初中数学《相似三角形问题》习题含答案解析

2025年中考复习二次函数综压轴题专题训练:相似三角形问题1.y=-x2+3x+4与x轴交于AB两点(点A位于点B的左侧)y轴交于C的对称轴l与x轴交于点N为1的线段PQ(点P位于点Q的上方)在x轴上方的抛物线对称轴上运动．(1)直接写出ABC三点的坐标；(2)过点P作PM⊥y轴于点M△CPM和△QBNQ的坐标．(1)A-1,0B4,0C0,4；31531533+26(2)点Q的坐标是,,,或或．222822(1)分别令x=0和y=0323232CMQN(2)Q,tP,t+1M0,t+1N,0=PMBNCMBNPMQN=(1)y=-x2+3x+4x=0y=4得C0,4，令y=0-x2+3x+4=0得x=-1x=4或，；A-1,0B4,03-232(2)y=-x2+3x+4的对称轴为直线x=-=，323232设Q,tP,t+1M0,t+1N,0，∵B4,0C0,4，5232∴BN=QN=tPM=CM=t-3，∵∠CMP=∠QNB=90°，CMQNPMBNCMBNPMQN∴△CPM和△QBN相似只需=或=，3t-3tCMQNPMBN2①当=时，=，52152158解得t=或t=，315315∴Q,,或；222832tt-352CMBNPMQN②当=时，=，3+263-26解得t=或t=(舍去)，22133+26∴Q,，2231531533+26Q的坐标是,或,或,．2228221482.y=(x+2)(ax+b)的图象过点A(-43)B(44)．(1)求二次函数的解析式；(2)请你判断△ACB(3)若点PP作PH垂直x轴于点HPHD为顶点的三角形与△ABCP13481856(1)y=x2+x-；(2)50351313122284(3)P的坐标为-，或-，1313(1)将点A及点Bab(2)CACABBC证明△ACB是直角三角形；(3)△DHP∽△BCA△PHD∽△BCA的性质求出点P的坐标．(1)A(-43)B(44)，13=(-4+2)(-4a+b)故可得：1，4=(4+2)(4a+b)a=13解得：，b=-20yx+2)(13x-20)=x2+x-．1348185故答案为：y=x2+x-．6(2)解：△ACB13481856由(1)所求函数关系式y=x2+x-，13481856当y=0时，0=x2+x-，22013解得x=-2x=；122013∴点C坐标为(-20)D坐标为0，又∵点A(-43)B(44)，∴AB=(4+4)2+(4-3)2=65，AC=(-2+4)2+(0-3)2=13，BC=(4+2)2+(4-0)2=213，∵满足AB2=AC2+BC2，∴△ACB是直角三角形．(3)5035131312228413点P的坐标为-或-．13，，设点P坐标为x8(x+2)(13x-20)，12013则PH=(x+2)(13x-20)HD=-x+，48若△DHP∽△BCA，PHACDHBC则即=，1(x+2)(13x-20)-x+=，135013213(因为点P)；2013解得：x=-或x=35135035代入可得PH=，即1坐标为-；，1313PHBCHDAC若△PHD∽△BCA=，，1(x+2)(13x-20)-x+即=213122132013解得：x=-或x=(因为点P)．1328413122284代入可得PH=，即2坐标为：-．，13135035131312228413P1-或2-．13，，323.y=ax2+x+c与x轴交于点ABy轴交于点CA和点C的坐标分别为-1,0和0,2332(1)求抛物线y=ax2+x+c的函数表达式；(2)将线段CB绕点C顺时针旋转90°CD接ADAD的长；(3)点MAM交BC于点N接BMS△BMN=14S△ABNM的横坐标的值．1232(1)y=-x2+x+2(2)AD=5112(3)2-32(1)把A(-10)C(02)代入y=ax2+x+cac出，的值即可；(2)先求出点BD作⊥y轴于点E明Rt△≌Rt△BOC可求出点D两点间距离公式求出AD即可；14(3)过点M作MF⊥x轴于点F点N作NG⊥x轴于点G据S=S得AN=4MNAN:121232AM=4:5BC的解析式y=-x+2Mm-m2+m+2，12NGMFAGAF45Nn-n+2明ΔANG∼ΔAMF==32(1)∵抛物线y=ax2+x+c经过点，，A(-10)C(02)，3a-+c=0∴2c=212a=-c=2解得，1232∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+21