初中数学《隐形圆》模型梳理与题型分类含答案解析

隐形圆(4大模型与6类题型)隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实.本专题梳理了隐形圆四大】定点定长模型(1)(2)如图1OA=OB=OCABC在以O为圆心，OA为半径的圆上.由圆周角定理可得：∠ABC=121212∠AOC,∠ACB=∠AOB,∠=∠BOC.图1】90°圆周角模型2△ABC中，∠C=90°CC的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含AB两点)．图2】定弦定角模型⊙OABAB所对的圆周角都相等；(AB所对的劣弧(AB))1AB及线段AB所对的∠CC不唯一．当∠C<90°C∠C=90°时CAB是⊙O∠C>90°C在劣弧上运动．∠A+∠C=1800ABCD在圆OABCD四点共圆.图3......................................................3;】90°圆周角模型...................................................6;.....................................................11；.....................................................15；.........................................................20；.........................................................23.】定点定长模型1.(23-24九年级上·福建福州·期末)△ABC中，AB=4DE分别是边AB,BC上的动点(不与△ABC的顶点重合)AE,相交于点F接BF∠BDF+∠=180°BF的最小值为．243433【【3/∠BDF+∠=180°，F在以O为圆心OA的长为半径∠AOC=120°的圆弧上运动△AOB≌△COB，∠DFE=120°，∠AFC=120°，OA,OC,OB,，OA=OC=,BF≥OB-，进行求解即可．△AOB为含30度角的直角三角形解∵等边△ABC，∴∠ABC=60°AB=BC，∵∠BDF+∠=180°，∴∠DFE+∠ABC=360°-∠BDF+∠=180°，∴∠DFE=120°，∴∠AFC=120°，∴点F在以O为圆心OA的长为半径OA=OC=,BF≥OB-，∵AB=BCOB=OB,OA=OC，∠AOC=120°的圆弧上运动OA,OC,OB,，∴△AOB≌△COB，1212∴∠ABO=∠CBO=∠ABC=30°∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，∴∠=90°，∴BO=2AOAB=3AO=4，43∴AO=3，8343∴BO=2OA=3=AO=3，3；434∴BF≤3，BF的最小值为343故答案为3．【30度角的直角三角形F的运动轨迹．一点到圆上一点的最值2.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，P是边长为1的正方形∠PBC+∠PDC=45°CP的最小值是()31222A.2-2DB.C.2-1中，求出∠BPD=135°P∠BPD=135°P在正方形A为圆心，ABAPACAPC三点共线时，CPAC-APAC和AP∠BPDP的轨迹．解：∵四边形是正方形，∴∠=90°，在凹四边形中，∵∠=90°∠PBC+∠PDC=45°∴∠BPC+∠CPD=360°-∠-(∠PBC+∠PDC)=225°，∴∠BPD=360°-(∠BPC+∠CPD)始终为135°，得点P∠BPD=135°P在正方形A为圆心，AB长为半径的圆弧APAC，，由解图可得AP+CP≥ACAPC三点共线时，CPAC-AP，在Rt△ABC中，∵AB=BC=1，∴AC=AB2+BC2=2，∵AP=AB=1，∴CP=AC-AP=2-1，故选：D．3.(24-25九年级上·江苏宿迁)中，AB=6BC=8EF分别是边ABBC上=4G是的中点，AGCG面积的最小值为()4A.30B.32C.3538DACBGG在以B为圆心，2B作BH⊥AC于HG在BH上时，△ACGACBG，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°S=48，∵=4G为的中点，1∴BG==2，2∴G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，△ACG面积取最小值，四边形面积=三角形ACG面积+三角形面积，即四边形面积=三角形ACG面积+24．设圆弧交BH于面积取最小值，由勾股定理得：AC=62+82=10，1212∵AC⋅BH=AB⋅BC，∴BH=4.8，∴H=2.8，12即四边形面积的最小值=×10×2.8+24=38．故选：D．斜边的直线等于斜边的一半确定出G点的运动轨迹．】90°圆周角模型4.(2024·湖南娄底·一模)的边长为aEF分别在BCBE=CFAE与BF相交于点G接CGCG的最小值为．55-1a290°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明△ABE≌△BCF证∠AGB=90°G在以ABG在OC与弧的交点处时，CGOC的长即可求解．解：∵四边形是正方形，∴∠ABC=∠BCF=90°AB=BC=a，AB=BC∴在△ABE和△BCF中，∠ABC=∠BCFBE=CF∴△ABE≌△BCF，∴∠=∠CBF，∵∠ABF+∠CBF=90°，∴∠ABF+∠=90°，∴∠AGB=90°，∴点G在以AB为直径的一段弧上运动，设AB的中点为OG在OC与弧的交点处时，CG最短，∵AB=a，a2∴OB=OG=，a2522∴OC=+a2=a，5-1a2∴CG=OC-OG=5-1a，．25.