2024-2025学年江苏省无锡市江阴市长泾第二中学九年级（上）10月随堂练习数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省无锡市江阴市长泾第二中学九年级（上）10月随堂练习数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，关于x的一元二次方程是(

)A.2x−1=3x B.1x2+4x+1=0 C.22.用配方法解一元二次方程x2−8x+5=0，将其化成x+a2=bA.x+42=11 B.x−42=21 C.3.已知⊙O的半径是一元二次方程x2−5x−6=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=5，则直线l与⊙O的位置关系是(

)A.相交 B.相切 C.相离 D.平行4.下列说法正确的是(

)A.经过三点可以作一个圆

B.三角形的外心到这个三角形的三边距离相等

C.等弧所对的圆心角相等

D.相等的圆心角所对的弧相等5.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于60∘，则这个扇形的半径R的值是(

)

A.3 B.6 C.9 D.126.如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O半径长为(

)

A.10 B.5 C.6 D.7.如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD=25°，则下列结论错误的是(

)

A.AE⊥DE B.AE//OD C.DE=OD D.∠BOD=50°8.如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是(

)

A.2 B.32 C.3 9.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画RtΔABC，使∠ACB=90∘，BC=a2，AC=b，再在斜边ABA.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长10.如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C是上半圆AB⌢的中点，点D是下半圆AB⌢上一点，点E是BD⌢的中点，连接AE、CD交于点F.当点D从点A运动到点B的过程中，点FA.22π B.2π 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.关于x的一元二次方程(k−1)x2+6x+k2+k−2=0有一个根是012.某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是

．13.某生物实验室需培育一批有益菌，现有40个有益菌，每个有益菌每次可分裂成若干个相同数目的有益菌，经过两轮分裂后，有益菌的数量为16000个．设平均每个有益菌每次可分裂成x个有益菌，根据题意，可列方程：

．14.如图，▵ABC的外接圆O的半径为3，∠C=55∘，则劣弧AB⌢的长是

.(结果保留π)

15.如图，⊙I为▵ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若▵ABC的周长为21，BC边的长为6，▵ADE的周长为

．

16.⊙O是▵ABC的外接圆，连接OB，∠ABO=28∘，则∠C的度数为

，17.如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心．AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则S2−S1的值为18.如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=16，P为CD的中点，连接BP.在矩形ABCD外部找一点E，使得∠BEC+∠BPC=180∘，则线段BP长为

；线段DE的最大值为

．

三、计算题：本大题共1小题，共6分。19.解方程：(1)(2)四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题8分)

先化简再求值：2aa−2+a÷aa221.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+2(m+1)=0(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根(2)若该方程有两根为x1，x2，且x22.(本小题8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB⌢=AC⌢，连接AC，若23.(本小题8分)如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度AB=10m，拱高为1m．

(1)请你确定圆弧所在圆的圆心(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)；(2)求拱桥所在圆的半径．24.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB⌢的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF(1)求证：CF为⊙O的切线；(2)连接BD.若CF=4，BF=2，求BD的长．25.(本小题8分)

(1)在图①中，已知⊙O1，点P在⊙O1上，过点P作(2)在图②中，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，过点Q作⊙26.(本小题8分)

某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．(1)平均每天的销售量为

本(用含x的代数式表示)；(2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？27.(本小题8分)如图1，平行四边形ABCD中，AB=8,BC=4,∠ABC=60∘.点P为射线BC上一点，以BP为直径作⊙O交AB、DC于E、F两点．设⊙O

(1)如图2，当⊙O与DP相切时，x=

．(2)如图3，当点P与点C重合时，①求线段CE长度；②求阴影部分的面积；(3)当⊙O与平行四边形ABCD边所在直线相切时，求x的值；28.(本小题8分)

(1)【学习心得】小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在▵ABC中，∠BAC=90∘,AB=AC=AD，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=(2)【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90∘,∠BAC=26∘，求∠BDC的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：▵ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，12BD长为半径的圆；▵BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，12BD长为半径的圆．这样A(3)【问题拓展】①如图3，▵ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC．②如图4，在▵ABC中，∠BAC=45∘，AD是BC边上的高，且BD=3,CD=1，直接写出AD参考答案1.D

2.D

3.A

4.C

5.B

6.B

7.C

8.C

9.B

10.B

11.−2

12.2π

13.40x14.11π615.9

16.62∘或11817.3π218.213+

19.【小题1】解：x∵a=1,b=−3,c=−1，∴b则x=−b±x1【小题2】x−5∵则x−5=0或3x−5=0，解得x1

20.解：原式====aa+2把x=a代入x2得a2∴a∴原式=1．

21.【小题1】由题意：a=1,b=−m+3∴Δ=====m−1∴不论m为何值，方程总有实数根；【小题2】∵方程的两个实数根x∴∵x∴x即m+32解的m=0或m=−2，经检验：m=0或m=−2符合题意．

22.解：∵∴∠ACB=∠B在▵ABC中∵∠BAC+∠B+∠C=180∘∴∠B=∠ACB=∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠B+∠D=∴∠D=180

23.【小题1】根据弦的垂直平分线都经过圆心，作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心．如图，【小题2】连接OA．设这个拱桥的半径为r，则OD=r−1，∴AD=BD=1在Rt△OAD中，AD=5m，OD=r−1．由勾股定理得：O即r2=5这个拱桥所在圆的半径长为13m．

24.【小题1】如图，连接OC，OD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵CF=EF，∴∠FCE=∠FEC，∵∠OED=∠FEC，∴∠OED=∠FCE，∵AB是直径，D是AB⌢∴∠DOE=90∴∠OED+∠ODC=90∴∠FCE+∠OCD=90∘，即∵OC是半径，∴CF是⊙O的切线；【小题2】设OA=OD=OC=OB=r，则OF=r+2，在Rt▵COF中，OC∴4解得r=3，∴OB=OD=3，∵∠DOB=90∴BD∴BD=

25.【小题1】如图①，l1【小题2】如图②，l2

26.【小题1】(100+10x)【小题2】由题意可得，(60−40−x)(100+10x)=2240，整理得x2解得x1=4，∵要求每本售价不低于55元，∴x=4符合题意．故每本画册应降价4元．

27.【小题1】4【小题2】解：①∵点P与点C重合，∴BC为⊙O的直径，∴∠BEC=90∴∠BCE=90∴BE=1在Rt▵BCE中，CE=②如图2，连接OE，∵BE∴∠BOE=2∠BCE=60过点E作EH⊥OB于H，则∠OEH=30∴OH=1∴EH=∴=60π×【小题3】解：①当⊙O与直线CD相切时，如图3，∴OF⊥CD，∴∠OFC=90∵∠OCF=∠ABC=60∴∠COF=30∴CF=1∵OB=OF=x，∴OC=4−x,CF=1∵CF∴1解得：x=−12+83或x=−12−8②当⊙O与直线AD相切时，如图4，过点O作OT⊥AD于T，连接AC，则OT=OB=x，取AB的中点G，连接CG，∴BG=AG=∵∠ABC=60∴▵BCG是等边三角形，∴CG=BC=4=AG，∴∠BAC=∠ACG=30∴∠ACB=∴AC=∴∠ACO=90∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠TOC=∠DTO=∠ATO=90∴四边形ACOT是矩形，∴x=OT=AC=4综上所述，x=−12+83或

28.【小题1】45【小题2】解：如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD=∠BCD=90∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BAC=26∴∠BDC=26【小题3】①证明：∵BE⊥AC,CF⊥AB，如图3，∴点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，∴∠EFC=∠DAC，同理：点B、D、H、E在以BH为直径的同