《3有理数的乘除运算》知识清单

《3有理数的乘除运算》知识清单一、有理数乘法的基础1、有理数乘法的意义就像我们分糖果一样，如果有3个小朋友，每个小朋友分2颗糖，那总共分出去的糖果数就是3乘以2等于6颗。在数学里，乘法就是表示几个相同加数的和的简便运算。对于有理数乘法也是一样的道理。比如说，有2个3相加，我们就可以写成2乘以3。真实体验：我去超市买苹果，苹果每个3元，我买了5个，那就是3×5＝15元。如果苹果的价格是3元（假设是商家给的折扣，相当于我每买一个苹果商家倒给我3元），我买了5个，那就是5×（－3)＝15元，这意味着商家要给我15元。2、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。比如说，2×3＝6，这是两个正数相乘，结果是正数。而2×3，因为2是负数，2和3异号，所以结果是6。再看2×（－3)，两个都是负数，同号得正，结果就是6。例子：冬天的时候，气温每天下降2度，3天后气温总共下降了多少度呢？那就是2×3=－6度。如果是气温每天上升2度，3天后气温上升了2×3＝6度。要是气温每天下降2度（也就是每天上升2度），3天后气温就上升了2×（－3)＝6度。3、多个有理数相乘当几个不等于0的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就为0。例如：计算2×3×（－4)，这里有两个负因数，负因数个数是偶数，所以结果是正数，先算2×3×4＝24，所以2×3×（－4)＝24。再比如2×3×4，这里有一个负因数，负因数个数是奇数，结果是24。真实事情：我在计算班级同学的成绩平均分的时候，有一次有几个同学的成绩有加分（用正数表示），有几个同学有扣分（用负数表示）。如果加分的同学数量是偶数，扣分的同学数量也是偶数，那最后总的加分或者扣分情况（就像多个有理数相乘的结果符号）就是正数或者0（如果加分和扣分正好抵消）。如果加分同学数量是奇数，扣分同学数量也是奇数，那结果也是正数。但如果一个是奇数一个是偶数，结果就是负数。二、有理数的除法1、有理数除法的意义除法是乘法的逆运算。就像把一堆糖果平均分给小朋友，如果知道总共有10颗糖，要分给5个小朋友，那每个小朋友得到的糖果数就是10除以5等于2颗。对于有理数也是一样，如果知道两个有理数的乘积和其中一个因数，求另一个因数的运算就是除法。比如说，因为3×4＝12，所以12÷4＝3，12÷3＝4。对于有理数6÷3，因为3×（－2)＝6，所以6÷3=－2。2、有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如：计算8÷2，根据法则，就等于8×1/2=－4。计算8÷（－2)，等于8×（－1/2)＝4。而0÷5＝0，因为0乘以任何数都为0。真实观察：我在看股票涨跌的时候，有一支股票开始的价格是10元，后来跌了2元，那它跌的比例就是2÷10=－0.2（也就是1/5），相当于它的价格变为原来的10.2＝0.8倍。如果是涨了2元，那涨的比例就是2÷10＝0.2（也就是1/5），价格变为原来的1＋0.2＝1.2倍。3、有理数的乘除混合运算在进行有理数的乘除混合运算时，我们要按照从左到右的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的。也可以先将除法转化为乘法，然后再按照乘法法则进行计算。例如：计算12÷（－3)×（－4)，按照顺序，先算12÷（－3)＝4，再算4×（－4)＝16。或者我们可以把它转化为12×（－1/3)×（－4)，先算12×（－1/3)＝4，再算4×（－4)＝16。体验：我在计算家庭每月水电费的时候，水费每吨3元，用电量是按照每度0.5元计算。如果这个月用水4吨，用电80度，那水费就是4×3＝12元，电费就是80×0.5＝40元。如果要计算水费和电费的总和与用电量的比值，那就是(12＋40)÷80，先算括号里的12+40＝52，再算52÷80＝13/20。如果要先算除法再算加法，就可以写成12÷80+40÷80，12÷80＝3/20，40÷80＝1/2，3/20+1/2＝13/20。三、有理数乘除运算的实际应用1、行程问题速度、时间和路程的关系是路程等于速度乘以时间。如果速度是有理数，时间也是有理数，那我们就可以用有理数的乘除运算来解决行程问题。