高考数学一轮复习 规范答题强化练（一）高考大题-函数与导数 文试题

规范答题强化练(一)函数与导数

(45分钟48分)

1.(12分)已知函数f(x)=a'+x?-xlna-b(a,b£R,a>l),e是自然对数的底数.

(1)当a=e,b=4时,求函数f(x)的零点个数.

(2)若b=l,求f(x)在［-1,1］上的最大值.

【解析】(l)f(x)=e'+x2-x-4,所以*(x)=e'+2x-1,所以*(0)=0,当x>0时,ex>l,所以*(x)>0,故f(x)

是(0,+8)上的增函数,当x<0时,ex<l,所以fr(x)<0,故f(x)是(-8,0)上的减函数，(3分)

f(l)=e-4<0,f(2)=e-2>0,所以存在xP(1,2)是f(x)在(0,+8)上的唯一零点；f(-2)=+2>0,f(-1)=-2<0,所

以存在x2e(―2,T)是f(x)在(-8,0)上的唯一零点,所以f(x)的零点个数为2.(6分)

(2)fz(x)=axlna+2x-lna

=2x+(ax-l)Ina,(7分)

当x>0时，由a>l,

可知ax-l>0,Ina>0,所以f'(x)>0,(8分)

当x<0时，由a>l,可知ax-l<0,Ina>0,

所以f'(x)<0,当x=0时,f'(x)=0,

所以f(x)是上的减函数,(9分)

［0,1］上的增函数,所以当xe［-1,1］时，

f(x)min=f(0),f(X)皿为f(-1)和f(l)中的较大者.而f(l)-f(-l)=a—21na,(10分)

设g(x)=x--21nx(x>l),

因为g，(x)=l+-=20(当且仅当x=l时等号成立)，所以86)在(0,

+8)上单调递增,而g(l)=0,所以当x>l时,g(x)>0,即a>l时,a--21na>0,所以f(l)>f(-1).所以f(x)在

［T,1］上的最大值为f(l)=a-lna.(12分)

2.(12分)设函数f(x)=-kinx,k>0.

⑴求f(x)的单调区间和极值.

⑵证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,］上仅有一个零点.

【解析】(1)由f(X)=-kinx(k>0)得伊(x)二X-二.(2分)

由f，&)=0解得*三

f(x)与*(x)在区间(0,+8)上的情况如下:

X(0,)(,+8)

尹(x)-0+

f(x)

(4分)

所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+8);f⑸在x=处取得极小值f()=.(6分)

⑵由⑴知,f(x)在区间(0,+8)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以W0,(8分)

从而kNe.

当k=e时，

f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0,

所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点.(10分)

当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,

且f(l)=>0,f()=<0,

所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.

综上可知,若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.(12分)

3.(12分)f(x)=x+,g(x)=x+lnx,其中a〉0.

(1)若x=l是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值.

(2)若对任意的X”x2e[1,e](e为自然对数的底数)都有f3)2g3)成立,求实数a的取值范围.

【解析】(1)由已知h(x)=2x++lnx,xG,所以h'(x)=2-+.(2分)

因为x=l是函数h(x)的极值点，所以h'⑴=0,即3-aW),因为a〉0,所以a=.(4分)

(2)对任意的Xbx2e[l,e]都有f(xi)2g(X2)成立,等价于对任意的Xe[l,e]都有[f(x)%“N[g(x)]*.(6

分)

当xG[1,e]时,g'(x)=l+>0,所以g(x)=x+lnx在上是增函数，所以[g(x)]则

=g(e)=e+l,

(x+a)(x-a)

因为f'(x)=l-二X，且xG[1,e],a>0,

(%+a)(%-a)

①当O〈a<l且xd［1,e］时,f'(x)=X〉0,所以函数f(x)=x+在［1,e］上是增函数，所以

［f(X)］min=f(l)=l+a2,

由1+『七e+1,得a2,又0<a<l,所以a不合题意.

(%+a)(%-a)

Z2

②当1WaWe时，若1Wx〈a,则f，(x)=%〈0,若a〈xWe,则f'(x)=

(%+a)(%-a)

X>0,所以函数f(x)=x+在［1,a)上是减函数，在(a,e］上是增函数，(7分)

所以［f(x)］min—f(a)—2a,由2a2e+l,得a2,又IWaWe,所以WaWe.(8分)

(x+a)(%-a)

③当a〉e且xG［1,e］时,f'(x)=%〈0,所以函数f(x)=x+在［1,e］上是减函数，(10

分)

所以［f(x)］En=f(e)=e+,由e+》e+l,得a2，又a>e,所以a>e.

综上所述,a的取值范围为.(12分)

4.(12分)已知函数f(x)=lnx+,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.

⑵当ke［4,+8)时，若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(xi,yi),N区,yz),使曲线y=f(x)在M,N两点处的切

线互相平行，试求X1+x2的取值范围.

【解析】(1)由已知得,f(x)的定义域为，

x2-(土+(卜+4(%—k)卜—?

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且f'(x)=—1=-X--X(k>0).(2分)

①当0〈k<2时,〉k>0,且>2,所以xe(0,k)时,f'(x)〈0;xG(k,2)时，/(x)>0.(3分)

所以，函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数；(4分)

②当k=2时,=k=2,/(x)<0在区间(0,2)内恒成立，所以f(x)在(0,2)上是减函数；(5分)

③当k>2时,0〈<2,k>,所以xe时，/(x)<0;xd时,f'(x)>0,

所以函数在上是减函数，在上是增函数.(6分)

7

(2)由题意，可得f'(xi)=f(x2),xix2>0且X1WX2,BP一一1=一一1,

化简得,4(xi+x2)=xix2,(8分)

由X1X2<,

(4巧+x2

lk+-