第05讲多边形的内角和与外角和

第05讲多边形的内角和与外角和1.多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．注：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于.2.多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.注：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.考点剖析（多边形内角和）例1：若一个边形的内角和为，则的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．根据边形的内角和为列出关于的方程，解方程即可求出边数的值．【详解】解：这个多边形的边数是，则，解得：．故选：D．变式11：已知一个多边形的内角和是，则这个多边形有条边．【答案】6/六【分析】本题主要考查多边形的内角和公式，利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案．【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得，解得：，则这个多边形有6条边．故答案为：6．变式12：如图，六边形的每个内角都相等，连接．(1)求六边形每个内角的度数；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查多边形的内角和，平行线的判定．（1）根据多边形的内角和公式，进行求解即可；（2）根据四边形的内角和，以及（1）中的结果，得到，进而得到，即可得证．掌握边形的内角和为，是解题的关键．【详解】（1）解：由题意，得：六边形每个内角的度数为；（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∴．（正多边形内角）例2：正多边形的一个内角的度数不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式逐项分析即可．【详解】解：设正多边形的边数为n，A．当，解得，故不符合题意；B．当，解得，n不为正整数，故符合题意；C．当，解得，故不符合题意；D．当，解得，故不符合题意．故选：B．变式21：如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是．【答案】【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的每一个内角都相等，根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，∴，∴这块正多边形地砖的边数是：，解得：，故答案为：．变式22：已知一个正多边形的边数为．(1)若这个正多边形的一个内角为，求的值．(2)若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用多边形的内角和与正多边形的性质列得方程，解方程即可；（2）利用多边形的内角和与外角和列得方程，解方程即可．【详解】（1）解：由题意可得，解得：，故的值为；（2）解：由题意可得，解得：，故的值为．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，结合已知条件列得对应的方程是解题的关键．（多边形截角后的内角和）例3：一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（

）．A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8【答案】D【分析】本题主要考查了截一个多边形，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，据此画图利用数形结合的思想求解即可．【详解】解：如图所示，六边形，七边形和八边形截去一个角后都可以形成七边形，∴原多边形边数为6或7或8，故选：D．

变式31：一个多边形少加一个内角后，其他所有内角的度数和为，则这个内角的度数为°．【答案】【分析】根据题意得，和少加一个内角的和为，即可得．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和．变式32：（1）如图1，这是一个五角星，则15．（2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．（3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．

【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可；（2）延长与相较于点，由三角形的外角性质，得到，再结合图1的结论内来求解即可；（3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，从而求出截去五个角后的所有的角的度数．【详解】解：（1）如图，

由三角形的外角性质，得，，∵∴，故答案为：；（2）如图，延长与相较于点，

和是的两个外角，则，，，，故的度数为．（3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，图1中，，在题图3中，去掉五个角后，．【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点．（正多边形的外角）例4：如图所示，小华从O点出发，沿直线前进15米后左转，再沿直线前进15米后又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（

）A．120米 B．150米 C．180米 D．240米【答案】C【分析】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形每个外角相等，每条边相等．根据题意可知，小华所走路径是一个正多边形，先求出的边数，根据正多边形的性质，即可求解．【详解】解：根据题意可得：（米），故选：C

．变式41：《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图，则的度数是．【答案】/90度【分析】此题考查了正多边形的外角性质，利用正多边形的外角性质以及外角和是即可求出答案，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角性质以及外角和是．【详解】∵正八边形的外角和是，共八个外角且每个外角都相等，∴每个外角都是，∴正八边形的两个外角的和，故答案为：．变式42：如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．根据以上信息，解答下列问题：(1)n的值为____________．(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．【答案】(1)15(2)45(3)【分析】（1）根据多边形的外角和等于，即可求解；（2）用多边形的边数乘以的长，即可求解；（3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：．故答案为：15（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，∴这n边形的周长为（米）；故答案为：45（3）解：根据题意，得，解得，

∴这个正m边形的每一个内角的度数为．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键．（多边形外角和）例5：一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据正多边形的边数等于除以每一个外角的度数列式计算即可得解．【详解】．故这个多边形的边数为10．故选：B．变式51：如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形是边形．【答案】10/十【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．根据多边形的外角和等于求解即可得．【详解】解：这个多边形的边数为，即这个多边形是10边形，故答案为：10．变式52：如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．