(23-24九年级下·山东日照)的边长为2FCF,DF∠ADF=∠DCFE是ADEB,EB+长度的最小值为()6A.13-1AB.10-1C.105+1∠ADC=90°∠DFC=90°F在以为直径的半圆上移动，的中点为O关于直线AD对称的正方形ADC的对应点是BO交AD于EO于FF的长即为EB+解：∵四边形是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠ADF+∠=90°，∵∠ADF=∠DCF，∴∠DCF+∠=90°，∴∠DFC=90°，∴点F在以为直径的半圆上移动，的中点为O关于直线AD对称的正方形ADC的对应点是B，连接O交AD于EO于FF的长即为EB+的长度最小值，=1，∵∠C=90°,C=C==2，∴OC=3，∴=C2+OC2=13，∴F=13-1，∴FD+FE的长度最小值为13-1，故选：A．理解点的运动轨迹是解题的关键．6.(24-25九年级上·广东深圳·开学考试)如图，EF是正方形的边ADAE=DF．连接CF交BD于点GBE交AG于点H．若正方形的边长为1DH长度的最小值是()7525-1252A.-1B.C.5-1B可判定△ABE≌△DCF∠ABE=∠DCF∠DCG=∠∠AHB=90°AB的中点OH的运动轨迹为以O为圆心，=1212AB=OHD三点共线时，DH解：∵四边形是正方形，∴AB=AD==1，∠=∠=90°，∠ADG=∠CDG，∵∠+∠G=90°，在△ABE和△DCF中，AB=∠=∠，AE=DF∴△ABE≌△DCF()，∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△中，AD=∠ADG=∠，DG=DG∴△ADG≌△CDG()，∴∠DCG=∠，∴∠ABE=∠，∴∠ABE+∠=90°，∴∠AHB=90°，AB的中点O，12∴OA=，1212∴H的运动轨迹为以O为圆心，=AB=为半径的半圆，如图，当OHD三点共线时，DH最小，∴=2+AD212==+12252，∴DH=-525-1212==-；故选：B．8键．】定弦定角模型7.(22-23九年级上·江苏南京·阶段练习)如图，是△ABCAB=2∠ACB=45°长的最大值为()A.1+2AB.4-2C.24AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOBC在以O为圆心，OA经过圆心时解AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，∵∠ACB=45°∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，∵AB=2，∴OA=OC=2，当经过圆心时最长∵是△ABC的高，12∴AD=BD==AB=1此时=OC+=2+1，故选：A．C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动．8.(20-21九年级上·江苏无锡·期末)AB分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB=4CB⊥ABBC=2OC的最大值为()A.22+2B.22+4C.2525+29Ay=x与x轴的夹角为45°ABAD,,∠=45°△DCBDC+DC≥OC可求得OC的最大值ABAD,,，∵y=x与x轴的夹角为45°，12∴∠AOB=45°=∠∴A,O,B在⊙D上，∵AB=4∠=90°，∴BD=AD=22，∴∠ABD=45°∵BC⊥AB∴∠=90°∴∠CBD=45°∴△中BC=2,BD=22,∠CBD=45°过点C作CE⊥BD于点E则BE=CE=2=∴=CB=2∵+DC≥OC∴当O,D,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为+DC=+DC=22+2故选A⊙D是解决本题的关键．9.(19-20九年级上·浙江宁波·期末)Rt△ABC中，∠=90°BC=2P是△ABC∠PBC=∠PCAAP长的最小值为()1013A.0.5B.2-1C.2-2C∠PBC+∠PCB=45°∠BPC=135°P在以BC为弦的⊙OOA交BC于P′BC所对的圆周角∠BQC∠BOC=90°得到△OBCABOCOA=BC=2OB=2关系得到AP≥OA-OP(当且仅当APOP点在P′位置)AP的最小值.解：解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB=45°∠PCB+∠PCA=45°，∵∠PBC=∠PCA，∴∠PBC+∠PCB=45°，∴∠BPC=135°，∴点P在以BC为弦的⊙OOA交BC于P′，作BC所对的圆周角∠BQC∠BCQ=180°-∠BPC=45°，∴∠BOC=2∠BQC=90°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴四边形ABOC为正方形，∴OA=BC=2，22∴OB=BC=2，∵AP≥OA-OP(当且仅当APOP点在P′位置)，∴AP的最小值为2-2．故选：C．..推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.10.(22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)中，∠ABC=∠D=90°接AC，点F为边BF交AC于点EAB=AE∠FGC+∠FBG=90°∠BFG+2∠GFC=722180°AD=BG=4CG的长为．