232(2)对于y=-x2+x+2，1232当y=0时-x2+x+2=0解得，x=-1,x=412∴BO=4B(40)∵C(02)∴OC=24过点D作⊥y轴于点E∴∠=∠BOC=90°∵∠DCB=90°∴∠DCE+∠BCO=90°∵∠DCE+∠=90°∴∠=∠BCO又=CB∴△≌△BOC∴CE=BO=4=CO=2∵CE=CO+OE∴OE=2∴D(-2,-2)又A(-1,0)∴AD=[-2-(-1)]2+(-2-0)2=5(3)设直线BC的解析式为y=kx+b，4k+b=0把点B(40)C(02)代入得，b=212k=-b=2解得，1∴直线BC的解析式为y=-x+22123212设Mm-m2+m+2Nn-n+2，，，过点M作MF⊥x轴于点FN作NG⊥x轴于点G则有：AG=1+nAF=1+m14∵S=S∴AN=4MNAN:AM=4:5，由MF⊥x轴，NG⊥x轴得NG⎳MF∴ΔANG∼ΔAMFNGMF1+nAGAF4ANAM45∴∴====①1+m51-n+2452=②12232-m+m+21由①得，n=(4m-1)③511-×(4m-1)+24525把③代入②得，=12232-m+m+2整理得，4m2-16m+5=0112112解得：m1=2+∵m<4,m2=2-5112∴m=2-112∴点M的横坐标为2-4.y=-x2-2x+3与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧)y轴交于点C．(1)求点ABC的坐标；(2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D接ACEF(点EF关于直线lE在点F左侧)DEF为顶点的三角形与△AOCE(1)点A的坐标为-3,0B的坐标为1,0C的坐标为0,3-1-17-1+17-3-17-1-17(2)E的坐标为E1,E,22222(1)令y=0x=0(2)根据二次函数解析式得到点D的坐标为-1,0得△AOC是以AC∠OAC=45°交l于点GDF=结论．(1)y=-x2-2x+3，，y=0-x2-2x+3=0解得x=-3x=1，12∴点A的坐标为-3,0B的坐标为1,0，在y=-x2-2x+3中，，x=0y=3∴点C的坐标为0,3；(2)y=-x2-2x+3=-x+12+4知抛物线的对称轴l为直线x=-1，∴点D的坐标为-1,0；∵A-3,0C0,3，∴OA=OC=3，∴△AOC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴∠OAC=45°，交l于点G，∵点EF关于直线l对称，∴DF=，∵△EDF∼△AOC，则∠EDF=90°∠=45°，6∴DG=FG．分两种情况讨论：当点E在xE1的横坐标为nn<-1，则EG=-1-nDG=EG=-1-nEn,-1-n，111111将其代入y=-x2-2x+3-1-n=-n2-2n+3，-1-17-1+17解得n1=n2=(舍去)，22-1-17-1+17∴E1,，22当点E在xE的横坐标为nn<-1EG=-1-nDG=EG=-1-n，222222∴En,1+n，2将其代入y=-x2-2x+31+n=-n2-2n+3，-3-17-3+17解得n1=n2=(舍去)，22-3-17-1-17∴E2,，22EF(点EF关于直线lE在点F左侧)DEF为顶点的三角形与△AOC相似，-1-17-1+17-3-17-1-17∴点E的坐标为E1,E,．222225.x轴交于A-1,0,B3,0y轴交于点C0,3DP是x轴上方的抛物线上的一个动点，PM⊥x轴于点MBC交于点E．(1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；(2)设点P的横坐标为t(0<t<3)，①当tPE的长最大；②连接CD：△为直角三角形；(3)是否存在点PPMB为顶点的三角形与△P(1)抛物线所对应的函数关系式y=-x2+2x+3D1,43294(2)①当t=PE的长最大值为72113(3)P23或P-,9(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+ca≠0(2)①利用待定系数法求得直线BC的函数关系式为y=-x+3．设Pt-t2+2t+3Et-t+3．392那么，PE=-t-+根据点的坐标利用两点之间的公式和24勾股定理逆定理即可判定；(3)由(2)知△∠=90°=2BC=32．