D＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×1＋eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×2＝4.10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝PD＝2，E是棱PB上一点，且PE＝2EB，则三棱锥P－DEC的体积为________．答案eq\f(4,9)解析如图，连结BD，取DC的中点F，连结BF.由题意可得AB⊥AD，AB＝AD＝1，则BD＝eq\r(2).则四边形ABFD是边长为1的正方形．在△BCF中，BF⊥FC，BF＝FC＝1，则BC＝eq\r(2)，又CD＝2，则BD2＋BC2＝CD2，BC⊥BD.又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又BD∩PD＝D，则BC⊥平面PBD，所以BC⊥PB，即BC⊥DE.又PB＝eq\r(PD2＋BD2)＝eq\r(6)，E是棱PB上一点，且PE＝2EB，则PE＝eq\f(2,3)PB＝eq\f(2\r(6),3)，△PEC的面积为S△PEC＝eq\f(1,2)PE·BC＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(6),3)×eq\r(2)＝eq\f(2\r(3),3).在△EBD和△DBP中，eq\f(EB,BD)＝eq\f(\f(\r(6),3),\r(2))＝eq\f(\r(3),3)，eq\f(BD,PB)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，则eq\f(EB,BD)＝eq\f(BD,PB)，又∠EBD＝∠DBP，则△EBD∽△DBP，所以∠DEB＝∠PDB＝90°，即DE⊥PB.又PB∩BC＝B，则DE⊥平面PBC，且DE＝eq\r(BD2－BE2)＝eq\r(2－\f(2,3))＝eq\f(2\r(3),3)，则三棱锥P－DEC的体积VP－DEC＝VD－PEC＝eq\f(1,3)S△PEC·DE＝eq\f(1,3)×eq\f(2\r(3),3)×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(4,9).11．(2017·江苏南京、盐城一模)将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O－EFG体积的最大值是________．答案4解析三棱锥的体积公式VO－EFG＝eq\f(1,3)·S△EFG·h.由题意可得h＝AB＝3，当底面三角形为等腰直角三角形时，S△EFG最大，三角形的斜边长为4，故有S△EFG＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(2))))2＝4，∴VO－EFG＝eq\f(1,3)·S△EFG·h＝eq\f(1,3)·4·3＝4.12．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2)，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．答案②解析找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于①，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合．在图(2)中，连结CE，若直线AC与直线BD垂直，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故①错误；对于②，若AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故②正确；对于③，若AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝eq\r(2)，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形，∴③错误．由上可知④错误，故正确的说法只有②.13．降水量是指水平地面上单位面积降雨的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深度为35cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的eq\f(1,7)，则本次降雨的降水量是________mm.(精确到1mm)答案22解析桶内水的深度为eq\f(1,7)×35＝5(cm)，设水面半径为xcm，则有eq\f(x－12,19－12)＝eq\f(5,35)，解得x＝13.V水＝eq\f(1,3)π·5(122＋12×13＋132)＝eq\f(2345,3)π.设单位面积雨水的深度为h，则V水＝π·192·h，∴π·192·h＝eq\f(2345,3)π，∴h≈2.2cm＝22mm.14．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为________．答案eq\f(1,3)解析将侧面展开如图所示，所以由平面几何性质可得：AD＋DC1≥AC1，当且仅当A，D，C1三点共线取到等号．此时BD＝1，所以S△ABD＝eq\f(1,2)×AB×BD＝eq\f(1,2).在直三棱柱ABC－A1B1C1中有BB1⊥CB，又AB⊥CB，易得CB⊥平面ABD，所以C1B1⊥平面ABD，即C1B1是三棱锥C1－ABD的高，所以＝＝eq\f(1,3)×C