8与的延长线相交于点H∠FGC=∠ABF∠GFC=∠BFD11722理得到∠H=∠ACBBH=BC∠H=∠H=45°AD=DH=AH=AD2+DH2=7CGEFEG明CE=CGCE=CG=xBH=BC=4+xAE=AB=x-3AC=2x-3AB2+BC2=AC2x-32+x+42=2x-32与的延长线相交于点H，∵∠FGC+∠FBG=90°∠FBG+∠ABF=∠ABC=90°∴∠FGC=∠ABF，∵∠BFG+2∠GFC=180°∠BFG+∠BFD+∠CFG=180°，∴2∠GFC=∠BFD+∠CFG，∴∠GFC=∠BFD，∵∠H+∠ABF+∠BFD=180°=∠ACB+∠FGC+∠GFC，∴∠H=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴∠H=∠ACB=45°BH=BC，∵∠ADH=90°，∴∠H=∠H=45°，722∴AD=DH=，∴AH=AD2+DH2=7，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠FGC=∠ABE∠=∠AEB，∴∠FGC=∠，∴点CGEF连接EG，∴∠GFC=∠CEG∠BFD=∠CGE，∵∠GFC=∠BFD，∴∠CGE=∠CEG，∴CE=CG，设CE=CG=xBH=BC=BG+CG=4+x，∴AE=AB=BH-AH=x+4-7=x-3，∴AC=AE+CE=x-3+x=2x-3，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴x-32+x+42=2x-32，解得x=-1()或x=8，∴CG=8，故答案为：8共圆．11.(24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习)ABC中，AB=5,P为AB边上一动点，PD12⊥BC,PE⊥ACD,E则的最小值为．154PCCP的中点OOEO作⊥于H△是顶角为120°OE的值最小时，PC的最小值．PCCP的中点OOE点O作⊥于H，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°AB=BC=AC=5，∵PD⊥BCPE⊥AC，∴∠PEC=∠PDC=90°，∵OP=OC，∴OE=OP=OC=，∴CDPE四点共圆，∴∠=2∠=120°，∴当OE的值最小时，的值最小，532534CP⊥AB时，PC=时OE最小，OE=，∵OE=⊥，∴DH=EH∠=∠=60°，∴∠OEH=30°，12538∴=OE=，158∴DH=EH=OE2-2=，15∴=2DH=，4154∴的值最小为，15故答案为：．430°CP⊥AB时OE最小是解题的关键．12.(23-24九年级下·江苏南京·阶段练习)△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=2P是射线AB上一动点，∠CPD=90°PC=PD接ADCDAD+的最小值是．1325AC中点HDH交AB于点G接BD,PHDH⊥AC时，DH△AD=CDAD,AD+∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°出DH∥BC中点为O∠CHD=∠CPD=90°C,H,P,D在以点O为圆心∠CHP+∠PDC=180°∠ABC=45°B在圆O上，进而推出∠CBD+∠CPD=180°∠CBD=90°BCHDHD=BC=2定理即可计算出解AC中点H接DH交AB于点GBD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，∵点H是AC中点，DH⊥AC，∴△是等腰三角形，∴AD=CD，∵AH,CH是定值，DH有最小值时，即AD,AD+有最小值，∵∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，∴DH∥BC，设中点为O，∵∠CHD=∠CPD=90°，∴点C,H,P,D在以点O为圆心为直径的圆上，∴∠CHP+∠PDC=180°，∵∠ABC=45°，∴此时点B在圆O上，∴∠CBD+∠CPD=180°，∴∠CBD=90°，∵DH∥BC，∴四边形BCHD是矩形，∴HD=BC=2，1∵HC=AC=1，2在Rt△CHD中，∴=CH2+HD2=5，∴AD+的最小值为2=25，故答案为：25．1411.(2023·山东泰安·中考真题)Rt△AOB的一条直角边OB在xA的坐标为(-64)Rt△中，∠=90°=43∠D=30°BCM是BC接AM．将Rt△以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是()A.3B.62-4C.213-22A到E得AE=ABOECEA的坐标为(-64)得到BE=812证明AM是△BCEAM=CERt△得到OC=4C在以O为圆4M在线段OE上时，CEAMCE的到EAE=ABOECE，∵Rt△AOB的一条直角边OB在xA的坐标为(-64)，∴AB=4OB=6，∴AE=AB=4，∴BE=8，∵点M为BCA为BE中点，∴AM是△BCE的中位线，1∴AM=CE；2在Rt△中，∠=90°=43∠D=30°，33∴OC==4，∵将Rt△以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O4的圆上运动，∴当点M在线段OE上时，CEAM有最小值，∵OE=BE2+OB2=10，∴CE的最小值为10-4=6，∴AM的最小值为3，故选A．30度角152.(2022·广西柳州·中考真题)中，AB=4G是BCE是正方形内一个EG=2绕点D逆时针旋转90°得到线段DF接CFCF长的最小值为．25-2EG=2E在以G2AE△≌△()得AE=CFAEG三点共线时，AECFEG=2E在以G2AE，∵正方形ABCD，∴AD=,∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF=90°，∴∠=∠，∵=DF，∴△≌△CDF()，∴AE=CF，∴当AEG三点共线时，AECF最短，∵G位BC中点，BC=AB=4，∴BG=2，此时AG=BG2+AB2=此时AE=25-2，22+42=25，所以CF的最小值为：25-2.故答案为：25-2本性质求解线段的最小值是解本题的关键．23.(2022·辽宁抚顺·中考真题)的边长为10G是边E是边AD上BE△ABE沿BE翻折得到△FBE接GF．当GF最小时，AE的长是．1655-5(谁动谁定)(比如将军饮马模