分两种情况(Ⅰ)△PMB∽PMBMBCBMPMBC△BCD=(Ⅱ)△BMP∽△BCD=(1)y=ax2+bx+ca≠0，∵抛物线与x轴交于A-1,0,B3,0y轴交于点C0,3，0=a-b+c∴0=9a+3b+cb=2，a=-1c=33=c∴抛物线所对应的函数关系式y=-x2+2x+3，y=-x-1+4D1,4．(2)抛物线y=-x2+2x+3与x轴交点坐标为A-1,0,B3,0．设直线BC的函数关系式为y=kx+bk≠0，0=3k+b3=bk=-1b=3则，直线BC的函数关系式为y=-x+3．设Pt-t2+2t+3，Et-t+3．32942∴PE=-t2+2t+3--t+3=-t2+3t=-t-+，∵a=-1<00<t<3，3294∴当t=PE的长最大值为．②证明：∵B3,0C0,3D1,4则BC=32+32=32BD=3-12+42=25=12+4-32=2，，，∵BC2+2=BD2，∴△为直角三角形；(3)由(2)知△∠=90°=2BC=32．PMBM(Ⅰ)如图3.2△PMB∽△BCD=BC，-t2+2t+33-t322即=，t2-5t+6=0t=2t=3(舍去．，)12∴P23．(Ⅱ)如图3.3△BMP∽△BCD，BMPM3-t-t2+2t+3BC则即=，322=，8233t2-7t-6=0得t=-1，t=3(舍去．)2211∴P-,．392113故符合条件的点P的坐标为P23或P-,．96.在平面直角坐标系xOyFy=-x2+bx+c经过点A(-3,-1)y轴交于点B(0，2)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C接OC交AB于点D的最大值及此时点C的坐标．(1)y=-x2-2x+2983112(2)，-,4(1)用待定系数法求函数解析式即可；(2)过点C作x轴的垂线CH交AB于点Mx轴于点HCM∥y△∽△3CMOBCM232942==Ct,-t2-2t+2-3<t<0M(t,t+2)CM=-t++t=-时，CMC的坐标．2(1)A(-3,-1)B(02)代入y=-x2+bx+c，-9-3b+c=-1，得c=2，b=-2，解得c=2，∴抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+2；(2)C作x轴的垂线CH交AB于点Mx轴于点HCM∥y轴，∴△∽△，CMOBCM2∴==，设直线AB的表达式为y=mx+n，9-3m+n=-1，n=2，把A(-3,-1)B(02)代入表达式得，m=1，n=2，解得∴直线AB的表达式为y=x+2．设Ct,-t2-2t+2-3<t<0M(t,t+2)，32942∴CM=-t2-2t+2-t-2=-t2-3t=-t++，∵-3<t<0，3∴当t=-时，CM有最大值，294298311∴的最大值为=C的坐标为-,．247.直线y=-3x+3与x轴交于点By轴交于点Cy=-x2+bx+c经过BCx轴的另一交点为A接ACP为AC上方的抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)BPAC于点DPD:BD=5:16P的坐标；(3)PC．过点P作PE∥yAC于点E△PCE与△ABCP的横坐标及线段PE长．(1)y=-x2-2x+3115572494(2)-,或-,24353209(3)xP=-PE=或xP=-PE=2(1)先确定点BC(2)先求直线AC和BP△BDG∽△BPH边成比例建立方程求解即可；(3)分两种情况：△ABC∽△EPC或△ABC∽△ECP(1)y=-3x+3与x轴交于点By轴交于点C，令x=0y=3y=0x=1，∴B(1,0)C(0,3)∵抛物线y=-x2+bx+c经过BC两点，将BC的坐标代入解析式可得10-1+b+c=0c=3，b=-2c=3解得，∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；(2)y=-x2-2x+3=0x=1或x=-3，∴A(-3,0)，∵C(0,3)，∴设直线AC的解析式为：y=kx+b1，将A(-3,0)C(0,3)代入直线y=kx+b1-3k+b1=0，b1=3k=1b1=3解得：，∴直线AC的解析式为：y=x+3，设P点坐标为(m,-m2-2m+3)，设直线BP的解析式为：y=ax+n，将B(1,0)P(m,-m2-2m+3))代入解析式a+n=0y=ax+n，am+n=-m2-2m+3a=-m-3n=m+3解得：，∴直线BP的解析式为：y=-m+3x+m+3，联立直线BP与直线ACy=-m+3x+