(1)该五边形广场的内角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是度；(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据五边形内角和求解即可；（2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和；（3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可．【详解】（1）五边形广场的内角和，故答案为：；（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，∴跑步方向改变的角度的和是度，故答案为：；（3）延长NE交AB于点F

∵∴∵∴∵在五边形中∴【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点．（多边形内角和与外角和结合）例6：一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为，则这个正多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】本题主要考查了正多边形外角和和内角综合，设这个多边形的一个外角度数为x，则这个多边形的一个内角的度数为，根据正多边形一个内角和一个外角互补得到，解方程求出一个外角的度数，再根据正多边形外角和为360度即可求出边数．【详解】解：设这个多边形的一个外角度数为x，则这个多边形的一个内角的度数为，由题意得，，解得，∴这个正多边形的边数为，故选D．变式61：一个多边形的每一个内角都比外角多60°，那么这个多边形的边数是．【答案】6/六【分析】此题考查了多边形的内角与外角的关系，设这个多边形的外角为，则它的内角为，由两角互补得到，求出外角度数，利用多边形的外角和求出边数，熟练掌握多边形外角和是及相邻内外角的关系是解题的关键．【详解】解：设这个多边形的外角为，则它的内角为，∴，解得：，∵多边形的外角和等于，∴这个多边形的边数为：（边）．故答案为：6．变式62：和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．(1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由；(2)设的边数为①若，求的值；②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．【答案】(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析(2)①；②见解析【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题；（1）根据多边形的外角和始终为，即可求解；（2）根据多边形内角和定理列出方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：嘉嘉的说法不正确；理由：多边形的外角和始终为，与多边形的边数无关；（2）①，解得，即的值为；②，整理得，解得．∴无论取何值，的值始终不变．过关检测选择题（共6题，每题4分）1．已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于度是解题的关键．【详解】正多边形的一个外角等于，且外角和为，则这个正多边形的边数是：，故选C．2．如图，将一个三角形剪去一个的内角，剩下图形的内角和是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了四边形内角和．确定剪去一个内角后的图形的形状是解题的关键．由题意知，剪去一个内角，剩下的图形为四边形，然后作答即可．【详解】解：由题意知，剩下的图形为四边形，∴四边形的内角和为，故选：A．3．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画6条对角线，则这个多边形的边数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，解题的关键是掌握多边形从一个顶点可以最多画出条对角线．根据从n边形的一个顶点可以最多画出条对角线，求出边数即可．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得：，解得，故选：C．4．如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮拼接而成，那么一块正五边形黑皮的内角和是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据多边形内角和公式进行求解即可．本题主要考查了多边形内角和定理,熟知多边形内角和计算公式是解题的关键．【详解】解：∵,∴足球图片中的一块黑色皮块的内角和是,故选C．5．如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走（

