高中数学人教A版（2019）必修第一册课件：2.1等式性质与不等式性质

2.1等式性质与不等式性质第二章一元二次函数、方程和不等式学习目标：1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的数量关系.2.了解不等式（组）的实际背景.3.了解不等式一些基本的性质.教学重点：1.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.2.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系.探究一：不等关系及其表示事实上，在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.在上述所有的不等号中，要特别注意“≤”“≥”两个符号的含义.如果a,b是两个实数，那么a≥b即为a＞b或a＝b；a≤b即为a＜b或a＝b.问题1

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？(1)某路段限速40km/h；解：对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40.(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应该不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；对于(2)，由题意，得

（半个大括号表示同时.）(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；对于(3)，设∆ABC的三条边为a，b，c，则a＋b＞c，a﹣b＜c.(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.对于(4)，如图2.1-1，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE.问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？分析：首先要统一单位，第一句是从“元”到“万”，所以第二句中的2000应该改为0.2万.解：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为

万元.于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为

①求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.探究二：实数的大小比较初中学过的不等式性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a＞b.（说明：当点A与点B重合时，a＝b）关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于0，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a＜b，反过来也对.这个基本事实可以表示为

；

；.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.总结：1.要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差，这是我们研究不等关系的一个出发点.2.差大于0时，被减数不大于减数；差等于0时，被减数等于减数；差小于0时，被减数小于减数.例1

比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.解：因为(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)=(x²+5x+6)－(x²+5x+4)=2＞0，

所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法（也叫作差法）.探究三：一个重要不等式图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？答：相等关系为直角三角形为等腰直角三角形时，4个三角

形的面积和等于正方形的面积.

不等关系为直角边不相等时，4个三角形的面积和小于

正方形的面积.将图中2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a，b（a≠b），那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a²+b².由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a²+b²＞2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a²+b²=2ab.于是就有a²+b²≥2ab.一般地，

，有a²+b²≥2ab当且仅当a＝b时，等号成立.事实上，利用完全平方差公式，得a²+b²-2ab=(a-b)².因为

，(a-b)²≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a²+b²-2ab≥0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.探究四：等式的性质性质1如果a＝b，那么b＝a；（对称性）性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（传递性）性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；（同加性，同减性）性质4如果a＝b，那么ac＝bc；（同乘性）性质5如果a＝b，c≠0，那么.（同除性）可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变形.由性质3可进一步得到，如果a＝b，c＝d，那么a＋c＝b＋d；由性质4可进一步得到，如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd；以及a＝b可得到an＝bn（n≥2，n∈N）探究五：不等式的性质类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：性质1

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即性质2

如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即.性质2

如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即

.证明：由两个实数大小关系的基本事实知说明：如果性质2中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的.例如：如果a≥b且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，且b≥c，那么a＞c.如果两个不等式都带有等号，即若a≥b且b≥c，则a≥c，其中a＝c时必须有a＝b且b＝c，否则a＝c不成立.性质3

如果a＞b，那么a+c＞b+c.性质4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，

那么ac＜bc.性质5

如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有如下性质：性质3

如果a＞b，那么a+c＞b+c.文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与

原不等式同向.如图2.1-5，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点A1与B1，A与B和A1与B1的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示，就是上述性质3.由性质3可得，这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式

同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原

不等式反向.利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式性质.例如，利用性质2,3可以推出：性质5

如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.事实上，由a＞b和性质3，得a+c＞b+c；由c＞d和性质3，得b+c＞b+d.在根据性质2，即得a+c＞b+d.说明：(1)性质5称为不等式的同向可加性(2)性质5说明，两个同向不等式相加，所得不等式与原不

等式同向.(3)性质5可简记为：“大+大＞小+小”

(4)这一性质可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相

加，即若a1＞b1，a2＞b2，…，an＞bn，n∈N*，则

a1+a2+…+an＞b1+b2+…bn.这就是说，两个或者更多个同向

不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.

利用性质4和性质2可以推出：

性质6

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.说明：(1)它可以推广到任意有限个同向不等式两边分别

相乘，即若a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，…，an＞bn＞0，

n∈N*，则a1a2…an＞b1b2…bn.(2)性质6说明，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向.性质7如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）.说明：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.证明：因为

个，根据性质6，得an＞bn.例2已知a＞b＞0，c＜0，求证分析：要证明，因为c＜0，所以可以先证明

利用已知a＞b＞0和性质3，即可证明证明：因为a＞b＞0，所以ab＞0，

于是，

即由c＜0，得练一练1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系：(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h从地面算起不能超过4m；注意：限高、限速、限重实质上是“不超过”，但需要注意实际意义.解：（1）0＜h≤4；练一练1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系：(2)a与b的和是非负实数；注意：“非负数”是“大于或等于0的数”，“非正数”是“小于或等于0的数”解：（2）a+b≥0；练一练1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系：(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍.解：（3）练一练2.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.解：因为(x+3)(x+7)－(x+4)(x+6)

＝(x2+10x+21)－(x2+10x+24)

＝－3＜0，所以(x+3)(x+7)＜(x+4)(x+6).练一练3.已知a＞b，证明证明：因为a＞b，所以a-b＞0，b-a＜0，所以

所以因为所以综上知，a＞b时，练一练4.证明不等式性质1，3，4，6.证明:(1)∵a＞b，∴a-b＞0，∴－(a－b)＜0，

∴b－a＜0，∴b＜a.(2)∵b＜a，∴b－a＜0，∴－(b－a)＞0，∴a－b＞0，

∴a＞b.由(1)(2)知不等式性质1成立.性质1

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即练一练4.证明不等式性质1，3，4，6.证明：因为a＞b，所以a－b＞0.

因此(a+c)－(b+c)=a+c-b-c=a-b＞0,

即(a+c)-(b+c)＞0.因此a+c＞b+c.性质3

如果a＞b，那么a+c＞b+c.练一练4.证明不等式性质1，3，4，6.证明:(1)(2)∵a＞b，∴a-b＞0.又c＜0，根据异号相乘得负，

∴性质4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么

ac＜bc.练一练4.