比如，一辆汽车以每小时60千米的速度行驶，3小时行驶的路程就是60×3＝180千米。如果汽车的速度是60千米/小时（表示汽车向相反方向行驶），3小时行驶的路程就是60×3=－180千米，也就是汽车向相反方向行驶了180千米。真实事情：我和朋友出去骑行，我骑的速度比较快，每小时15千米，朋友骑的速度是每小时10千米。如果我们都骑了2小时，那我骑行的路程就是15×2＝30千米，朋友骑行的路程就是10×2＝20千米。如果我要计算我的速度是朋友速度的多少倍，那就是15÷10＝1.5倍。2、工程问题在工程问题中，工作总量等于工作效率乘以工作时间。如果工作效率用有理数表示，工作时间也用有理数表示，那我们可以用有理数乘除运算来计算工程相关的问题。例如，一项工程，甲队每天能完成1/5的工作量，乙队每天能完成1/3的工作量。如果甲队单独做，需要5天完成（因为1÷1/5＝5），如果乙队单独做，需要3天完成（因为1÷1/3＝3）。如果甲、乙两队合作，每天完成的工作量就是1/5+1/3＝8/15，那完成这项工程需要的时间就是1÷8/15＝15/8天。观察：我看到建筑工人盖房子，一组工人每天能砌10块砖，另一组工人每天能砌15块砖。如果要砌100块砖，第一组工人需要100÷10＝10天，第二组工人需要100÷15＝20/3天。如果两组工人一起砌，每天能砌10＋15＝25块砖，那需要100÷25＝4天。3、销售问题利润等于售价减去成本，利润率等于利润除以成本。如果售价、成本都是有理数，那我们可以用有理数乘除运算来计算销售中的各种数据。比如，一件商品的成本是80元，售价是100元，那利润就是10080＝20元，利润率就是20÷80＝0.25（也就是25%）。如果商品打8折出售，售价就是100×0.8＝80元，此时利润就是8080＝0元，利润率就是0÷80＝0。体验：我去商场买衣服，看到一件衣服原价200元，现在降价30%出售，那现在的售价就是200×（10.3)＝140元。如果商家的成本是100元，那利润就是140100＝40元，利润率就是40÷100＝0.4（也就是40%）。四、有理数乘除运算中的易错点1、符号问题在有理数乘除运算中，最容易出错的就是符号。一定要牢记同号得正，异号得负的法则。有时候在多个有理数相乘除时，容易数错负因数的个数，从而导致符号错误。例如，计算2×（－3)×4÷（－6)，这里有3个负因数，负因数个数是奇数，结果应该是负的。先算2×（－3)＝6，6×4＝24，24÷（－6)＝4。如果不小心把符号弄错，就会得到错误的结果。真实体验：我在做数学作业的时候，有一道题是计算3×4÷（－2)，我一开始就把符号弄错了，算成了3×4=－12，12÷（－2)＝6，而正确的应该是3×4=－12，12÷（－2)＝6，因为是异号相除得正。2、运算顺序问题在乘除混合运算中，如果不按照从左到右的顺序计算，或者没有先算括号里面的，就会得到错误的结果。比如，计算12÷（3×2)，应该先算括号里的3×2=－6，再算12÷（－6)＝2。如果先算12÷（－3)＝4，再乘以2得到8，那就错了。观察：我看到同学在计算数学题的时候，有一道题是(8÷2)×（3)，他先算2×（－3)＝6，再算8÷（－6)＝4/3，这就是运算顺序错误。正确的应该是先算8÷2＝4，再算4×（－3)＝12。3、倒数的计算问题在有理数除法中，要把除法转化为乘法，就需要计算除数的倒数。有时候会把倒数计算错误，比如把2的倒数写成1/2，而正确的应该是1/2。例如，计算6÷（－2)，转化为6×（－1/2)＝3。如果把2的倒数弄错，结果就会错误。体验：我自己在做有理数除法练习的时候，有一道题是8÷（－4)，我在转化为乘法的时候，把4的倒数写成了1/4，结果算出8×1/4=－2，而正确的应该是8×（－1/4)＝2。五、典型习题1、计算下列式子：（1）3×4×（－2)解：这里有两个负因数，负因数个数是偶数，结果为正。先算3×4×2＝24，所以3×4×（－2)＝24。（2）12÷（－4)＋（－3)×2解：先算除法和乘法，12÷（－4)＝3，3×2=－6，再算加法3+（6)＝9。（3）2×（3÷2)解：先算括号里的3÷2=－3/2，再算2×（－3/2)＝3。2、一辆汽车以每小时40千米的速度行驶了5小时，然后又以每小时60千米的速度行驶了3小时，问汽车总共行驶的路程是多少？解：汽车先行驶的路程为40×5=－200千米，后行驶的路程为60×3＝