m+3y=x+3，mm+4解得x=，如图过点P作PH⊥x轴于点HDG⊥x轴于点G∵DG∥PH∴∠BDG=∠BPH∠BGD=∠BHP=90°又∵∠=∠PBH∴△BDG∽△BPH∵PD:BD=5:16∴BG:BH=16:21mm+4∵BG=x-x=1-BH=x-x=1-mBPBDm1-1621m+4∴=1-m125252解得：m=-或m=-，12经检验，m=-m=-都是方程的根，12154∴当m=-时，-m2-2m+3=；5274当m=-时，-m2-2m+3=11121557故点P的坐标为--，；424，(3)P点坐标为a,-a2-2a+3，∴Ea,a+3，∴PE=-a2-2a+3-a+3=-a2-3aAC=AO2+OC2=32+32=32，EC=(a-0)2+(a+3-3)2=2a2=-2a，∵PE∥y轴，∴∠PEC=∠ACO，又∵OA=OA=3OC⊥OA,∴∠CAB=∠ACO=45°，∴∠PEC=∠CAB，①当△ABC∽△EPC时，ACECABEP=，32-2a4即=，-a2-2a+3-a-353解得：a=-或a=0，经检验a=0209∴PE=-a2-3a=；②当△ABC∽△ECP时，ABECACEP=，432-a2-2a+3-a-3即=，-2a3解得：a=-或a=0，2经检验a=094∴PE=-a2-3a=．8.xoyy=ax2+bx+3x轴交于点A和Cy轴交于点B．点P为直线ABP作PQ⊥x轴于点QAB于点MA4,0，且AC=5．12(1)求抛物线的函数表达式；(2)求当M是PQ中点时的P点坐标；(3)作PN⊥ABN接PB．请从下列两个问题中任选一个问题完成．PN△的面积最大值．(4)连接x为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出P3494(1)y=-x2+x+3；92(2)点P1，；125(3)选①当x=2时，PN的最大值为△B的面积最大值为6．(4)x=2(1)可求出点C坐标为-1,0AC点坐标代入解析式求出ab12QAOA(2)根据题意可得：MQ=yQA=4-x(x>0)MQ∥OB△AMQ∽△ABO=1yMQOB4-x39423=y=-x2+x+3xxy、的44P点坐标；3494AOAMABMQBOPN54(3)①设Px-x2+x+3△AMQ∽△ABO==AM=(4-x)，334PMAMPNMQ=(4-x)PM=y-MQ=-x2+3x△PMN∽△AMQ==44-x32-x+3x4PN54(4-x)②AB△BPN3(4)PM=OB-x2+3x=343252xOQ=2MQ==OQ2+MQ2=OB≠(1)解：∵A4,0AC=5，∴C-1,016a+4b+3=0a-b+3=0∴，3a=-解得，4．9b=43494∴y=-x2+x+3(2)B0,312当M时PQ中点时，MQ=yQA=4-x(x>0)∵PQ⊥x轴∴MQ∥OB13∴△AMQ∽△ABO12334yQAOAMQOB4-x41∴==．94∴3(4-x)=4×-x2+x+32解得，x=1x=4(舍去)．123494929∴y=-×12+×1+3=P1，．2(3)AB=5，∵△AMQ∽△ABOAOAMABMQBO4-x43AM5MQ3∴====，5∴AM=(4-x)MQ=(4-x)，4434PM=y-MQ=-x2+3x，∵PN⊥ABPQ⊥OA，∴∠PNM=∠MQA=90°，∵∠PMN=∠AMQ，∴△PMN∽AMQ，32-x+3xPNPMAMPN4-x4∴==54(4-x)3512535125∴PN=-x2+x=-(x-2)2+，125∴当x=2时，PN的最大值为；②AB=2+OB2=5PN取最大值时，△面积最大，12125最大面积为：×5×=6；故△的面积最大值为6．(4)解：∵PM∥OB，∴当PM=OB是平行四边形，34即，-x2+3x=3，解得x=2，∴x=2是平行四边形，3252此时，OQ=2MQ==OQ2+MQ2=所以OB≠9.已知在平面直角坐标系xOyy=ax2+bx+ca≠0经过点A-1,0B3,0C0,3三D和点CG．14(1)求该抛物线的解析式；(2)连接CGBG△GCB的面积；(3)在对称轴右侧的抛物线上有一点MN得CGMN为顶点的四边形N(4)连接ADBDD落在平面内一点EBE两点的直线与线段AD交于点F△BDF与△ABD(1)y=-x2+2x+3(2)3-1-59+5(3)存在，1,2或,2212(4)y=-x2+2x+或y=-x2+2x(1)Ca(2)可推出△BCG(3)只需△CGMMG=CGM是点CCM=GMM在CG的垂直平分MHMH(4)分为当点E在x轴的上方和在xE在xDH⊥AB于HFQ⊥ABBDADDFBD于Q△BDF∽△得出=DFAF△AFQ是等腰直FQ和BFE在x得出结果．