《2.1角的概念推广》讲义

《2.1角的概念推广》讲义同学们好，咱们现在开始学习高中北师大版（2019）必修（第二册）第一章三角函数里的§2任意角中的2.1角的概念推广。这部分内容可有趣啦，就像我们探索一个神秘的数学宝藏一样。在咱们以前的学习中，对角的认识可能比较简单。比如说，咱们看教室里的墙角，那就是一个直角，它的角度是90度。再看钟表，分针走一圈是360度。这种我们熟悉的角，它们的范围是从0度到360度。但是呢，在生活中啊，我们会遇到很多情况，只靠0度到360度这个范围的角是不够的。我给大家讲个我自己的经历吧。有一次我去游乐场玩摩天轮，摩天轮转起来的时候，我就在想，这个摩天轮的转动角度怎么来描述呢？如果按照我们以前学的角的概念，好像有点麻烦。比如说，摩天轮顺时针转了一圈又多一点，这个多出来的部分怎么表示呢？这就引出了我们要推广角的概念。那怎么推广呢？我们先把角放在一个平面直角坐标系里。我们规定，角的顶点放在坐标原点，角的始边放在x轴的正半轴上。这样的话，角的终边就可以在平面内随便转啦。如果这个终边是逆时针方向旋转的，这个角就是正角。就像时钟的指针如果是逆时针转，就和平时的转动方向不一样，这时候形成的角就是正角。比如说，终边逆时针旋转了90度，这个角就是90度，这和我们之前学的直角的度数一样，但是这里的90度是在新的角的概念下的正角。那要是终边顺时针旋转呢？这个角就是负角。就好比你把时钟的指针顺时针拨，和正常走的方向相反。比如说，终边顺时针旋转了90度，这个角就是90度。而且啊，这个终边可以旋转好多好多圈。要是终边逆时针旋转了一圈又多30度，一圈是360度，那这个角就是360度加上30度，也就是390度。要是顺时针旋转了一圈又多30度，这个角就是390度。那这样的话，角的范围就不再局限于0度到360度啦，而是可以是任意的实数。这就像打开了一扇新的大门，让我们能描述更多的旋转现象。我们再来看一些实际的例子来加深理解。比如说汽车的方向盘，它可以向左或者向右转动。如果向左转动，我们可以看成是正角方向的旋转；如果向右转动，就可以看成是负角方向的旋转。而且方向盘可以转好多圈，这就和我们推广后的角的概念很相似。再比如说，地球的自转。地球是自西向东转的，从北极点看是逆时针转，这就可以看成是正角方向的旋转。如果我们从另一个角度看，假设地球反向转，那就是负角方向的旋转。而且地球自转一圈是一天，要是我们考虑多圈的情况，就可以用我们推广后的角的概念来描述。接下来，我们要学习终边相同的角。什么是终边相同的角呢？就像在摩天轮上，转了一圈或者几圈之后，终边又回到了原来的位置。比如说，30度角的终边，和390度角（360度＋30度）的终边是相同的。还有330度角（360度+30度）的终边也和30度角的终边相同。我们可以得出一个规律，所有与角α终边相同的角（包括角α本身），都可以表示为β＝α＋k×360度（k是整数）。这个式子可重要啦，它就像一把万能钥匙，可以帮助我们找到很多终边相同的角。比如说，我们找与60度角终边相同的角。当k＝1的时候，β＝60度+360度＝420度；当k＝1的时候，β＝60度360度＝300度。那我们怎么在坐标系里确定这些角呢？我们还是以30度角为例。30度角的终边在第一象限。390度角呢，它是30度角转了一圈之后的角，它的终边也在第一象限，和30度角的终边相同。330度角是30度角逆时针转了一圈之后的角，它的终边也在第一象限。这时候我们可以发现一个有趣的事情，在0度到360度这个范围内，每个终边相同的角都有一个代表角。比如说，对于所有终边和30度角相同的角，30度就是在0度到360度范围内的代表角。我们再来看一个更复杂一点的例子。假设有一个角是120度，它的终边在第三象限。那和它终边相同的角呢？当k＝1的时候，β＝120度+360度＝240度，240度角的终边也在第三象限。当k＝2的时候，β＝120度+2×360度＝600度，600度角的终边转了一圈多之后，还是和120度角的终边相同。我们还可以通过终边相同的角来解决一些实际问题。比如说，在机械工程里，有一些零件是做圆周运动的。我们要确定这些零件在不同时刻的位置，就可以用角的概念来描述。如果我们知道这个零件开始的位置对应的角是α，经过一段时间后，它转了k圈，那它现在的位置对应的角就是α＋k×360度。再比如说，在天文观测中，星星的位置也可以用角来描述。地球在公转和自转的过程中，我们观察星星的角度是不断变化的。如果我们把某一时刻观察星星的角度设为α，随着时间的推移，地球转动了k圈，那再次观察这个星星的角度就是α＋k×360度。在学习角的概念推广的时候，有几个重点和难点大家要注意。重点呢，就是要理解正角、负角和零角的概念，还有终边相同的角的表示方法。这就像盖房子的基石，只有把这些概念弄清楚了，我们才能在这个基础上学习更多关于三角函数的知识。难点呢，就是对于终边相同的角的理解和运用。尤其是在做一些比较复杂的题目时，比如给你一个很大或者很小的角，让你找出在0度到360度范围内和它终边相同的角，或者让你根据终边相同的角的关系来求解一些参数，这时候就需要大家好好思考，多做一些练习。我再给大家讲个故事来帮助大家理解终边相同的角。我有个朋友是做钟表维修的。他在调整钟表指针的时候，就会用到角的概念。他把钟表指针的初始位置看成是一个角的始边，然后根据要调整的时间来确定指针转动的角度。如果指针多转了一圈或者少转了一圈，就相当于形成了终边相同的角。他就需要根据这个原理来准确地调整指针的位置，让钟表走得准确无误。还有一点要注意的是，在我们用β＝α＋k×360度（k是整数）这个式子的时候，要清楚k的取值范围和意义。k可以是正数，表示终边逆时针旋转了k圈；k也可以是负数，表示终边顺时针旋转了k圈；k＝0的时候，表示就是角α本身。我们再做几个练习题来巩固一下。比如说，写出与45度角终边相同的角的集合。按照我们学的知识，这个集合可以表示为{β|β＝45度+k×360度，k∈Z}。再比如说，在0度到360度范围内，找出与750度角终边相同的角。我们可以把750度写成720度+30度，也就是2×360度+30度，所以在0度到360度范围内，和750度角终边相同的角就是30度。通过这些练习，大家是不是对角