第3章 函数的概念与性质-综合检测1（基础卷）（解析版）

第3章函数的概念与性质本卷满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数的定义域是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据解析式有意义可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域．【解析】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为，故选D．2．下列函数为幂函数的是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的定义逐项分析即可求解．【解析】幂函数是形如的函数，故ABC不符合，D符合，故选D3．已知函数则等于A．4 B．C． D．2【答案】D【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可．【解析】因为函数所以，所以，故选D.4．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是A． B．C． D．【答案】A【分析】根据壶的结构即可得出选项．【解析】水壶的结构：低端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下：开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A符合，故选A5．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可．【解析】由题意可知，，解得，，故，易知，为偶函数且在上单调递减，因为，所以，解得，或．故的取值范围为．故选C．6．已知函数，则的最小值是A． B．2C．1 D．0【答案】B【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可．【解析】令，则，且，所以，所以，当时，．故选B7．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图象的对称性可排除BD，再根据时函数值可排除A．【解析】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除B，D．又“心形”函数的最大值为1，且，排除A．故选C．8．已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【分析】由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得在上是减函数，化恒成立问题为在，上恒成立；从而化为最值问题即可．【解析】由，知①当时，，故在，上是减函数；②当时，，故在上是减函数；又，在上是减函数，不等式在，上恒成立可化为在，上恒成立；即在，上恒成立，故，解得，，即；故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数为幂函数，则该函数为A．奇函数 B．偶函数C．区间上的增函数 D．区间上的减函数【答案】BC【分析】由幂函数的概念可得的值，根据幂函数的性质可得结果．【解析】由为幂函数，得，即m=2，则该函数为，故该函数为偶函数，且在区间上是增函数，故选BC．10．下列函数相等的是A．函数与函数 B．函数与函数C．函数与函数 D．函数与函数【答案】AB【分析】根据函数的三要素逐一判断选项，得出答案．【解析】选项A，函数与函数定义域均为，且解析式相同，正确；选项B，函数与函数定义域均为，且解析式相同，正确；选项C，函数的定义域为，函数定义域为，错误；选项D，函数的定义域为，函数定义域为或，错误；故选AB11．已知函数，则函数具有下列性质A．函数的图象关于点对称 B．函数在定义域内是减函数C．函数的图象关于直线对称 D．函数的值域为【答案】AD【分析】先利用分离常数法将进行化简，对A，B，C通过图象的平移以及的性质即可判断；对D，通过以及函数的定义域即可求解．【解析】，故的图象是由的图象向左平移一个单位再向下平移一个单位得到；对A，的对称中心为，函数的图象关于点对称，故A正确；对B，的定义域为，在上单调递减，上单调递减，故在上单调递减，上单调递减，在定义域内不单调，故B错误；对C，的图象关于点中心对称，故C错误；对D，且定义域为，即，即函数的值域为，故D正确．故选AD．12．已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于的性质，正确的是A．在上是增函数 B．是偶函数C．的值域为 D．是奇函数【答案】AC【分析】由表示不大于的最大整数，化简，作出的图象，利用图象判断四个选项即可得到结论．【解析】当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；……所以作出的图象如图所示：对照图象可以看出：对于A：在上是增函数是正确的；故A正确．对于B：是非奇非偶函数；故B错误．对于C：的值域为；故C正确．对于D：是非奇非偶函数；故D错误．故选AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数的定义域为，则的定义域为_________．【答案】【分析】根据函数的定义域即的值域，求出函数的定义域即可．【解析】由题可知，，所以函数定义域为，故答案为．14．函数的单调递减区间为_________．【答案】【分析】首先求出函数的定义域，令，分别求出和的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出的单调减区间．【解析】由，解得，所以函数的定义域为，令，在单调递增，因为函数在单调递增，在单调递减，由复合函数的单调性知在单调递减．故答案为15．已知奇函数的定义域为，若，，则_________．【答案】【分析】先由奇函数求出，对，利用赋值法求出，得到，再用赋值法分别求出．【解析】因为已知奇函数的定义域为，且，所以因为，所以，所以，即．对于，当x=1时，有，当x=3时，有．故答案为．16．函数，若，则实数的范围是_________．【答案】【分析】根据解析式可判断是定义在上的奇函数且在上单调递增，转化不等式即可求解．【解析】，，是定义在上的奇函数，且显然在上单调递增，由可得，，解得．故答案为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）己知函数（1）画出该函数图象：（2）若，求实数的值．【答案】（1）图象见解析；（2）．【分析】（1）利用分段函数各区间的函数解析式画出图象即可，注意端点值．（2）由（1）的图象可得，即可求的值．【解析】（1）由函数解析式，可得图象如下：（2）由（1）图知，可得．18．（12分）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）根据是幂函数，得到，再由是偶函数和在上单调递增，由，且为偶函数求解．（2）根据（1）偶函数在上递增，转化为求解．【解析】（1）因为是幂函数，则，解得或，又是偶函数，所以是偶数，又在上单调递增，所以，解得，所以、、或．所以或；（2）由（1）偶函数在上递增，，可化为，即，所以或．所以的范围是．19．（12分）若对一切实数，，都有．（1）求；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；（3）若，求．【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）．【分析】（1）令，得到，即可求解；（2）函数是奇函数，令，得到，结合（1）中的结论，得到，即可证得为奇函数；（3）令，得到，进而求得，结合为奇函数，即可求解．【解析】（1）由对一切实数，，都有，令，可得，即，解得．（2）函数是奇函数．证明如下：由题意，函数的定义域为关于原点对称，令，可得，即，由（1）知，所以，所以为奇函数．（3）令，可得，因为，所以，则，因为为奇函数，所以．20．（12分）已知函数是定义在上的增函数，对一切正数上都有成立，且．（1）求和的值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）利用及递推关系，可得、，即可求值；（2）题设不等式可转化为，利用的定义域及单调性求解集即可．【解析】（1）由题意，，则，．（2）由，而，所以，又在上为增函数，所以，解得．所以的取值范围．21．（12分）设函数；（1）若，判断函数的奇偶性；（2）若，且，求实数的取值范围．【答案】（1）奇函数；（2）．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断分段函数的奇偶性即可；（2）分类讨论求解不等式可得出结果．【解析】（1）函数的定义域关于原点对称，且，所以当时，，则，当时，，则，故恒有，所以函数为奇函数．（2）由题意得或解得．由或，解得．22．（12分）已知函数．（1）若函数的最小值为0，求实数m的值．（2）若当时，y随x的增大而减小，求实数m的取值范围．（3）是否存在实数m，使得当时，y的取值范围是？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，．【分析】（1）根据最小值列出等式求解m；（2）根据题意位于二次函数的对称轴的右侧；（3）对函数在区间上的单调