(1)y=a(x+1)(x-3)，∴3=a⋅1×(-3)，∴a=-1，∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；(2)解：∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴G(1,4)，∴CG2=12+(4-3)2=2BG2=(1-3)2+42=20，∵BC2=32+32=18，∴BC2+CG2=BG2，∴∠BCG=90°，151212∴S=CG⋅BC=×2×32=3；(3)CGMNMG=CG，由对称性可得，M(2,3)，∴N(1,2)，如图1，当四边形CMGN是菱形，MC=MG，作MH⊥CG，∴CH=GH，∵C(0,3)G(1,4)，1722∴CG的中点坐标为：,，由(1)知：BC⊥CG，∴HM∥BC，∵C(0,3)B(3,0)，∴BC的解析式为：y=-x+3，∴k=-1，∴HM的解析式为：y=-x+4，由-x+4=-x2+2x+3得，3+53-5x1=x2=(舍去)，223+55-5∴y=-+4=，223+55-5∴M∴N,，22-1-59+5,，22-1-59+5综上所述：N点的坐标为1,2或,；22(4)2，当点E在x轴上方时，作DH⊥AB于HFQ⊥AB于Q，∵∠BDF=∠，∴△BDF∽△，BDADDFBD∴=，∵B(3,0)D(2,3)A(-1,0)，∴BD=(3-2)2+32=10AD=(2+1)2+32=32DH=AH=3，1032DF10∴=∠=∠ADH=45°，523∴DF=∠AFQ=90°-∠=45°，523423∴AF=AD-DF=32-=，164232243∴FQ==AF⋅cos∠=×=，413∴OQ=-OA=-1=，31433∴F,，∵B(3,0)，1232∴直线BF的解析式为：y=-x+，1253212当x=2时，y=-×2+=，12∴ED=3-=，25212∴平移后的抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3-=-x2+2x+，当点E在xF和点A重合，此时△BDF与△ABD全等，∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x，12△BDF与△ABDy=-x2+2x+或y=-x2+2x．10.y=ax2+bx+c经过A-3,0B1,0C0,-3D为对称E在x轴上．(1)求抛物线的解析式(2)在直线上求一点P点P到直线BD的距离等于到x轴的距离；12(3)M(不与A重合)．使S△ACM=S△BCM点M的坐标．1779649(1)y=x2+2x-3(2)P点坐标为-1,1-5或-1,5+1(3)M；；点坐标为-,-或1996-,525(1)待定系数法求函数解析式；(2)分点P位于EP作PH⊥BD接BP方程求解；17SSAHBQ(3)根据三角形面积公式求得=N直线CN(1)将A-3,0B1,0C0,-39a-3b+c=0a+b+c=0b=2c=-3a=1c=-3∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3(2)如图1P作PH⊥BDBPPE=PHy=x2+2x-3=x+12-4∴抛物线顶点D的坐标为(-1-4)E点坐标为(-10)∴=4BE=2Rt△中，BD=BE2+2=251212∴S=PD⋅BE=BD⋅PH①当点P在EPE=PH=aPD=4-a1212S=4-a×2=×25aa=5-1∴P点坐标为-1,1-5②当点P在EPE=PH=bPD=4+b1212S=4+b×2=×25bb=5+1∴P点坐标为-1,5+1综上，P点坐标为-1,1-5或-1,5+1(3)①如图2CM交x轴于点N点A作AH⊥CN点B作BQ⊥CN1212SS=AH⋅CMS=CM⋅BQAHBQ∴=S12又∵S=SAHBQ12∴=∵AH⊥CNBQ⊥CN∴AH∥BQANBNAHBQ12∴==A为BN的中点∴AN=AB=4N点坐标为(-70)设直线CN的解析式为y=kx+bCN两点代入可得b=-3b=-3-7k+b=03k=-737∴直线CN的解析式为y=-x-373x2=-y=-x-3x=0y1=-3，71由此可得y=x2+2x-3y2=-1817∴M点坐标为-,-96497ANBNAHBQ12②如图3AH∥BQ，==BN+AN=AB=4∴AN==3-43435353=N点坐标为-,0设直线CN的解析式为y=mx+nCN两点代入可得n=-3n=-3595-m+n=0m=-395∴直线CN的解析式为y=-x-359x2=-y=-x-3x=0y1=-3，51由此可得y=x2+2x-3y2=1996∴M点坐标为-,52517964919965综上，M点坐标为-,-或-,257掌握相关性质利用数形结合思想解题是关键．