）A．360米 B．480米 C．540米 D．600米【答案】B【分析】本题考查了正多边形外角和的应用，解题的关键是理解得到小明所走的图形是多边形，正多边形外角和是．【详解】解：由题意可得，图形是一个正多边形，每次前进40米后向右转，，即图形是正12多边形，（米），他第一次回到出发点O时一共走480米，故选：B．6．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】D【分析】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM．【详解】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．∵AB∥CD，∴∠KSM＝∠CNP＝30°．∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF＝25°+90°＝115°．∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°＝60°．故选：D．【点睛】本题考查了邻补角、平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识点．利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键．填空题（共8题，每题4分）7．正方形的内角和是．【答案】/度【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，对于n边形，其内角和为，据此求解即可．【详解】解：正方形的内角和是，故答案为；．8．已知一个多边形的内角和等于，则这个多边形是边形.【答案】9【分析】本题考查了多边形的内角和，根据边形的内角和为，直接代入数值，计算即可作答．【详解】解：设这个多边形是边形∴∴即故答案为：99．一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形是边形．【答案】十【分析】本题主要考查了多边形内角和公式、多边形外角和，根据多边形内角和公式和多边形的外角和是，即可求出答案．【详解】解：设这个多边形有n条边．由题意得：，解得．则这个多边形是十边形．故答案为：十．10．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为的扇形草坪（图中阴影部分），图中草坪的面积为．【答案】【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，扇形面积计算，根据三角形内角和为180度，得到图1中三个阴影部分扇形的圆心角度数之和为180度，根据四边形内角和为360度，得到图2中三个阴影部分扇形的圆心角度数之和为360度，根据五边形内角和为450度，得到图3中三个阴影部分扇形的圆心角度数之和为540度，据此分别求出三幅图中阴影部分的面积，再求和即可得到答案．【详解】解：∵三角形内角和为180度，∴图1中三个阴影部分扇形的圆心角度数之和为180度，∴图1中阴影部分面积为；∵四边形内角和为360度，∴图2中三个阴影部分扇形的圆心角度数之和为360度，∴图2中阴影部分面积为；∵五边形内角和为度，∴图3中三个阴影部分扇形的圆心角度数之和为540度，∴图3中阴影部分面积为；∴图中草坪的面积为，故答案为：．11．在四边形中，，且与互补，则．【答案】/80度【分析】本题主要考查了补角的定义，四边形的内角和，解题的关键是掌握相加等于180度的两个角互补，四边形的内角和为360度，根据题意得出，，再分别求出的度数，即可求解．【详解】解：∵与互补，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．12．如图，将等腰三角形剪去顶角后，得到一个四边形，若，则．

【答案】40【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，欲求∠A的度数，结合三角形内角和是180度，将问题转化为求与的度数之和；四边形的内角和是360度，则，据此解答即可．【详解】解：根据四边形的内角和定理可得，．根据三角形的内角和得：．故答案为：40．13．如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么度．【答案】60【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、四边形的内角和，熟练掌握角平分线的应用是解题关键．先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得，从而可得，由此即可得出答案．【详解】解：点是两个内角平分线的交点，，，，点是两外角平分线的交点，，，，，即，，，又，，，解得，故答案为：60．14．（1）如图1所示，；（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为；二环五边形的内角和为；二环n边形的内角和为．【答案】360°720°1080°【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；（2）连接，交于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得；结合五边形内角和性质，得；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）如图所示，连接AD，交于点M∵，，∴；故答案为：360°（2）如图，连接，交于点M∴，∵∴∴∵∴∴∴二环四边形的内角和为：∵二环三角形的内角和为：二环四边形的内角和为：∴二环五边形的内角和为：∴二环n边形的内角和为：故答案为：，，．【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解．解答题（共5题，前三题每题8分，后两题每题10分）15．一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，求：这个多边形是几边形？这个多边形共有多少条对角线？【答案】这个多边形是九边形，这个多边形共有27条对角线．【分析】多边形的内角和可以表示成，外角和是固定的，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍列方程求解．多边形对角线的条数可以表示成．【详解】解：设这个多边形是n边形，则，；这个多边形的对角线有：（条）．答：这个多边形是九边形，这个多边形共有27条对角线．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．16．如图，在四边形中，，．(1)当时，求的度数．(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据四边形的内角和是，可得，再由即可求出结果；（2）根据可得，，再利用平分，可求，最后根据三角形的内角和即可求出结果．【详解】（1）解：，，，∵四边形的内角和是，，又，，．（2）解：平分，，又，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质、四边形和三角形的内角和及角平分线的定义，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解决问题的关键．17．如图，在四边形中，平分，平分．(1)若，，求、、的度数．(2)若，则______，______；若，则______，______．(3)根据（2）的结论，请猜想与之间的关系，并说明理由．【答案】(1)，，=；(2)240，60，210，75；(3)；理由见解析【分析】本题考查了多边形内角和，三角形的内角和定理，角平分线的性质．（1）根据角平分线的定义即可求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得到；（2）根据四边形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；（3）根据四边形的内角和等于表示出，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式整理即可得解．【详解】（1）解：∵平分，平分，，，∴，，∴；（2）解：若．∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴；若．∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴；故答案为：240

60

210

75；（3）解：．理由：设，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴．18．阅读材料：我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其它求角度的问题，如图，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连接对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和为．解决问题：（1）如图①，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角