第2章 一元二次函数、方程和不等式-综合检测2（培优卷）（解析版）

第2章一元二次函数、方程和不等式本卷满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若存在x使得有正值，则m的取值范围是A．或 B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的图象，结合判别式，即可求解．【解析】是开口向下的抛物线，若存在使，则，解得或．故选A2．，则下列正确的是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，逐项判定，即可求解．【解析】由，根据不等式的基本性质，可得成立，所以A不正确；由，只有当时，根据不等式的性质，可得，所以B不正确；由，因为，可得，但的符号不确定，所以C不正确；由，因为，可得且，所以，即，所以D正确；故选D．3．若不等式和不等式的解集相同，则的值为A． B．C． D．【答案】B【分析】先解出，得到-2和是的两个根，利用根与系数的关系即可求出ab，可以求出a+b．【解析】由解得，所以-2和是的两个根，所以，解得a=-4，b=-9．所以．故选B．4．已知，，且，则A． B．C． D．【答案】B【分析】对于选项A：结合已知条件，利用不等式性质即可求解；对于选项BC：首先根据已知条件可得到，然后利用不等式性质即可求解；对于选项D：首先对和平方，然后利用作差法即可求解．【解析】对于选项A：因为，故，因为，，所以，从而，故A错误；对于选项BC：由题意可知，，因为，所以，故，即，从而，故B正确，C错误；对于选项D：因为，所以，即，故D错误．故选B．5．已知，，且，则下列结论恒成立的是A． B．C． D．【答案】B【分析】举反例可判断A，C，D；利用绝对值的性质以及基本不等式可判断B，进而可得正确选项．【解析】对于A，取，，则不成立，故选项A错误；对于B，因为与同号，所以，当且仅当时取等号，故选项B正确；对于C：取，，则不成立，故选项C不正确；对于D：取，，则，故不成立，故选项D不正确；故选B．6．已知，若恒成立，则实数m的取值范围是A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】利用基本不等式可得，由条件可知即求．【解析】因为，所以，当且仅当即取等号，由恒成立，所以，所以．故选B．7．设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据可求出的最小值为16，问题转化为对任意实数x恒成立，求出的最大值即可求出实数m的取值范围．【解析】由题意，，因为正数a，b满足，（当且仅当b＝3a时取等号）．所以对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，的最大值为6，所以m≥6，故选D．8．已知关于x的不等式的解集为空集，则实数t的取值范围是A． B．或C． D．【答案】D【分析】不等式转化为，对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果．【解析】，①当，即．当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此不满足题意，应舍去；②当，即时．关于的不等式的解集为空集，，解得．综上可得的取值范围是．故选．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】利用不等式的性质，结合各选项所给的条件判断正误即可．【解析】由有，若则，即，故A正确，B错误；C：由，则，故正确；D：由，又，则，故正确．故选ACD10．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则下列正确的是（）A．a<0B．关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6}C．a+b+c>0D．关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x<-或x>}【答案】ACD【分析】根据给定的解集可得a<0且b=-a，c=-6a，再代入各个选项即可判断作答．【解析】因关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则a<0，且-2，3是方程ax2+bx+c=0的二根，于是得，解得b=-a，c=-6a，对于A，因a<0，则A正确；对于B，不等式bx+c>0化为-ax-6a>0，解得x>-6，B不正确；对于C，a+b+c=a-a-6a=-6a>0，C正确；对于D，不等式cx2-bx+a>0化为-6ax2+ax+a>0，即6x2-x-1>0，解得或，D正确．故选ACD11．已知关于x的不等式的解集为，则A．的解集为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABC【分析】由题可得，对A，代入解二次不等式即可；对BCD，代入利用基本不等式可求解．【解析】由题可得是方程的两个根，，对A，不等式化为，解得，故A正确；对B，，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故B正确；对C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，没有最小值，故C正确，D错误．故选ABC．12．下列说法正确的有A．的最小值为2B．已知，则的最小值为C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3D．设x，y为实数，若，则的最大值为【答案】BD【分析】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．【解析】对于A选项，当时，，故A选项错误，对于B选项，当时，，则，当且仅当时，等号成立，故B选项正确，对于C选项，若正数、满足，则，，当且仅当时，等号成立，故C选项错误，对于D选项，，所以，可得，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D选项正确．故选BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设，且，，则的最大值为___________．【答案】14【分析】分别得出的范围，进而将由来表示，然后求得答案．【解析】由题意，，而，设，所以，即，所以．即的最大值为14．故答案为14．14．已知，，，则的最大值为___________．【答案】【分析】将所求式子化简，进而利用基本不等式即可得到答案．【解析】因为，，，所以，所以，当且仅当时取“=”，故答案为．15．已知，，且，则的取值范围是___________．【答案】【分析】先将a，b分离，利用基本不等式求得a＋范围，即得－3b范围，解不等式并结合已知条件即得结果．【解析】由，得．又，所以a＋≥2(当且仅当a＝1时取等号)，即得，即得；又，得，所以的取值范围是．故答案为．16．已知则下列命题正确的个数是___________．①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，．【答案】3【分析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例说明．【解析】①若，显然，则，正确；②若，显然，根据不等式的乘方的性质有，则，正确；③若，由，则，即，同理由得，所以，正确；④若，，，，例如，满足，但，错误．正确个数为3．故答案为3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解关于x的不等式．（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】（1）通过合理的转化，将不等式转化为，解得即可；（2）将不等式两边平方，转化为，解得即可．【解析】（1），即，等价于，解得所以不等式的解集为（2）将不等式转化为，整理得即，解得或所以不等式的解集为18．（12分）（1）若，，求证：；（2），，，求证：【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【分析】（1）利用作差法证明即可，（2）利用不等式的性质证明即可【解析】（1）因为，，所以，所以；（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，即19．（12分）若正数a，b满足，求的最大值．【答案】【分析】转化为求的最大值，利用基本不等式计算可得．【解析】因为，故可以化为．因为a和b为正数，则，当时取等．因此，．故的最大值为．20．（12分）已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1）若方程有两相等的实数根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求a的取值范围【答案】（1）；（2）实数的取值范围是，，．【分析】（1）设出二次函数的一般式，根据不等式的解即为方程的根，求出，，的关系式，再根据方程有两相等的实根的条件：判别式为0，解出，从而得出函数的解析式；（2）将函数配方，求出函数的最大值，再解不等式，注意．【解析】设，则．已知其解集为，，．（1）若有两个相等的根，故，，解得或（舍去正值），即；（2）由以上可知，，由，解得，或，故当的最大值为正数时，实数的取值范围是，，21．（12分）对于题目：已知，，且，求最小值．同学甲的解法：因为，，所以，，从而：．所以A的最小值为8．同学乙的解法：因为，，所以．所以A的最小值为．①请对两位同学的解法正确性作出评价；②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知，，且，求的最小值．【答案】①甲错误，乙正确；②．【分析】①说明甲同学多次运用基本不等式时未保证同时取“=”即可；②先将待求式分式通分再运用题中所给等式化简、配凑后运用基本不等式即可．【解析】①甲错误，乙正确，甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件为，则，故不能保证可以同时取“=”．②当且仅当，即时，取“=”．22．（12分）已知关于x不等式的解集为M．（1）当M为空集时，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求的最小值；（3）当M