1211.y=x2+bx+c与x轴交于AB两点(点A在点B左边)y轴交于点C．直线y=12x-2经过BC两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点PP且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点DM．PN⊥BCN．设M(m0)．当点P在直线BCP△PNC与△AOCP1232(1)y=x2-x-2；32258(2)P的坐标为(3,-2)或-19(1)先求出BC(2)先求出PMD△AOC与△COB∠OAC=∠OCB,∠ACO=∠OBC当△PNC∼△AOC∠PCN=∠ACOCP∥OB,△PNC∽△COA出∠PCN=∠CAOPC=PD12(1)针对于直线y=x-2，令x=0y=-2，∴C(0,-2)，12令y=00=x-2，∴x=4，∴B(4,0)，12c=-28+4b+c=0将点BC坐标代入抛物线y=x2+bx+c中，32b=-∴c=-2∴抛物线的解析式为y=x2-x-2；1232(2)存在，∵PN⊥BCN．设M(m0)，1232121∴Pm，m2-m-2Dm，m-232由(1)y=x2-x-2，21232令y=00=x2-x-2，∴x=-1或x=4，∴点A(-1,0)，∴OA=1，∵B(4,0)C(0,-2)，∴OB=4OC=2，OAOCOCOB∴=，∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∼△COB，∴∠OAC=∠OCB,∠ACO=∠OBC，∵ΔPNC与ΔAOC相似，∴①当ΔPNC∽ΔAOC，∴∠PCN=∠ACO，∴∠PCN=∠OBC，∴CP⎳OB，∴点P的纵坐标为-2，1232∴m2-m-2=-2，∴m=0(舍)或m=3，∴P(3,-2)；20②当ΔPNC∽ΔCOA时，∴∠PCN=∠CAO，∴∠OCB=∠PCD，∵PD⎳OC，∴∠OCB=∠CDP，∴∠=∠PDC，∴PC=PD，123212又Pm,m2-m-2Dm,m-2，，∵C(0,-2)，1212312322∴PD=2m-m2PC=m2+m2-m-2+2=m2+m2-m，2211232∴2m-m2=m2+m2-m，223∴m=或m=0(舍)，232258∴P-．32258即满足条件的点P的坐标为(3,-2)或-用方程的思想解本题的关键．12.y=ax2-6ax+ca<0的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于ABy轴交于点CPx轴于点DQBQ交y轴于点E5EQ=3BQ．(1)请直接写出AB两点的坐标：AB42；(2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，S△QCE=．5①求此时抛物线的函数表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点F∠=2∠OBEF请说明理由．(1)-2,08,01103585(2)①y=-x2+x+21112252②F3,-或F3,(1)B性可得A点坐标；(2)①根据△QCE的面积可得CEE和点C得结论；②如图2F在BEPBP与点Q关于xPB∥，在此基础上求出直线PB的解析式和直线FF点在BEF3,mDEPBEDBD∠=∠OBEEDEQDQDF是∠FEB=F作FD⊥yN量代换进而求出F点的坐标．(1)∵y=ax2-6ax+c=ax-32-9a+c∴x=3∴=3如图1所示，∵DQ∥y轴BDEQBQBDEQBQ3535∴∵∴===∴BD=5∴OB=8∴B8,0根据抛物线的对称性得A-2,0故答案为：-2,08,0(2)①如图1，将A-2,0代入二次函数y=ax2-6ax+c中得：4a+12a+c=0∴c=-16a∵y=ax2-6ax+c=ax-32-9a+c∴P3,-9a+c∵顶点P与点Q关于x轴对称，∴Q3,9a-cQ3,25a∵S1425=425∴CE×3=228∴CE=5设直线BQ的解析式为：y=kx+m8k+m=03k+m=25a∴22k=-5am=40a∴∴直线BQ的解析式为：y=-5ax+40a∴E0,40a∵C0,c∴C0,-16a285∴-16a-40a=1∴a=-1011085∴c=-16×-=1103585∴此时抛物线的函数解析式为：y=-x2+x+；②如图2F在BEPB，∵顶点P与点Q关于x轴对称，∴∠PBD=∠QBD∵∠=2∠OBE∴∠=∠PBQ∴PB∥110由①得：a=-∴P3,2.5设直线PB的解析式为y=kx+b1∵P3,2.5B8,03k+b=2.511∴∴8k+b=01112k=-1b1=41∴直线PB的解析式y=-x+4212设直线的解析式为：y=-x+n∵E0,-4∴n=-432112当x=3时，y=--4=-112∴F3,-如图3F在BE设F3,m，∵D3,0∴BD=5∵D3,0E4,0∴=3OE=4由勾股定理得ED=2+OE2=5∴=BD23∴∠=∠OBE∵∠=2∠OBE∴∠=2∠EQDQFD∴=∵BE=OB2+OE2=455EQ=3BQ3∴EQ=BQ5∵EQ+BQ=BE35∴EQ=2EQ∵DQ=2.5FD=m，DQFD=355∴=m过F作FD⊥yN，在Rt△中=NF2+NE2=32+m+42355∴m=32+m+4225252∴m=∴F3,或m=-(舍去)252112252F3,-或F3,∠=2∠OBE．的关键．1413.y=-x2+bx+c与x轴的一个交点为A-20y轴的交点为B04x轴交于点P．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为yAM点M作AMN，连接AN．①若△AMN与△AOBM的坐标；②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，△AMN有一边与线段AP24段APMM的坐标．1432(1)y=-x2+x+4323(2)①M点的坐标为06或0，M点的坐标为0，21或0，6或0，2(1)利用待定系数法去求抛物线解析式；(2)①先求出抛物线的对称轴为x=3MD⊥直线x=3于点DAE⊥MD于EAMOBMNOAAMOAMNOB判定和性质进行如下的分类讨论即可：(1)当=时，(2)当=时进行求解即可；②先确定AP=5进行如下的分类讨论即可：(1)当AM=AP=5时，(2)当AN=AP=5时，(3)当MN=5时进行求解即可．14-1-2b+c=0c=4(1)将点A-20B04分别代入y=-x2+bx+c得，32b=解得，c=41432∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4；32(2)①抛物线的对称轴为直线x=-=3，142×-作MD⊥直线x=3于点DAE⊥MD于E，∵∠AMN=∠AOB，AMOBMNOAAMMNOBOA42∴当====2，∴△AMN∽△BOA图1，∵∠EAM+∠EMA=90°∠DMN+∠EMA=90°，∴∠EAM=∠DMN，∵∠AEM=∠MDN=90°，∴△AEM∽△MDN，AEMDAMMN∴==2，而MD=3，∴AE=6，此时M点的坐标为06，AMOAMNOBAMMNOAOB2412∴当====，∴△AMN∽△AOB2，同理可得△AEM∽△MDN，AEMDAMMN12∴==，而MD=3，32∴AE=，3此时M点的坐标为0，，232综上所述，M点的坐标为06或0，；②∵A-20P30，25∴AP=5，当AM=AP=5时，=52-22=21的坐标为，M021；当AN=AP=5时N与点P2=OA∙OP，∴=2×3=6M点的坐标为0，6；当MN=5Rt△MND中，DN=52-32=4∵△AEM∽△MDN，，AEMDDNEMAE324∴==，3232解得AE=M的坐标为0，，32综上所述，M点的坐标为0，21或0，6或0，．会利用分类讨论的思想解决数学问题．14.A(x0)B(x3)xx是方程x2+5x+6=0两根(x11212>x2)C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点DEAODE为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；(3)PP作PM⊥xMP使得以点PMO为顶点的三角形与△BOCP(1)y=x2+2x(2)E(-1,3)或E(-1,1)53597739(3)存在P点，P的坐标是(1,3)(-5,15)，-,-，-,(1)通过解方程x2+5x+6=0求出、ABx1x2可以求出抛物线的解析式．(2)①当OAE在x=-1DDOAD和CE的坐标；(3)设P(m,m2+2m)BOC(1)∵xx是方程x2+5x+6=0的两根(x>x)，121226解得原方程的两根分别是：x=-2x=-3，12∴A(-2,0)B(-3,3)，c=04a-2b=09a-3b=3设抛物线的解析式为，y=ax2+bx+c，a=1解得：b=2，c=0∴抛物线的解析式是y=x2+2x．(2)∵y=x2+2x，∴对称轴为：x=-1，①当OA为边时，∵以AODE为顶点的四边形是平行四边形，∴∥AO=AO=2，∵E在对称轴x=-1上，∴D的横坐标是1或-3，∴D的坐标是(1,3)或(-3,3)时E的坐标是(-1,3)；②当AO和AOEAO的中点横坐标是-1，DC(-1,-1)E(-1,1)，EE(-1,3)或E(-1,1)．(3)P(m,m2+2m)，∵B(-3,3)C(-1,-1)，∴OB2=18CO2=2BC2=20，∴BO2+CO2=BC2，OBOC∴△OBC是直角三角形，∠COB=90°，=3，∵以PMO为顶点的三角形和△BCO相似，又∠COB=∠PMO=90°，PMOBOCPMm2+2mOCOB113∴==3==，m2+2m∴=3=mm35373解得：m=1或-5或-或-，53597379∴存在P点，P的坐标是(1,3)(-5,15)，--，-，．15.已知抛物线C1y=mx2+n与x轴交于ABy轴交于点C△ABCn=-1．27(1)求抛物线C1的解析式；(2)将C向上平移一个单位得到CMN为抛物线C上的两个动点，O∠=12290°MN点O作OE⊥MN于点E点E到y轴距离的最大值；(3)F的坐标为0,-2线l分别交线段AFBF(不含端点)于GH两点．若直线l与抛物线C1G的横坐标为bH的横坐标为aa-b是定值吗？若是，(1)y=x2-112(2)(3)a-b是定值，a-b=1(1)根据已知条件得到点C(0,-1)A(-1,0)B(1,0)(2)将C向上平移一个单位得到C:y=x2MN的直线解析式为y=kx+bM点坐标为(xx2)N12MMy=x2y=kx+b(xx2)x2-kx-b=0x⋅x=-bM作MNNNMH⊥x轴交于HN作NF⊥x轴交于点F明△MHO∽△x⋅x=-1NM1212MN经过定点(0,1)E点在以0,1E到y轴距离的最大值为；(3)分别求出直线BF的表达式为y=2x-2AF的表达式为y=-2x-2l的表达式为y=tx+ny=x2-11414y=tx+nΔ=0n=-t2-1l的表达式为y=tx-t2-1③，t+24t-24联立①③并解得a=b=求a-b=1．(1)解：∵n=-1，∴点C(0,-1)，∴抛物线C:y=mx2-1x=0，∴AC=BC，∵△ABC为等腰直角三角形，C为顶点，∴OA=OB=OC=1，∴A(-1,0)B(1,0)，将B(1,0)代入y=mx2-1得，m-1=0，∴m=1，∴抛物线C:y=x2-1；(2)解：∵将C向上平移一个单位得到C，1228∴抛物线C:y=x2，设MN的直线解析式为y=kx+b，∴直线MN与y轴的交点为(0,b)，设M点坐标为(xMxM，，，2)N(xx2)NNy=x2y=kx+b联立方程组，整理得x2-kx-b=0，∴x⋅x=-b，MN过点M作MH⊥x轴交于HN作NF⊥x轴交于点F，∵∠=90°，∴∠+∠=90°，∵∠+∠=90°，∴∠=∠，∴△MHO∽△，MHHONF∴=，∴-x⋅x=y·y=x·x2NMMNMN∴x⋅x=-1，NM∴b=1，∴直线MN经过定点(0,1)，∵OE⊥MN，12∴E点在以0,1的圆上运动，12∴点E到y轴距离的最大值为；(3)解：a-b∵F的坐标为(0,-2)，设直线BF的解析式为y=kx+b，11k+b=0b1=-211∴，k1=2b1=-2解得，∴直线BF的表达式为y=2x-2①，AF的表达式为y=-2x-2②，设直线l的表达式为y=tx+n，y=tx+n联立方程组，y=x2-1整理得：x2-tx-n-1=0∵直线l与抛物线只有一个公共点，，故Δ=(-t)2-4(-n-1)=0，14解得n=-t2-1，1∴直线l的表达式为y=tx-t2-1③，4t+24联立①③并解得a=，29t-24联立②③可得，b=，t+2t-24∴a-b=-=1为常数．416.如图1Aa,0B0,bab满足a2-6a+9+b-3=0ABC-1,0关于点B的对称点M刚好落在抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2PP作PF∥x轴交直线AB于点F点P作PE∥BC